1、2022-3-81 3 球应力及偏差应力球应力及偏差应力o 球应力球应力o 由应力张量第一不变量由应力张量第一不变量zyxI1321令令zyxmI3131132131称称 为应力状态的为应力状态的平均应力平均应力，其大小也与，其大小也与坐标系无关。坐标系无关。mo 在主坐标系下，若斜面的方向余弦取2022-3-8231nml则斜面上的正应力为则斜面上的正应力为32123222131nmlnm这样的斜面有这样的斜面有8个，构成一个正八面体。个，构成一个正八面体。作用在这些面上的应力称为作用在这些面上的应力称为八面体应力八面体应力 232221nmln1222nmlnmlSSSnnn3213210
2、00000nSmSlSnznynxn2022-3-83八面体有八个面，是一个棱锥体，每个面都是一个等边三角形。八面体的这八个面均为全等的等边多边形。2022-3-84o 八面体应力可分为八面体正应力八面体应力可分为八面体正应力 和八面体和八面体切应力切应力 。88132183131Im在主坐标系下斜面上的应力为在主坐标系下斜面上的应力为:nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000232221nmln正应力正应力nSmSlSnznynxnzyx31321232221831nmlnmlSSSnnn3213210000002022-3-85在主坐标系下斜面上的应力为在主坐标系
3、下斜面上的应力为23222128282222)()()(nmlSSSSnZnynxn22321)31(2132322218312022-3-86o 作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变换作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变换无关的常量。若过一点斜面上的切应力为零，无关的常量。若过一点斜面上的切应力为零，只受主应力且主应力大小相等，均为平均应只受主应力且主应力大小相等，均为平均应力力 因而这点不会产生塑性变形，仅发生因而这点不会产生塑性变形，仅发生体积的弹性变化。体积的弹性变化。o 此时我们定义此时我们定义 mp为静水压力为静水压力 m m2(y)3(z)1(x) mmzyxmI31311321
4、31静水压力由均质流体作用于一个物体上的压力。外力。这是一种全方位的力，并均匀地施向物体表面的各个部位。2022-3-87任意一点在主坐标系下，全应力图示o 当坐标轴取主轴时，斜面上的应力有当坐标轴取主轴时，斜面上的应力有 nSmSlSnnn 3322111222nml1232322222121nnnSSS椭球面方程椭球面方程 1222222czbyax2022-3-88o 该椭球面主半径长该椭球面主半径长度分别等于主应力度分别等于主应力 1、 2、 3的值。的值。此椭球面称为应力此椭球面称为应力椭球面。由椭球面椭球面。由椭球面上任意点向原点连上任意点向原点连线，此线段长度表线，此线段长度表示
5、任意斜面上的全示任意斜面上的全应力应力Sn。 应力椭球面应力椭球面 3 1 22022-3-89o 如果如果 ，则椭球面变成球面。，则椭球面变成球面。此时，变形体中一点的应力状态为三个主应力此时，变形体中一点的应力状态为三个主应力相同，并等于相同，并等于 ，此点应力状态可用如下矩阵，此点应力状态可用如下矩阵表示表示 pm321mmmmsT000000 由于这一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分由于这一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩阵便是球形应力张量，简称阵便是球形应力张量，简称球应力
6、张量球应力张量。 pppTs000000或或 m m2(y)3(z)1(x) m2022-3-810o 球应力分量仅能使物球应力分量仅能使物体引起体积胀缩的弹体引起体积胀缩的弹性体积变化，这部分性体积变化，这部分应力分量对物体的塑应力分量对物体的塑性变形是无贡献的。性变形是无贡献的。2022-3-8113.2 偏差应力偏差应力o 取任意应力张量取任意应力张量zyzxzzyyxyzxyxxT从其中去掉球应力张量，即从其中去掉球应力张量，即mmmzyzxzzyyxyzxyxxsdTTT000000zyxmI31311其球应力张量，其球应力张量，mmmsT0000002022-3-812mzyzxz
