1、XX 大学自主招生数学讲义（上）第一讲 函数的性质.3一、知识要点.3二、热身练习.6三、真题讲解.7四、强化训练.9第二讲 导数. 14一、知识方法拓展.14二、热身练习.16三、真题精讲.17四、重点总结.19五、强化训练.19第三讲 微积分初步.30一、知识方法拓展.30二、热身练习.32三、真题讲解.33四、重点总结.36五、强化训练.36六、参考答案.41第四讲 方程与根. 44一、知识方法拓展.44二、热身训练.46三、真题精讲.48四、重点总结.50五、强化训练.50第五讲 基本不等式及其应用.56一、知识方法拓展.56二、热身练习：.57三、精讲名题：.58四、强化训练.60第
2、六讲 不等式的证明与应用.63一、知识方法拓展.63二、热身练习：.64三、精解名题：.65四、强化训练.68第七讲 递推数列. 70一、知识方法拓展.70二、热身练习.73三、真题精讲.74四、重点总结.77五、强化训练.77第八讲 数列求和，极限和数学归纳法.81一、知识方法拓展.81二、热身练习.82三、真题精讲.83四、重点总结.88五、强化训练.88第一讲第一讲 函数的性质函数的性质一、知识要点一、知识要点1、映射映射对于任意两个集合,A B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素, x在B中都有唯一一个元素与之对应，则称:fAB为一个映射映射，记作:,fAB其中b称为像像，a称为原像
3、。原像。如 果:fAB是 一 个 映 射 且 对 任 意,x yA xy都 有 ,f xfy则:fAB是A到B上称之为单射单射.如 果:fAB是 映 射 且 对 任 意,yB都 有 一 个xA使 得 ,f xy则 称:fAB是A到B上的满射满射.如果:fAB既是单射又是满射，则:fAB是A到B上叫做一一映射一一映射.如果:fAB是从集合A到集合B上的一一映射， 并且对于B中每一个元素b， 使b在A中的原像a和它对应，这样所得的映射叫做:fAB的逆映射逆映射，记作1:.fBA2、函数方程问题函数方程问题（1）代换法（或换元法）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换 （代换时
4、应注意使函数的定义域不会发生变化） ，得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设220,abab求 1af xbfcxx的解. （ 【解析】分别用1,xxtt带入）（2）待定系数法待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知 1fxf x是一次函数， 1nnfxffx且 1010241023fxx，求 f x.（ 【解析】设 0f xaxb a求解）3、函数对称性以及周期性、函数对称性以及周期性1）已知函数 yf x，若函数 yg x图像与 yf x图像关于：直线xa对称，则 g x 2fax；直线yb对称，则 2g xbf x；点, a b对称，则 22g xb
5、fax。2）已知函数 yf x图像关于：直线xa对称，则 f x 2fax；点, a b对称，则 22f xbfax，即 22f xfaxb。3）常用：若函数 yg x图像与 yf x图像关于：y轴对称，则 g x fx；x轴对称，则 g xf x ；原点对称，则 g xfx 。4）若f xaf bx，则 yf x图像关于直线2abx对称；若f xaf bxc，则 yf x图像关于点,22ab c对称；若yf xa与yf bx关于直线2bax对称；5）若 f xTf x，则函数 yf x是以T为周期的函数。6） 若 f xaf x ， 则 2f xaf xaf xf x ， 即2Ta；若 1f
6、 xaf x，则 1121f xaf xf xaf x，即2Ta；若 1f xaf x ， 则 1121f xaf xf xaf x ， 即2Ta。7）若 f x关于直线xa和xbab对称，则 f x为以2 ba为周期的周期函数；若 f x关于点,0a和xbab对称，则 f x为以4 ba为周期的周期函数；若 f x关于点0, a y和0, b yab对称， 则 f x为以2 ba为周期的周期函数。4、抽象函数问题的解法、抽象函数问题的解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像， 只给出一些函数符号极其满足的条件的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函
