1、 对称法对称法 电流叠加法电流叠加法 Y-变换法变换法 对具有一定对称性的电路对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对通过对等势点的拆、合，对称电路的称电路的“折叠折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。，将电路简化为基本的串并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性
2、的电路，是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对称性的问题加以解决对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。利用利用Y型联接电阻与型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻过电阻Y型联接与型联接与型联接方式的互换，达到简化电路成单纯型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的串联或并联的目的 解解: :ABCDEFHGACBDEGFH3343ACR RRRRR 则则AC间等效电阻间等效电阻: 如图所示，如图所示，
3、12个阻值都是个阻值都是R的电阻，组成一立的电阻，组成一立方体框架，试求方体框架，试求AC间的电阻间的电阻RAC 、AB间的电阻间的电阻RAB与与AG间的电阻间的电阻RAG 续解续解ABCDEFHGAB间等效电阻间等效电阻:EGFHABCD2RR222.5222.5712ABRRRRRRRRRRRR 则则续解续解ABCDEFHGAG间等效电阻间等效电阻:FHCABEDG6R3R3R56AGRR 则则解解: :AB02r电源外电路电源外电路等效电阻等效电阻:000002.55240.577ABrrRrrr 通过电源的电流由通过电源的电流由6.0A40/71.05A ABIR 如图所示的正方形网格
4、由如图所示的正方形网格由24个电阻个电阻r0=8的电阻的电阻丝构成，电池电动势丝构成，电池电动势=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流，内电阻不计，求通过电池的电流 波兰数学家谢尔宾斯基波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形他年研究了一个有趣的几何图形他将如图将如图1所示的一块黑色的等边三角形所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的
5、三个等边三角形按相同的方法处理，的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图经过第二次分割就得到图3的图形经三次分割后，又得到图的图形经三次分割后，又得到图4的图形这是带有的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图中一个小单元（例如图4中的中的BJK）适当放大后，就得到图）适当放大后，就得到图2的图形如果这个的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫
6、中的黑色部分将被不断地镂空 图图1 图图2 图图3 图图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学分形几何学”的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图等效电阻问题：设如图1所示的三角形所示
7、的三角形ABC边长边长L0的电阻均为的电阻均为r；经一次分割得到；经一次分割得到如图如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的八分
8、之一的八分之一 试求经三次分割后，三角形试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 试求按此规律作了试求按此规律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J解答解答解解: :读题读题对三角形对三角形ABC,任意两点间的电阻任意两点间的电阻 r023Rr A BC对分割一次后对分割一次后的图形的图形 2r1635925Rrr 56r对分割二次后对分割二次后的图形的图形 512r256r 225623Rr 可见可见, ,分割三次后分割三次后的图形的图形 331
9、252235634rrR 2536nnRr 递推到分割递推到分割n次后的图形次后的图形 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r试求试求A、B两点间两点间的等效电阻的等效电阻 解解: :ABABBABAr34ABRr ABAB 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中试求图中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 解解: : 三个金属圈共有六个结点，每四分之三个金属
10、圈共有六个结点，每四分之一弧长的电阻一弧长的电阻R/4. . 将三维金属圈将三维金属圈“压扁压扁”到到ABAB所在平面并所在平面并“抻直抻直”弧线成下图弧线成下图4R8RBA882882ABRRRRRRR 548R 4R 正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻均为段电阻均为R试求试求RAB和和RCD 解解: :34ABRr BAEF2R4R2R2RABHIE乙乙2R2RDCIGHL甲甲甲甲BAFDCIGHLEDC丙丙2R2R2R2R38CDRr 解解: :解题方向解题方向:由于对称，可将由于对称，可将ABAB中垂线上各电势点拆分，中垂线上各电
11、势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单元如图丙限网络，其基本单元如图丙BBnAnnA nB RxRRRR2R丙丙BA甲甲AABAB乙乙当当n时，多一个单元，只是使时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即按边长同比增大，即 222222222xxxxxRRRRRRRRRRRRR 713xRR 713ABaR 试求框架上试求框架上A、B两点间的电阻两点间的电阻RAB此框架是用同种细金此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为属制作的，单位长度的电阻为一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，一连串内接等边
12、三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示取如图所示取AB边长为边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半，以下每个三角形的边长依次减少一半 解解: :解题方向解题方向:将原无限长立体正三棱柱框将原无限长立体正三棱柱框架沿左、右递缩为三棱台再架沿左、右递缩为三棱台再“压压”在在AB所在平面，各电阻连接如图所在平面，各电阻连接如图 ABC2rr23r3r33rxrxrx 由由3216xr AB2 2121ABrR 如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每一段电阻丝的电阻均为知每一段电阻丝的电阻均为r，试求，试求A、B两点之间的总电阻两点之间的总电阻 AB
