1、第三章晶格振动和晶体的第三章晶格振动和晶体的热学性质热学性质格波格波声子声子固体比热爱因斯坦模型，德拜固体比热爱因斯坦模型，德拜模型模型3.1 一维原子链的振动一维原子链的振动一、一维单原子链的振动一、一维单原子链的振动 每个原子的质量为每个原子的质量为m，平衡时原子之间的距离为，平衡时原子之间的距离为a，由于，由于热振动各原子离开了平衡位置，用热振动各原子离开了平衡位置，用xn表示第表示第n个原子离开平个原子离开平衡位置的位移，第衡位置的位移，第n个原子与第个原子与第n+1个原子的相对位移为个原子的相对位移为xn+1-xn，第，第n个原子与第个原子与第n-1个原子的相对位移为个原子的相对位移
2、为xn-xn-1 n-2 n-1 n n+1 n+2 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2设在平衡位置时，两个原子的相互作用势能为设在平衡位置时，两个原子的相互作用势能为u(a)，令，产生相对位移后，相互作，令，产生相对位移后，相互作用势能为用势能为 )(au222)(21)()()(aadruddrduauaunnxx1aadruddruddduF)()(2222第第1项为常数，第项为常数，第2项为项为0，高阶项可忽略，恢复，高阶项可忽略，恢复力为力为简谐近似简谐近似只考虑只考虑近邻原子之间的相互作用力近邻原子之间的相互作用力，则第，则第n个个原子受到的作用力为原子受到的作用力为)(
3、),(11nnnnxxxxxn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2如果两个相对位移符号是相同的，则第如果两个相对位移符号是相同的，则第n个原个原子受到的这两个力方向是相反的。子受到的这两个力方向是相反的。合力为合力为由牛顿运动定律得第由牛顿运动定律得第n个原子的运动方程为个原子的运动方程为)2(11nnnxxx)2(1122nnnnxxxdtxdm), 2 , 1(Nn方程共有方程共有N个，组成联立的线性齐次方程组，设方程个，组成联立的线性齐次方程组，设方程的解是一振幅为的解是一振幅为A，角频率为，角频率为的简谐运动：的简谐运动：)(tqnainAexn取1,2,N上式表明：一维原子链中的
4、每个原子都在做角上式表明：一维原子链中的每个原子都在做角频率为频率为的简谐振动，不同位置的原子位相可以的简谐振动，不同位置的原子位相可以不同，如果第不同，如果第n个原子与第个原子与第n个原子的位相因子个原子的位相因子之差为之差为qsnaansqnaanq2,2ntqnaisitanqinxeAeAex)(2)(则则表明两个原子因振动产生的位移相同，由于表明两个原子因振动产生的位移相同，由于n是任意的，因是任意的，因此，不同的原子总有与其位移相同的许多个原子，因此，在此，不同的原子总有与其位移相同的许多个原子，因此，在晶体中存在一定频率的波晶体中存在一定频率的波格波格波格波的波长为，波速为格波的
5、波长为，波速为q2qqv22但是，并不是任一频率的格波都会在晶体中传播，将但是，并不是任一频率的格波都会在晶体中传播，将xn代入代入方程得：方程得：2sin2)2sin2(2)cos1 (2)cos22()2(2212222)()1()1()(2qamqamqamqameemeeeAAemiqaiqatqnaitanqitanqitqnai色散关系色散关系)(tqnaie)(2)()2(tqaniknitqanitnkqaieeee中的中的qa改变改变2 的整数倍，即的整数倍，即因此，因此，qa取取2 范围内的值范围内的值就可以给出所有的格波，就可以给出所有的格波，qa再取其他的值并不给出新的
6、解。再取其他的值并不给出新的解。qa取取 - ， ，q的取值的取值正是一维原子链的第一布里源区。正是一维原子链的第一布里源区。,aa001m)1/2q2sin221qamamv212221qam当当q很小时很小时波速波速为常数为常数二、一维双原子链二、一维双原子链对于一维格子，如果原胞内含有多个原子，则是一维复式格对于一维格子，如果原胞内含有多个原子，则是一维复式格子。考虑两个原子的情况，即一维双原子链，设一个原胞的体子。考虑两个原子的情况，即一维双原子链，设一个原胞的体积为积为2a，质量为，质量为m的原子分别位于的原子分别位于2n-1,2n+1,2n+3,各各点，质量为点，质量为M的原子分别