7、数的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。（1）函数性质法）函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：利用奇偶性整体思考；利用单调性等价转化；利用周期性回归已知；利用对称性数形结合；借助特殊点列方程。（2）特殊化方法）特殊化方法 在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成x或将x换成其他字母等； 在求函数值时，可用特殊值代入； 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法
8、。5、函数的迭代、函数的迭代一个函数的自复合，叫做迭代。我们用 kgx表示 g x的k次迭代函数。即 01kkgxxgxg gx如果 1,2,1pkgxxgxx kp不恒等于则称 g x有迭代周期. p迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。 一般来说， 若 yg x的图像关于直线yx对称，则一定有 g g xx.它的迭代周期就是 2.下面是几个常见函数的迭代周期。 27,1xg xx迭代周期是 3； 1,1xg xx迭代周期是 4；6、凹凸函数、凹凸函数设f为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点1x、2x和实数0,1 ,总有 121211,fxxf xf x则称f为I上的凸函数（有时也称下凸函
9、数） 。 反之， 如果总有不等式 121211,fxxf xf x则称则称f为I上的凹函数（有时也称上凸函数） 。特 别 地 ，12时 ， 有 121222f xf xxxf（ 凸 函 数 ） 或 121222f xf xxxf（凹函数） 。如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理：设f为I上二阶可导函数，则f为I上的凸（凹）函数的充要条件是 0fx 0 .fx凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若f为, a b上的凸函数，则对任意,01,2,iixa bin，且11,nii则11.nniiiiiifxf x二、热身练习二、热身练习1、 （2009 复旦）复旦）若要求
10、关于x的函数210.5lglog2axbx的定义域是, 则a、b的取值范围是（） A B0a 240C ba 0D ab【解析】选 A.由221120.5lglog2002110axbxaxbxaxbx 对,x 恒成立2040aba这样的, a b不存在。2、 （2010 复旦复旦）某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是（） Ay是x的函数 Bz是y的函数 Cw是z的函数 Dw是x的函数【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故 A 不正确。而任意一个学生的学号是唯一的，也
11、对应了一个唯一的身高，故选项 B 正确；同理，,C D均不正确。3、 （2007 复旦）复旦）设 f x是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当2,3x时， ,f xx 则当2,0 x 时， f x的表达式为（） A3 |1|x B2 |1|x C3 |1|x D2 |1|x【解析】选 A可以考虑特殊值。 222,1133fffff ， 022ff 。符合条件的只有选项 A 了。4、 （2006 复旦复旦）设有三个函数，第一个是 yf x，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0 xy对称，则第三个函数是（） A yf x Byfx C 1yfx
12、 D1yfx 【解析】选B。第二个函数是 1,yfx第三个函数为1xfy ，即yfx 三、真题讲解三、真题讲解1、 （2005 交大）交大）函数2281axxbyx的最大值为9,最小值为1,求实数a、b.【解析】228,yxyaxxb即280ay xxby.显然，这个关于x的方程必有实数根，从而有6440ayby 2160yab yab。根据题意，19910yyy21090,yy故10169abab，所以解得5ab.2、 （2006 复旦）复旦）设12,0,2x x且12,xx下列不等式中成立的是（）112121tantantan;22xxxx212121tantantan;22xxxx312