13、C返回返回解解: :ABABOO2I8IABO2 4I52 4I52842422ABIRIRIRII 2924ABRR 田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为阻均为R，试求网络中，试求网络中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB R2R 如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结点的导线的电阻为个结点的导线的电阻为r0，如果将，如果将A和和B接入电路，求此导线网的等接入电路，求此导线网的等效电阻效电阻RAB 解解: :BA044ABIrIRI 02ABRr 解解: :ba006336abII
14、IIRRIR 0abRR 有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求间位，求间位结点结点a、b间的等效电阻间的等效电阻 如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络，求把该网络中相邻的中相邻的A、B两点接入电路中时，两点接入电路中时，AB间的电阻间的电阻RAB 解解: :AB66ABIIIRR 3ABRR 半径
15、为半径为R的薄壁导电球由连在的薄壁导电球由连在A、B两点上的（两点上的（AOBO，O点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为I0问在球问在球面上面上C点处（点处（OCOA，OCOB）电荷朝什么方向运动？若在）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作点附近球面上作两个小标志，使它们相距两个小标志，使它们相距R1000，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？大部分通过这两标志之连线？ 解解: :BAB A Ci1i2C处单位长度上电流处单位长度上电流0212 2cI
16、iR C处垂直于电荷运动方向处垂直于电荷运动方向上一段弧是的电流为上一段弧是的电流为0212 21000IRiR 024000I 如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为2r，求，求A、B间的电阻间的电阻 解解: :ABBACC15I1115I415IBA815I715IC215I1151072415151515ABRrIIIr 2ABRr 2rr4r返回返回ACIAIc甲甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙乙RaRbRcbIbA CA BAA BA CB CB ABA BB CC AC BCC AB CUUIRRUUIRRUUIRR
17、0a baabba caaccb cbbccabcUIRIRUIRIRUIRIRIII abcacbaacabbcU RU RIR RR RR R AaBbCcIIIIII ABabACacBCbcUUUUUU bcabacbacabbcU RU RIR RR RR R cabcbacacabbcU RU RIR RR RR R abcacbacabbcU RU RR RR RR R bcabacacabbcU RU RR RR RR R cabcbaacabbcU RU RR RR RR R 1cacabbcABRR RR RR RR 1bacabbcACRR RR RR RR 1aacab
18、bcBCRR RR RR RR Y变换变换 YYYABBCcaACbRRRRRR Y变换变换 ABACABBCACBCabcRRRRRRRRR ABBCACRRR 解解: :abBAdcDCAB4r AB间等效电阻间等效电阻:cabO/2r/2r/4r2rr1.5r1.25rOBAC2Y6r 24 /5r4r4rABR 242445245525242445245525r 4780r 如图所示如图所示,一个原来用一个原来用12根相同的电阻丝构成的根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为立方体框架，每根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求，现将其中一根拆去，求A、B两点间的电阻两点
19、间的电阻 244acbr rr rrRRRr221.264451.2655ACABBCRRrrrrrR r 如图所示如图所示,甲中三端电容网络为甲中三端电容网络为型网络元，乙型网络元，乙中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式 解解: :ACqAqC甲甲BqBCABCACCBC乙乙acqaqcbqbCbCaCcOAaBbCcqqqqqq ABabACacBCbcUUUUUU AABABACACBBAABBCBCCCACACBBCqUCUCqUCUCqUCUC0abababacacacabcqqUCCqqUCCqqqY变换变换 YYYa
20、bbcacABBCCAC CC CCCCCC Y变换变换 abBCCAABcCCCCCC YabcCCCABACBABCCBCACCCCCC 解解: :RABR/3R/8R/2R/6ABR 1511R 电阻均为电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架的九个相同的金属丝组成构架如图所示，求构架上如图所示，求构架上A、B两点间电路的电阻两点间电路的电阻 如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱框架，每根导线的电阻为柱框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求，导线之间接触良好，求BD之间的电之间的电阻值阻值 解解: :BDRBR/3DR/62R/32R/1
21、5312231512BDRR 1115R 解解: :AB2RRR/8R/4ABR131118421242R 4722R 如图所示，由电阻丝构成的网络中，每如图所示，由电阻丝构成的网络中，每一段电阻丝的电阻均为一段电阻丝的电阻均为R，试求，试求RAB 由由7个阻值相同的均为个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如的电阻组成的网络元如图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图所示，试求所示，试求P、Q两点之间的等效电阻两点之间的等效电阻 解解: :Rxrr/4r/2534225342xxxxxR rrrRrrRR rrrRr 55515xRr rrr
22、rrrrPQ 如图所示，一长为如图所示，一长为L的圆台形均匀导体，两底面的圆台形均匀导体，两底面半径分别为半径分别为a和和b ，电阻率为，电阻率为试求它的两个底面之间的电阻试求它的两个底面之间的电阻 解解: :Lba2iLnRLai kn 211limlimnninniiLRRLn a i kn 111lim1nniLLLnaikai knn 111lim1nniLLkaikai knn 11kab 11Labab 本题解题方向本题解题方向: 由电由电阻定律出发阻定律出发,用微元用微元法求解法求解!解解: :l12iiirrRnr l ab121nniirRlnr 12lim 1limnnin
23、nirRlnr 2 Rlbea ln2blRa 本题解题方向本题解题方向: 由电阻定由电阻定律出发律出发,用微元法求解用微元法求解! 一铜圆柱体半径为一铜圆柱体半径为a、长为、长为l，外面套一个与它，外面套一个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为共轴且等长的铜筒，筒的内半径为b，在柱与筒之间充满电阻率为，在柱与筒之间充满电阻率为的均匀物质，如图，求柱与筒之间的电阻的均匀物质，如图，求柱与筒之间的电阻 如图所示的立方体网络中，每一小段电如图所示的立方体网络中，每一小段电阻丝的电阻均为阻丝的电阻均为R，试求，试求RPQ. 解解: :/2Rr/4RQPPC2RPC7R3R3R12R47R27R1235PCRR 2435PQRR