7、zymyxyzxyxmxdTzyzxzzyyxyzxyxx该应力张量称为该应力张量称为偏差应力张量偏差应力张量mzzmyymxx 其中其中应力球张量应力偏张量 sdTTT这样某点的应力状态zyzxzzyyxyzxyxxmmm0000002022-3-813为什么要将一点应力状态分为偏差应力张量和球应力张量，物体变形，首先是弹性变形，对应的是应力球张量，使物体体积发生改变。然后发生塑性变形，对应的是应力偏张量，使物体形状发生变化。分析塑性变形问题时，特别是小变形问题时，需要去掉球应力张量，只考虑偏差应力张量。2022-3-814o 偏差应力张量也是二阶对称应力张量，具有偏差应力张量也是二阶对称应
8、力张量，具有与应力张量类似的性质，比如与应力张量类似的性质，比如zyxI13212222zxyzxyxzzyyxI2132322216122232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI321为偏差应力张量一次、二次、三次不变量为偏差应力张量一次、二次、三次不变量 0)()()(mzmymx2022-3-815偏差应力张量不变量的物理意义偏差应力张量不变量的物理意义o 一次不变量表达了应力分量无静水应力。一次不变量表达了应力分量无静水应力。o 二次不变量可以作为变形体由弹性向塑性状二次不变量可以作为变形体由弹性向塑性状态过渡的判据态过渡的判据（米塞斯屈服准则）（米塞斯屈服准则）。o 三次不变量的
9、意义三次不变量的意义 o 八面体切应力与二次不变量的关系八面体切应力与二次不变量的关系221323222183231I压缩类应变平面应变伸长类应变, 0, 0, 0333III2022-3-816o 也存在偏差主应力，并且和相应的应力主轴也存在偏差主应力，并且和相应的应力主轴保持一致。保持一致。o 偏差应力张量为从一般应力张量中去掉引起偏差应力张量为从一般应力张量中去掉引起体积改变的球应力张量而得到，而一般变形体积改变的球应力张量而得到，而一般变形可以看作体积改变和形状改变的总和，因此可以看作体积改变和形状改变的总和，因此偏差应力张量引起变形体形状的改变。偏差应力张量引起变形体形状的改变。20
10、22-3-817=+=+z应力张量球应力张量偏差应力张量应力张量的分解任意坐标系主轴坐标系ymmmxxyyzxxzyxyzzxzyxyxzyxyzzxzy123mmm1232022-3-818根据应力偏张根据应力偏张量可以判断变量可以判断变形的类型形的类型 简单拉伸简单拉伸=+4-2222-26224222006T2 -2 4332211mmm231321m0163213I球应力张量偏应力张量2022-3-819-3-334-1-1-1=+-2拉拔拉拔224111333T-2131321m2 -2 4332211mmm0163213I2022-3-820挤压挤压-8-8-2-6-6-6-2-2
11、4=+224666882T631321m2 -2 4332211mmm0163213Io 这三种加工方式，应力状态不同，但是应力偏张量相同，所产生变形都是轴向伸长类，属于拉伸类应变。我们可以根据应力偏张量判断应变类型。2022-3-8212022-3-82210.5.3 主应力图示主应力图示o 表示一点的主应力有无和正负号的应力状态表示一点的主应力有无和正负号的应力状态图示称为图示称为主应力图示主应力图示。o 主应力图示有九种：体应力状态图示四种、主应力图示有九种：体应力状态图示四种、面应力状态图示三种、线应力状态图示两种。面应力状态图示三种、线应力状态图示两种。 2022-3-823o 主偏差应力图示有三种主偏差应力图示有三种 0321原因原因平面应力2022-3-824 变形体的某个平面上无应力，即z=0，zx=zy=0，这种状态称为平面应力状态。相应的应力张量为 此张量具有三个独立应力分量：x、y、xy（=yx）。实际生产中薄壁管的扭转，薄壁容器受压力，板材的冲压，厚度方向应力较小，可以看成为平面应力状态。0000000212022-3-825课后作业Homework对于直角坐标系 Oxyz 内，已知受力物体内一点的应力张量为: 求：应力偏张量及应力球张量。