13、121sinsinsin;22xxxx412121sinsinsin;22xxxx A B C D【解析】选 B 这是一道和凸函数有关的问题，分别画出tanyx,sin ,0,2yx x的草图。由图像可知tanyx是下凸函数，sinyx是上凸函数，故选 B3、 （2009 清华）清华）*0,0,1,ababnN求证：22211.2nnnab【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数2*,nyxnN先证明它是凸函数。事实上21222,2210,nnynxynnx故2*,nyxnN是, 上的凸函数，从而2222222111,2222nnnnnnnababab证毕！4、 （2
14、007 交大）交大）已知函数 121,1xfxx对于1,2,n 定义 11,nnfxffx若 355,fxfx则 28fx _.【解析】1.1x本题考查迭代周期问题。计算得 21,xfxx 32,21xfxx 41,1fxx 561,2xfxfxxx故 f x以 6 为周期.注：条件 355fxfx可以不用。5、 （2007 北大）北大） 2253196 |53196|,f xxxxx求 1250 .fff【解析】 2253196 |53196|449|449 |,f xxxxxxxxx故 4548490ffff，所以 501123if ifff50288 1889292660f.6、 （20
15、02 交大）交大）函数 |lg |,f xx有0ab且 2.2abf af bf 1求, a b满足的关系； 2证明：存在这样的, b使34.b【解析】 1因为 |lg |,f xx有0ab且 2,2abf af bf所以1ab ，且0,1 ,1,.ab22112lg2 lglg24bbbbb（因为12bb） ，故22142,bbb即4324210,bbb 321310bbbb令 3231,g xxxx而 30,40,gg故 0g x 在3,4之间必有一解，所以存在b，是的34.b四、强化训练四、强化训练（A 组）组）1、 （2004 复旦）复旦）若存在,M使对任意xD（D为函数 f x的定义
16、域） ，都有 |,f xM则称函数 f x有界。问函数 11sinfxxx在10,2x上是否有界？【解析】令1, tx则2,t，11sinsin .ttxx若令2,2tkkZ且1,k 则当k 时，sinsin 212tk，t ，故 11sinfxxx在10,2x上无界.注：注：本题中的t有无穷多个赋值方式，如令2,2,35tkk事实上，只要使sin0t 均可。2、 （2007 复旦）复旦）若1,1ab且lglglg ,abab则lg1lg1ab lg2A 1B C不是与, a b无关的常数 0D【解析】选 D. 由,abab得111 1.ababab 故lg1lg1ablg103、 （2005
17、 复旦）复旦）定义在R上的函数 1f xx 满足 2002240151xf xfxx，则2004_.f【解析】2005.令 22220044013,xff令 2004200422xff2011. 2220044013,20042005.2004222011fffff4、 设 |1|2|2013|1|2|2013|f xxxxxxxxR且2321f aaf a，则a的值有（） 1A 个 2B个 3C个 D 无数个【解析】因为 f xfx，故 f x为偶函数.在11x 时，有 |1|1|2|2|2013|2013|f xxxxxxx2 1 220132013 2014.当21321111aaa 且
18、时，恒有2353212.2f aaf aa故选D！5、 （2000 交大）交大）求函数 332211f xxxxxxR的反函数【解析】由 332211f xxxxx得 2232222332311311yxxxxxxxxx33222311xxxxx23xy 33133,22yyxxxfx6、 （模拟题）（模拟题）求函数 43224172610627xxxxf xxx在区间1,1上的值域.【解析】 226427127f xxxxx，值域为215,1537、 （模拟题）（模拟题）已知 f x是定义在R上的函数，且 211fxfxfx （1）试证明 f x是周期函数；（2）若 123,f试求2013f