7、位于的原子分别位于2n-2,2n, 2n+2, 各点，仍各点，仍假设回复力为假设回复力为- ，只考，只考虑虑近近邻邻原子的相互作用，原子的相互作用，则则 2n-2 2n-1 2n2n+1 2n+2 a a a a)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdmxxxdtxdMN个N个共有共有2N个方程，设其解为个方程，设其解为)12(12)2(2tanqintnaqinBexAex0)2(cos20cos2)2(2)(2)(2222BmqaAqaBAMBeeABmAeeBAMiqaiqaiqaiqa02cos2cos2222mqaqaM0sin4)(20cos44
8、)(222242224qamMMmqamMMmsin)(41 121222qaMmmMmMMm在在x2n,x2n+1中中q2a改变改变2 的整数倍，的整数倍，)12()12(2)22(2)12(12)2()2(2)22()2(2tanqitanqiknitqankaqitqaanqitanqintnaqitnaqiknitnkaqitnaqinBeeBeBeBeBexAeeAeAeAex因此，因此，q2a取取2 范围内的值就足够了，范围内的值就足够了，q2a取其取其他的值并不给出新的解。他的值并不给出新的解。q2a取取 - ， ，q的取值的取值正是周期为正是周期为2a的一维格子的第一布里源区。
9、的一维格子的第一布里源区。2,2aa声学波和光学波声学波和光学波0cossin4sin)(41 sin)(41 1212212212212qaqaaMmqaMmmMdqdqaMmmMmMMmMMmmMmMMmMmmMmMMmqa2)1 ()(41 1,221212120, 021qa2, 0qa当取极值当取极值当取极小值当取极小值当当取极大值取极大值222421121111sin)(4xxxqaMmmMqaMmqaMmqaMmmMmMMmsin)2(sin)(2sin)(21 121122212当当利用利用与一维单原子链的色散关系类似，说明此时晶格的振动是与一维单原子链的色散关系类似，说明此时
10、晶格的振动是原胞内两个原子一起振动原胞内两个原子一起振动sin)(41 1212222qaMmmMmMMm2, 0qa22, 0max22mMMmqamMmmMmMMmMmmMmMMmqa2)1 ()(41 1,2212min22当取极值当取极值两种原子的振幅之比两种原子的振幅之比对于声学波对于声学波0)(, 0cos,2222cos22)(12121211BAqaMMMmmMqamBA两种原子有相同的正号或负号，相邻的两种原子两种原子有相同的正号或负号，相邻的两种原子沿同一方向一起振动。沿同一方向一起振动。对于光学波对于光学波0)(2,2,22cos2)(222222222222BAmMmm
11、MqaBA相邻两种原子的振动方向相反。相邻两种原子的振动方向相反。0112222cos2)(21cos, 022222BmAMMmmmMmMMmMMqaBAqaq当当可知质心不动，两个相邻的不同原子相对振动。可知质心不动，两个相邻的不同原子相对振动。玻恩卡曼边界条件玻恩卡曼边界条件前面所考虑的运动方程实际上只适用于无限长前面所考虑的运动方程实际上只适用于无限长的链，所有原子都假定有相同的运动方程。而一的链，所有原子都假定有相同的运动方程。而一个有限的链两端的原子显然应和内部的原子有所个有限的链两端的原子显然应和内部的原子有所不同，如，在只有近邻作用时，最两端的原子只不同，如，在只有近邻作用时，
12、最两端的原子只受到一个近邻原子的作用，因此，它们将与其它受到一个近邻原子的作用，因此，它们将与其它原子有不同的运动方程，虽然仅少数原子运动方原子有不同的运动方程，虽然仅少数原子运动方程不同，但由于所有原子的方程是联立的，具体程不同，但由于所有原子的方程是联立的，具体解方程就要复杂得多。为了避免这种情况，玻恩解方程就要复杂得多。为了避免这种情况，玻恩卡曼提出卡曼提出包含包含N个原胞的环状链作为一个有限链个原胞的环状链作为一个有限链的模型的模型。环状链包含有限数目的原子，却保持所有原胞完环状链包含有限数目的原子，却保持所有原胞完全等价。以前的运动方程仍旧适用，如果全等价。以前的运动方程仍旧适用，如
