1、第第6章章 MATLAB数据分析与多项式计算数据分析与多项式计算6.1 数据统计处理数据统计处理6.2 数据插值数据插值6.3 曲线拟合曲线拟合6.4 多项式计算多项式计算6.1 数据统计处理数据统计处理6.1.1 最大值和最小值最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为小值的函数分别为max和和min，两个函数的，两个函数的调用格式和操作过程类似。调用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值求向量的最大值和最小值 求一个向量求一个向量X的最大值的函数有两种调用格的最大值的函数有两种调用格式，分别是：式，分别是：(1) y=max(
2、X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，如果如果X中包含复数元素，则按模取最大值。中包含复数元素，则按模取最大值。(2) y,I=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，最大，最大值的序号存入值的序号存入I，如果，如果X中包含复数元素，则按模中包含复数元素，则按模取最大值。取最大值。 求向量求向量X的最小值的函数是的最小值的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完全相同。完全相同。例例6-1 求向量求向量x的最大值。的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量求向量x中的最大值中的最大值y,l=ma
3、x(x) %求向量求向量x中的最大值及其该元素中的最大值及其该元素的位置的位置2求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值 求矩阵求矩阵A的最大值的函数有的最大值的函数有3种调用格式，种调用格式，分别是：分别是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第：返回一个行向量，向量的第i个个元素是矩阵元素是矩阵A的第的第i列上的最大值。列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量：返回行向量Y和和U，Y向量向量记录记录A的每列的最大值，的每列的最大值，U向量记录每列最向量记录每列最大值的行号。大值的行号。(3) max(A,dim)：dim取取1或或2。dim取取1时，时，该函数和该
4、函数和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2时，该时，该函数返回一个列向量，其第函数返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A矩矩阵的第阵的第i行上的最大值。行上的最大值。 求最小值的函数是求最小值的函数是min，其用法和，其用法和max完全完全相同。相同。 例例6-2 分别求分别求34矩阵矩阵x中各列和各行元素中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。小值。3两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较函数函数max和和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：用格式为：(1
5、) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果是两个同型的向量或矩阵，结果U是与是与A,B同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A,B对应元素的对应元素的较大者。较大者。(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果是一个标量，结果U是与是与A同型的向量或同型的向量或矩阵，矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A对应元素和对应元素和n中的较大者。中的较大者。min函数的用法和函数的用法和max完全相同。完全相同。例例6-3 求两个求两个23矩阵矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵的新矩阵p。6.1.2 求和与求积
6、求和与求积 数据序列求和与求积的函数是数据序列求和与求积的函数是sum和和prod，其使用方法类似。设其使用方法类似。设X是一个向量，是一个向量，A是一是一个矩阵，函数的调用格式为：个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量：返回向量X各元素的和。各元素的和。prod(X)：返回向量：返回向量X各元素的乘积。各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的元素和。列的元素和。 prod(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是 A的第的第i列的元素乘积。列的元素乘积。 sum(A,dim)：当：当dim为为
7、1时，该函数等同于时，该函数等同于sum(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。 prod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于prod(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素乘积。行的各元素乘积。例例6-4 求矩阵求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的每行元素的乘积和全部元素的乘积。的乘积。6.1.3 平均值和中值平均值和中值求数据序列平均值的函数是求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的
8、函数，求数据序列中值的函数是是median。两个函数的调用格式为：。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量：返回向量X的算术平均值。的算术平均值。median(X)：返回向量：返回向量X的中值。的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的算术列的算术平均值。平均值。median(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的中列的中值。值。mean(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于mean(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i
9、个元素是个元素是A的第的第i行的算术行的算术平均值。平均值。median(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于median(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的行的中值。中值。例例6-5 分别求向量分别求向量x与与y的平均值和中值。的平均值和中值。6.1.4 累加和与累乘积累加和与累乘积在在MATLAB中，使用中，使用cumsum和和cumprod函数能方便地求得函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：为：cumsum
10、(X)：返回向量：返回向量X累加和向量。累加和向量。cumprod(X)：返回向量：返回向量X累乘积向量。累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累加和向列的累加和向量。量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累乘积列的累乘积向量。向量。cumsum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumsum(A)；当当dim为为2时，返回一个矩阵，其第时，返回一个矩阵，其第i行是行是A的第的第i行的累加行的累加和向量。和向量。cumprod(A,dim)：当：当dim为
11、为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumprod(A)；当当dim为为2时，返回一个矩阵，其第时，返回一个矩阵，其第i行是行是A的第的第i行的累乘行的累乘积向量。积向量。6.1.5 排序排序 MATLAB中对向量中对向量X是排序函数是是排序函数是sort(X)，函数，函数返回一个对返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，的各列或各行重新排序，其调用格式为：其调用格式为： Y,I=sort(A,dim) 其中其中dim指明对指明对A的列还是行进行排序。若的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若则