19、【解析】 （1）又条件可知 11,f故 12.1f xf xf x用2x换上式的x，得 111211411211f xf xf xf xf xf xf xf x 所以 184f xf xf x ，即 f x是以 8 为周期的周期函数。（2） 120138 251 551 4321fffff .8 、（ 模 拟 题 ）（ 模 拟 题 ） 已 知 1fxf x是 一 次 函 数 ， 1nnfxffx且 1010241023fxx.求 f x【解析】设 f xaxb0a 则有 221fxff xa axbba xb a 232311fxfff xa a xb aba xb aa.依此类推有： 101
20、098101011=11bafxa xb aaaa xaa时不成立由题设可得：101011024=10231baaa且，故解得2,12,3abab 或.所以 21f xx或 23f xx.9、 （模拟题）（模拟题）已知实数x满足3312 5,xx求221xx.【解析】记2211txx则22322232211120123xxxttxxx 322320025100,2,tttttt故2213xx.10、（2001 交大交大） 已知函数 222,1f xxxxt t的最小值是 g t， 试着写出 g t的解析表达式。【解析】 211,f xx其对称轴为1.x 当1t 时， f x在,1t t 上单调
21、递增，从而 222g tf ttt当11t 即2t 时， f x在,1t t 上单调递减，从而 2145g tf ttt当21t 时， 11g tf故 2222,1,1,2, 145, 2tttg ttttt （B 组）组）1、 （2008 交大）交大）已知函数 20 ,f xaxbxc a且 f xx没有实数根.那么 ff xx是否有实数根？并证明你的结论.【解析】法一：利用 0ff xx，得到0 ，故没有实数根（本方法计算量过大）法二：若0,a 则 ,f xx对一切xR恒成立.故有 ff xf xx；同理0a 时,则 ,f xx对一切xR恒成立.故有 ff xf xx；所以 ff xx没有
22、实数根2、 （模拟题）（模拟题）已知函数 224, ,0 .f xaxbxc a b cR a（1）函数 f x的图像与直线yx 均无公共点，求证:24161bac （2）若0a 且1ab，又| 2x 时，恒有 | 2f x ，求 f x的解析式.【解析】 （1）函数 f x与直线yx无公共点，224axbxcx无实数解.故221160bac ，即2441 160bbac .同理函数 f x与直线yx 无公共点，即有2441 160bbac .两式相加得282320,bac即24161.bac （2）1ab，又| 2x 时，恒有 | 2f x 故有 204444424242fcabcabf 故
23、42c .12C 又 | 2f x .故 20f xf 故 f x在0 x 处取得最小值而且02,2 从而0 x 是函数的对称轴.故0,1ba。 22f xx3、 （模拟题）（模拟题）已知 115f且当1n 时有 12111 2f nnf nf nf n.求 f nnN【解析】把已知条件中的等式进行整理，得到： 1211f nf nnf n f n 11211nf nf n把n依次用2,3,n代换，得： 112 321ff 112 432ff 11211nf nf n 上述的1n个等式相加，可以得到： 112 341141nnnf nf所以 21114311nnnnf nf故 2131f nn
24、n4、 （模拟题）（模拟题）已知 f x是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的, a bR，有 f abaf bbf a.（1）求 0 ,1ff的值.（2）判断 f x的奇偶性，并证明你的结论.（3）若 22f，2,nnfunNn求数列 nu的前n项和nS.【解析】 （1）令0ab，则 00f；令1ab，则 111fff， 10f。（2）令1,abx 则 1 ,fxf xxf 再令1,1,ab 则 11121010fffff 故 fxf x ，即 f x是奇函数。（3）当0ab 时， f abf af babab.令 ,fxg xx则有 g abg ag b ng ang a故 11nnn
25、nnnf aa g ana g anaag anaf a， 1,nnf aaf an故1211.22nnnfufn又因为 11111222210,2222fffff 故111112222nnfu .11122111212nnnS.第二讲第二讲 导数导数一、知识方法拓展一、知识方法拓展1、导数定义、导数定义：函数( )yf x,如果自变量x在0 x处有增量x，那么函数y相应地有增量y00()()f xxf x， 比值xy叫做函数( )yf x在0 x到0 xx 之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数( )yf x在点0 x处可导，并把这个极限