13、果N很大，很大，使环的半径很大，沿环的运动仍旧可以看作是直使环的半径很大，沿环的运动仍旧可以看作是直线运动。和以前不同的是必须考虑环的循环性，线运动。和以前不同的是必须考虑环的循环性，也就是原胞的标数也就是原胞的标数n增加增加N，振动情况必须复原，振动情况必须复原，因为又回到了原来的那个原胞。因为又回到了原来的那个原胞。2,2, ,22, 1NNhaahNaqhNqaeiNqaq的取值共有的取值共有N个个对于一维双原子链该如何？对于一维双原子链该如何？三、三维晶格的振动三、三维晶格的振动 考虑原胞内含有考虑原胞内含有n个原子的复式晶格，个原子的复式晶格，n个原子个原子的质量分别为的质量分别为m
14、1，m2，mn，原胞以，原胞以l(l1l2l2)标志，表明它位于格点标志，表明它位于格点332211)(alalallRnlRlRlR,2,1nlll,2,1原胞中各原子的位置用原胞中各原子的位置用原胞中各原子的位移用原胞中各原子的位移用klrRklRzyxnkklmk, 2 , 1 tqklRikeAkl3n个方程个方程解为解为kkkkAkkqCAm,2qj是以是以A1x,A1y,A1z,Anx,Any,Anz为未知数的为未知数的3n个线性齐个线性齐次联立方程次联立方程，有解的条件是系数行列式等于零，进一步得，有解的条件是系数行列式等于零，进一步得到到2 2的的3n3n次方程式，次方程式，从
15、从而而给给出出3n3n个个解解j(j=1,2,3n)。其中，有三个解当其中，有三个解当q 0时，而且，时，而且， A1x,A1y,A1z,Anx,Any,Anz都趋向于相同，类似于弹性都趋向于相同，类似于弹性波，另外的波，另外的3n-3个解的长波极限描述个解的长波极限描述n个格子之间的相对个格子之间的相对振动，并具有有限的振动频率。振动，并具有有限的振动频率。在三维晶格中，对一定的波矢在三维晶格中，对一定的波矢q，有，有3个声学波，个声学波，3n-3个个光学波。或者说，有光学波。或者说，有3支声学波，支声学波，3n-3支光学波支光学波。在三维情形下，在三维情形下，q的取值同样受到边界条件的限制
16、，的取值同样受到边界条件的限制，只能取某些值而不是任意的。引入只能取某些值而不是任意的。引入“q空间空间”来表示边来表示边界条件所允许的界条件所允许的q值，即把值，即把q看做空间的矢量，边界条件看做空间的矢量，边界条件所允许的所允许的q值表示为这个空间中的点子。值表示为这个空间中的点子。 q空间以倒格空间以倒格矢矢b1,b2,b3为基矢为基矢332211bxbxbxq仍采用仍采用玻恩卡曼边界条件玻恩卡曼边界条件，三维情况下，三维情况下)()()()()()(332211llllllRaNRRaNRRaNR N1，N2，N3为沿三个基矢方向的原胞数，为沿三个基矢方向的原胞数，晶体总原胞数为晶体总
17、原胞数为N=N1N2N3，(Rl)代表代表Rl格格点上原胞的位移（可以是原胞中任一原子的点上原胞的位移（可以是原胞中任一原子的位移）位移）333333222222111111,2,2,2NhxhaNqNhxhaNqNhxhaNq333222111bNhbNhbNhq333222111bNhbNhbNhqVNNbNbNbN33332211)2()2(*1)11(1q的不同取值代表的不同取值代表q空间均匀分布的点子，每个点子占据空间均匀分布的点子，每个点子占据q空间的体积为空间的体积为允许的允许的q值在值在q空间均匀分布的密度为空间均匀分布的密度为33)2()2(1VV从原子振动考查，从原子振动考
18、查，q的作用在于确定不同原胞之间的的作用在于确定不同原胞之间的位相关系位相关系在在中如果中如果q改变一个倒格矢改变一个倒格矢332211bhbhbhkh)(qlRie)(2)(332211hlhlhlklRh是是2 的整数倍，的整数倍，对位相因子没有影响对位相因子没有影响，因此，要得到所有不同的格波，也只，因此，要得到所有不同的格波，也只需要考虑一定范围内的需要考虑一定范围内的q值，例如只考虑值，例如只考虑一个倒格子原胞中的一个倒格子原胞中的q值值，把平行六面体选为，把平行六面体选为q的取值范围。其它的的取值范围。其它的q值在指定原胞值在指定原胞内总存在一个对应的内总存在一个对应的q值，它们之间只差一个，因此对值，它们之间只差一个，因此对格波的描述没有任何区别。格波的描述没有任何区别。hk3)2(V由于分布密度为不同的由于分布密度为不同的q总数为总数为NVV333)2()2()2(*3支声学波支声学波3n-3支光学波，每支支光学波，每支N个格波，共个格波，共3nN个格波，正好与晶体中原子的总自由度数个格波，正好与晶体中原子的总自由度数3nN相等。相等。
