1、2.1.1椭圆及其标准方程,仙女座星系,星系中的椭圆,一、椭圆的定义：,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，,这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )，,两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.,1、椭圆的定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,几点说明：,1、F1、F2是两个不同的点；,2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；,3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c；,4、如果2a = 2c，则M点
2、的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）,随堂练习.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。,因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。,因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆 (是线段F1F2)。,(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。,因|MF1|+|MF2|=4|F
3、1F2|=4，故点M的轨迹不存在。,如图，建立直角坐标系xOy，,使x轴经过点F1、F2，并且,点O与线段F1F2的中点重合.,设点M(x, y)是椭圆上任一点，,椭圆的焦距为2c(c0).,焦点F1、F2的坐标分别是 (c, 0)、(c, 0),又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a,|MF1|MF2|2a,2. 椭圆标准方程的推导：,讲授新课,O,X,Y,F1,F2,M,如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。,解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F
4、2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，,则:|MF1|+ |MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),(x,y),两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：,b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：,(ab0),这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。,(ab0).,椭圆的标
5、准方程：,是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且c2a2b2.,它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点,讲授新课,讲授新课,如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,c)、F2(0, c)，,则椭圆方程为：,(ab0).,如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？,两种形式的标准方程的比较：,与,a,A1,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,椭圆方程的几何意义：,椭圆的标准方程,|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|),(c,0)、(c,0),(0,c)、(0,c),b2=a2c2,分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上,答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0
6、）,答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5）,答:在y 轴上(0,-1)和(0,1),焦点在分母大的那个轴上。,判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。,写出适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；,或,例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。,解： 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为:,5：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。,方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,解之得：0k4,k的取值范围为0k4。,教材36 2,结束,