26、叫做( )f x在点0 x处的导数，记作0()fx或0 x xy.即0()f x=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00.求导步骤：求导步骤： 求函数的改变量y； 求平均变化率xy； 取极限，得导数0()fx=xyx0lim.2、导数的几何意义和物理意义、导数的几何意义和物理意义 函数( )yf x在点0 x处的导数的几何意义是曲线( )yf x在点00(,)p xy处的切线的斜率. 相应地，切线方程为000()()yyfxxx. 如果物体运动的规律是( )ss t， 在点00( ,)p t s处导数的意义是0tt处的瞬时速度.3、常见函数导数、常见函数导数0C（C为常数） ；1(
27、)()nnxnxnR ；(sin )cosxx ；(cos )sinxx ；1(ln ) xx ；1(log)logaaxex ；()xxee ；()lnxxaaa .4、导数的运算法则、导数的运算法则 导数的四则运算法则()uvuv；()uvu vuv；2( )(0)uu vuvvvv 复合函数求导( ( )( )( )xfxf ux或xuxyyu5、函数的单调性与最值、函数的单调性与最值（1）求函数)(xf的单调区间的一般步骤： 求出)(xf的导数( )fx； 求出方程( )0fx的根；( )0fx的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；( )0fx的解集与定义域的交集的对应区间为减区间；
28、注：注：若( )0fx，则( )f x为常值函数.（2）求函数( )yf x极值的步骤：(最好通过列表法) 求导数( )fx； 解方程( )0fx的根0 x； 检查( )fx在方程( )0fx的根0 x左、右两侧的符号，判断极值.“左正右负”( )f x在0 x处取极大值；“左负右正”( )f x在0 x处取极小值.注注：若0 x点是( )yf x的极值点，则0()0fx，反之不一定成立；如函数( )f xx在0 x 时没有导数，但是，在0 x 处，函数( )f xx有极小值. .（3）函数最值定义：函数( )f x在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数(
29、 )f x在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。求函数( )yf x在, a b上的最值的步骤： 求函数( )yf x在（, a b）内的极值； 将( )yf x的各极值与( )f a，( )f b比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.二、热身练习二、热身练习【例 1】 （2007 武大）函数331yxx 的极小值、极大值分别为（）A.极小值-3，极大值-1B.极小值-4，极大值 1C.极小值-4，极大值 0D.极小值-3，极大值 1分析：分析：对函数求导，233yx ，令01,1yxx 是两个驻点。因为(, 1)x 时，0y ；( 1,1)x 时
30、，0y ；(1,)x时，0y ，所以1x 对应极小值，1x 对应极大值。1x 时，3y ；1x 时，1y 答案：答案：D【例 2】 （2007 武大）在曲线3113yxx的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）A.0y B.1y C.10 xy D.203xy分析：分析：对函数求导，21yx，所以过00(,)xy的切线斜率为201x ，即所有曲线的切线构成的直线系为2000(1)()yyxxx。又2011x ，故00 x 时斜率最小，此时01y ，切线方程为1yx ，即10 xy 答案：答案：C【例 3】 （2011 复旦）设a为正数，322( )2f xxaxa，若( )f x在区间0,a上大
31、于 0，则a的取值范围是（）A.(0,1B.(0,1)C.(1,)D.1,)分析分析：对函数求导，2( )34fxxax，则当(0, )xa时，( )0fx ，所以( )f x在区间0,a上单调递减。若( )f x在区间0,a上大于 0，当且仅当( )0f a ，即332220aaa，则01a答案：答案：A三、真题精讲三、真题精讲【例 1】 （2010 五校联考）32cossincosyxxx的最大值为（）A.2827B.3227C.43D.4027分析：分析：令costx，则32( )1( 11)yg ttttt ，2( )321(1)(31)yg ttttt ， 所以函数( )g t在11