12、按列排；若dim=2，则按行排。，则按行排。Y是排序后的矩是排序后的矩阵，而阵，而I记录记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。例例6-9 对二维矩阵做各种排序。对二维矩阵做各种排序。6.2 数据插值数据插值6.2.1 一维数据插值一维数据插值 在在MATLAB中，实现这些插值的函数是中，实现这些插值的函数是interp1，其，其调用格式为：调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据函数根据X,Y的值，计算函数在的值，计算函数在X1处的值。处的值。X,Y是两是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一是一个
13、向量或标量，描述欲插值的点，个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与是一个与X1等长的等长的插值结果。插值结果。method是插值方法，允许的取值有是插值方法，允许的取值有linear、nearest(用最接近的相邻点插值用最接近的相邻点插值)、cubic(三次插值三次插值)、spline(三次样条三次样条)。注意：注意：X1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。错误。例例6-10 用不同的插值方法计算在用不同的插值方法计算在/2点的值。点的值。 MATLAB中有一个专门的中有一个专门的3次样条插值函数次样条插值函数Y1=spl
14、ine(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。完全相同。例例6-11 某观测站测得某日某观测站测得某日6:00时至时至18:00时之间每隔时之间每隔2小时的小时的室内外温度室内外温度()，用，用3次样条插值分别求得该日室内外次样条插值分别求得该日室内外6:30至至17:30时之间每隔时之间每隔2小时各点的近似温度小时各点的近似温度()。 设时间变量设时间变量h为一行向量，温度变量为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如其中第一列存放室内温度，第二列
15、储存室外温度。命令如下：下： h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI =6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,spline) %用用3次样条插值计算次样条插值计算6.3 曲线拟合曲线拟合 在在MATLAB中，用中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。出的点上的函数近似值。 polyfit函数的调用格式为：函数的调用格式为： P,S=polyfit(X,
16、Y,m) 函数根据采样点函数根据采样点X和采样点函数值和采样点函数值Y，产生一个，产生一个m次多项次多项式式P及其在采样点的误差向量及其在采样点的误差向量S。其中。其中X,Y是两个等长的向是两个等长的向量，量，P是一个长度为是一个长度为m+1的向量，的向量，P的元素为多项式系数。的元素为多项式系数。 Polyval函数的功能是按多项式的系数计算函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值。点多项式的值。例例6-14 已知数据表已知数据表t,y，试求，试求2次拟合多项式次拟合多项式p(t)，然后求，然后求ti=1.5,2.5,3.5,4.5各点的函数近似值。各点的函数近似值。t=1 2 3 4
17、5;y=5.5 43.1 128 290.7 498.4;p=polyfit(t,y,3);ti=1.5 2.5 3.5 4.5;yi=polyval(p,ti);plot(t,y,-,ti,yi,o);grid on多项式的表达（多项式的表达（expression of polynomial）Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient)，各元素按变量的降幂顺序排列，如多项式为：P(x)=a0 xn+a1xn-1+a2xn-2an-1x+an则其系数矢量则其系数矢量(Vector of coefficient)为：为：P=a0 a1 an-1 an如将根矢量根矢量(Vector
18、 of root)表示为：ar= ar1 ar2 arn则根矢量与系数矢量之间关系为：则根矢量与系数矢量之间关系为：（x-ar1）(x- ar2) (x- arn)= a0 xn+a1xn-1+a2xn-2an-1x+an6.5 多项式计算多项式计算6.5.1 多项式的四则运算多项式的四则运算1多项式的加减运算多项式的加减运算2多项式乘法运算多项式乘法运算 函数函数conv(P1,P2)用于求多项式用于求多项式P1和和P2的乘的乘积。这里，积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。是两个多项式系数向量。例例6-16 求多项式求多项式x4+8x3-10与多项式与多项式2x2-x+3的的乘积。乘积
19、。 3多项式除法多项式除法 函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式用于对多项式P1和和P2作作除法运算。其中除法运算。其中Q返回多项式返回多项式P1除以除以P2的商式，的商式，r返回返回P1除以除以P2的余式。这里，的余式。这里，Q和和r仍是多项式系仍是多项式系数向量。数向量。deconv是是conv的逆函数，即有的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。6.5.3 多项式的求值多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：提供了两种求多项式值的函数：polyval与与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量和自变
20、量x。两者的区别在于前者是代数多项式求。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。值，而后者是矩阵多项式求值。1代数多项式求值代数多项式求值 polyval函数用来求代数多项式的值，其调函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：用格式为： Y=polyval(P,x) 若若x为一数值，则求多项式在该点的值；若为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。元素求其多项式的值。 例例6-19 已知多项式已知多项式x4+8x3-10，分别取，分别取x=1.2和一个和一个23矩阵为自变量计算该多项式的矩阵
21、为自变量计算该多项式的值。值。2矩阵多项式求值矩阵多项式求值 polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。相同，但含义不同。polyvalm函数要求函数要求x为方阵，为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，为方阵，P代表多代表多项式项式x3-5x2+8，那么，那么polyvalm(P,A)的含义是：的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而而polyval(P,A)的含义是：的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例例6-20
22、 仍以多项式仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个为例，取一个22矩阵为自变矩阵为自变量分别用量分别用polyval和和polyvalm计算该多项式的值。计算该多项式的值。6.5.4 多项式求根多项式求根n次多项式具有次多项式具有n个根，当然这些根可能是实个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的提供的roots函数用于求多项式的函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向为多项式的系数向量，求得的根赋给向量量x，即，即x(1),x(2),x(n)分别
23、代表多项式的分别代表多项式的n个根。个根。例例6-21 求多项式求多项式x4+8x3-10的根。的根。命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起函数建立起该多项式，其调用格式为：该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若若x为具有为具有n个元素的向量，则个元素的向量，则poly(x)建立以建立以x为其为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例例6-22 已知已知 f(x)(1) 计算计算f(x)=0 的全部根。的全部根。(2) 由方程由方程f(x)=0的根构造一个多项式的根构造一个多项式g(x)，并，并与与f(x)进行对比。进行对比。命令如下：命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X) %求多项式求多项式g(x)