32、,3 上单调递增， 在1,13上单调递减。所以在13t 时取得最大值，max132()327yg答案：答案：B【例 2】 （2007 清华）求1( )xf xex的单调区间及极值.分 析：分 析： 对函数 求导，2( )xxexefxx，则( )01fxx，当0 x 时，( )0( )fxf x单调递减；01x时，( )0( )fxf x单调递减；1x 时，( )0( )fxf x单调递增。所以在1x 时( )f x取得最小值e。答案答案：( )f x在(,0)上单调递减， 在(0,1)上单调递减， 在1,)上单调递增。( )f x有最小值e【例 3】 （2010 五校联考）设( )(0)ax
33、f xea，过点( ,0)P a且平行于 y 轴的直线与曲线 C：( )yf x的交点为 Q，曲线 C 过点 Q 的切线交x轴于点 R，则PQR的面积的最小值是（）A. 1B.22eC.2eD.24e分析分析：对函数求导，( )axfxae，由导数的几何意义可知( )f x在2( ,)aP a e处切线的斜率为2aae，故切线方程为22()aayeaexa。令0y ，得 R 点坐标1(,0)aa。所以21 12aPQRSea，则22222111(2)(2)22aaaPQRSa ea eaea，令202PQRSa，所以PQR面积最小值为22e答案：答案：B【例 4】 （2011 华约）已知322
34、1yxxx，过( 1,1)的直线与该函数图象相切，且( 1,1)不是切点，求直线斜率。分析：分析：设切点为320000(,21)x xxx。对函数求导，2( )322fxxx，则200322kxx，又320000(21) 1( 1)xxxkx ，联立之后可得01x ，因为( 1,1)不是切点，所以01x ，1k 答案：答案：1k 【例 5】 （2010 武大）已知( )f x是定义在区间(0,)上的可导函数，满足( )0f x ，且( )( )0f xfx（1）讨论函数( )( )xF xe f x的单调性（2）设01x，比较函数( )xf x与11( )fxx的大小分析分析： （1）由于(
35、)( )( )( ( )( )0 xxxF xe f xe fxef xfx，所以( )F x在(0,)上单调递减（2） 当01x时，1xx， 由 （1） 得11( )( )xxe f xe fx， 即11( )( )xxf xefx。令1( )2ln ,01g xxxxx，当01x时，有22212(1)( )10 xg xxxx ，所 以( )g x在(0,1)上 单 调 递 减 ， 故( )(1)0g xg， 即1211( )2ln0 xxg xxxexx，由此可得1211111( )( )( )( )( )( )xxf xeff xfxf xfxxxxx答案答案： （1）( )F x在(
36、0,)上单调递减（2）当01x时，11( )( )xf xfxx四、重点总结四、重点总结1、利用导数判定函数的单调性、极值点、最值2、利用导数的几何意义解决曲线切线的斜率问题五、强化训练五、强化训练A 组1. 函数332yxx的极小值、极大值分别为（）A.极小值 0，极大值 4B.极小值-16，极大值 4C.极小值-1，极大值 4D.极小值 0，极大值 1分析：分析：对函数求导，233yx，令01,1yxx 是两个驻点。因为(, 1)x 时，0y ；( 1,1)x 时，0y ；(1,)x时，0y ，所以1x 对应极大值，1x 对应极小值。1x 时，4y ；1x 时，0y 答案：答案：A2. 设
37、0()2fx，则000()()limhf xhf xhh（）A.2B.2C.4D.4分析：分析：由导数定义可得0000000000()()()()()()limlimlim2()4hhhf xhf xhf xhf xf xf xhfxhhh答案：答案：D3. 函数( )ln(1)2xf xex的单调递减区间为_分析分析：对函数求导，1(1) 1( )11xxexfxexx，则0 x 时，( )0fx ；0 x 时，( )0fx ；0 x 时，( )0fx ，又函数的定义域为( 1,) ，所以( )f x的单调递减区间为( 1,0答案：答案：( 1,04. 若四次函数( )0F x 有四个根，则
38、它的导函数有多少个根？分析分析： 令( )0F x 的四个根为1234aaaa，且不妨设( )0F x 的最高次项系数大于 0，则x 时( )0F x 。所以在1(,)a上( )0F x ，在12(,)a a上( )0F x ，在23(,)a a上( )0F x ，在34(,)a a上( )0F x ，在4(,)a 上( )0F x 。所以( )F x的导函数有 3 个极值点，即有 3 个根答案：答案： 至多 3 个根5. 若方程3270 xxm有 3 个不同实根，求实数m的取值范围分析：分析：记3( )27f xxxm，( )0f x 有 3 个不同实根，则( )0fx 应该有 2 个不同实
39、根12,x x。设12xx，令212( )32703,3fxxxx ，则3x 时，( )f x有极大值，所以( 3)054fm ；3x 时，( )f x有极小值，所以(3)054fm。所以5454m答案：答案：5454m6. 已知三次方程3223630(0)xa xaaa只有一个实根是正的，求a的取值范围分析：分析：令322( )363f xxa xaa，则22( )33fxxa(1）( )0fx 恒成立0a与题设矛盾（2）( )0fx 恒成立显然不可能（3）( )0,fxxa xa ，因为0a ，所以( )f x在(,)a 上单调递增，在(, )a a上单调递减，在( ,)a 上单调递增，则
40、()03333( )022faaf a答案：答案：333322a7. 已知函数2( )(0,)af xxxaRx（1）判断函数( )f x的奇偶性（2）若( )f x在区间2,上是增函数，求实数a的取值范围分析分析： （1）对a进行讨论，20( )af xx为偶函数220( ),()aaaf xxfxxxx，则( )()f xfx，为非奇非偶函数（2）由题意，在2x 时，33min222( )20(2)16axafxxaxxx所以16a 答案答案： （1）0a 时为偶函数，0a 时为非奇非偶函数； （2）16a 8. 已知三次曲线32:C yxbxcxd的图象关于点(1,0)A中心对称（1）求
41、常数b（2）若曲线C与直线:412l yx相切，求曲线C的方程分析分析： （1）由题意，若( , )t s在曲线上，则(2,)ts也在曲线上，即32232(62 )(124 )84220(2)(2)(2)stbtctdb tb tbcdstbtctd 由于恒成立，所以6203bb （2）由（1）知8422022bcdcddc令( ,412)mm是C的切点C在该点的切线斜率为 4由22223243236436yxbxcmbmcmmccmm，又323241232(1)3410mmmcmcc mmmm ，所以1m ，5,7cd ，从而32357yxxx答案答案： （1）3b ； （2）32357yx
42、xxB 组1. 一元三次函数( )f x的三次项系数为3a，( )90fxx的解集为(1,2)（1）若( )70fxa有两个相等实根，求( )fx的解析式（2）若( )f x在R上单调递减，求a的取值范围分析：分析：设32( )3af xxbxcxd，则2( )2fxaxbxc，2( )90(29)0fxxaxbxc。又因为( )90fxx的解集为(1,2)，所以(1)(2)0,0 xxa，对比系数可得239,2baca （1）22( )70270(39)90fxaaxbxcaaxaxa ，因为有两个相等实根，所以222(39)3601( )62aaafxxx （2）2( )(39)2fxax
43、axa，要使得( )f x在R上单调递减，只需( )0fx 在R上恒成立即可。所以22027 18 227 18 2(39)80aaaa 答案答案： （1）2( )62fxxx ； （2）27 18 227 18 2a 2. 设三次函数32( )()f xaxbxcxd abc，在1x 处取得极值，其图象在xm处的切线的斜率为3a（1）求证：01ba（2）若函数( )yf x在区间, s t上单调递增，求st的取值范围分析分析： （1）2( )32fxaxbxc，由题意可得2(1)320( )323fabcfmambmca 2232200011m cbabcbabmma （2）由（1）可知2(
44、 )320fxaxbxc的24120bac ，所以方程( )0fx 有两个不同实根12,x x。又12212(1)3201103bfabcxxxxa 。所以，当2xx或1xx时，( )0fx ；当21xxx时，( )0fx 所以，( )yf x的单调递增区间是121228,22,33bx xxxa，即82,3st 答案答案： （1）略； （2）82,3st 3. 已知定义在正实数集上的函数221( )2, ( )3ln2f xxax g xaxb，其中0a ，设两曲线( )yf x，( )yg x有公共点，且在公共点处的切线相同（1）若1a ，求b的值（2）用a表示b，并求b的最大值分析分析：
45、 （1）3( )2,( )fxxg xx，设( )yf x与( )(0)yg x x在公共点00(,)xy处的切线相同，由题意可知20000000000123ln()()2513()()22xxxbf xg xxbfxg xxx （2）23( )2 ,( )afxxa g xx，设( )yf x与( )(0)yg x x在公共点00(,)xy处的切线相同，由题意可知2200000200000123ln()()23()()2xaxaxbf xg xxaafxg xxax所以2253ln2baaa令225( )3ln (0)2h aaaa a，则( )2 (1 3ln )h aaa当2 (1 3l
46、n )0aa，即130ae时，( )0h a 当2 (1 3ln )0aa，即13ae时，( )0h a ，所以( )h a在(0,)的最大值为12333()2h ee答案答案： （1）52b ； （2）2253ln2baaa，最大值为2332e4. 已知函数( )2ln ,(1)0bf xaxx fx.（1）若函数( )f x在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2） 若函数( )f x的图像在1x 处的切线的斜率为 0， 且211()11nnafnan，已知14a ，求证：22nan；分析分析： （1）22(1)0( )2ln( )aafabf xaxxfxaxxx要使函数( )f x
47、在定义域(0,)内为单调函数，则在(0,)内( )fx恒大于 0 或恒小于 0当0a 时，2( )0fxx 在(0,)内恒成立当0a 时 ， 要 使2111( )()0fxaaxaa恒 成 立 ， 则101aaa当0a 时，22( )0afxaxx恒成立所以综上所述，(,01,)a （2）根据题意得21(1)01( )(1)fafxx 所以222211()1()1211nnnnnafnannanaan 用数学归纳法证明如下：当1n 时，142 12a ，不等式成立假设当nk时，不等式22kak成立，即22kak则当1nk时，2121(2 ) 1(22) 2 12(1)2kkkkkaakaa a
48、kkk 所以不等式也成立。综上所述，可得证。答案答案： （1）(,01,)a ； （2）略六、参考答案六、参考答案A 组1. 分析：分析：对函数求导，233yx，令01,1yxx 是两个驻点。因为(, 1)x 时，0y ；( 1,1)x 时，0y ；(1,)x时，0y ，所以1x 对应极大值，1x 对应极小值。1x 时，4y ；1x 时，0y 答案：答案：A2. 分析：分析：由导数定义可得0000000000()()()()()()limlimlim2()4hhhf xhf xhf xhf xf xf xhfxhhh答案：答案：D3. 分析分析： 对函数求导，1(1) 1( )11xxexfx
49、exx， 则0 x 时，( )0fx ；0 x 时，( )0fx ；0 x 时，( )0fx ，又函数的定义域为( 1,) ，所以( )f x的单调递减区间为( 1,0答案：答案：( 1,04. 分析分析： 令( )0F x 的四个根为1234aaaa，且不妨设( )0F x 的最高次项系数大于 0，则x 时( )0F x 。所以在1(,)a上( )0F x ，在12(,)a a上( )0F x ，在23(,)a a上( )0F x ，在34(,)a a上( )0F x ，在4(,)a 上( )0F x 。所以( )F x的导函数有 3 个极值点，即有 3 个根答案：答案： 至多 3 个根5.
50、 分析：分析：记3( )27f xxxm，( )0f x 有 3 个不同实根，则( )0fx 应该有 2个不同实根12,x x。设12xx，令212( )32703,3fxxxx ，则3x 时，( )f x有极大值，所以( 3)054fm ；3x 时，( )f x有极小值，所以(3)054fm。所以5454m答案：答案：5454m6. 分析：分析：令322( )363f xxa xaa，则22( )33fxxa(1）( )0fx 恒成立0a与题设矛盾（2）( )0fx 恒成立显然不可能（3）( )0,fxxa xa ，因为0a ，所以( )f x在(,)a 上单调递增，在(, )a a上单调递
