1、2022-3-814 主应力及主切应力主应力及主切应力o4.1 主应力的概念主应力的概念o 刚才我们已经学习求解通过刚才我们已经学习求解通过P点任意点任意斜面其应力的方法。实际中是否存在斜面其应力的方法。实际中是否存在一个或者几个斜面，其切取一个或者几个斜面，其切取P点后斜点后斜面上只有正应力没有切应力也就是全面上只有正应力没有切应力也就是全应力方向和法线方向一致。进一步的，应力方向和法线方向一致。进一步的，我们定义这个斜面为坐标面，像这样我们定义这个斜面为坐标面，像这样通过坐标变换得到只有正应力的坐标通过坐标变换得到只有正应力的坐标面称为为面称为为主平面主平面，坐标轴（该坐标面，坐标轴（该坐
2、标面法线）称为法线）称为主轴主轴，此应力称为，此应力称为主应力主应力2022-3-822022-3-83主应力的求解主应力的求解设O点在xyz坐标下的应力分量已知，o 如果取斜面如果取斜面ABC截取截取O点，点，假设该斜面上只有主应力假设该斜面上只有主应力而没有切应力。这时，作而没有切应力。这时，作用在此面上的全应力就是用在此面上的全应力就是主应力。用主应力。用 表示主应力表示主应力（即主应力（即主应力 ）则它在）则它在各坐标轴上的投影为各坐标轴上的投影为 nnSSmmSSllSSnnznnynxnSSzyzxzzyyxyzxyxx2022-3-84o 代入到斜面应力方程中有代入到斜面应力方程
3、中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-3-85)0 , 0 , 0(NMLzyzxzzyyxyzxyxx由上面四个方程可求出主应力由上面四个方程可求出主应力 及其方向余弦及其方向余弦l、m、n，求出的方向余弦求出的方向余弦即为该主应力斜面的位置。显然，前三个方程构成一个齐次方程组（常即为该主应力斜面的位置。显然，前三个方程构成一个齐次方程组（常数项为数项为0的方程），的方程），整理后可以得到下面矩阵运算。因为整理后可以得到下面矩阵运算。因
4、为显然不能有显然不能有l = m = n = 0这样的解。这样的解。1222nml000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx2022-3-86o 根据线性方程理论，如要方程组有其他解时，根据线性方程理论，如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即必须取该方程组的系数行列式为零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-3-87o 展开此行列式，得展开此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI则有则
5、有032213III2022-3-88o 三次方程式三次方程式 称为称为应力状态特征方程应力状态特征方程。求解此方程，得到。求解此方程，得到的三个根的三个根 就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。 032213III321,2022-3-89主应力的特点主应力的特点o 三个主应力所作用的三个斜面是相互垂直的三个主应力所作用的三个斜面是相互垂直的o 将主应力将主应力 1代入（代入（*）式中的任何两个方程，）式中的任何两个方程，并与（并与（*）式联立，可以求解出主应力）式联立，可以求解出主应力 1的的方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同
6、理，可以求解出主应力应力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l3、m3、n3 。o 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll 由上面由上面3个式子可以得出，三个主应力两两相互垂直。对于任何一个应力情况已知的质点，个式子可以得出，三个主应力两两相互垂直。对于任何一个应力情况已知的质点，我们都可以找到我们都可以找到3个相互垂直的斜面，在这三个斜面上只有正应力，三个主应力也是相互垂个相互垂直的斜面，在这三个斜面上只有正应力，三个主应力也是相互垂直。直。2022-3-81
7、0应力张量不变量应力张量不变量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxI)(13322122232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI321 对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称是不随坐标系改变的，分别称为为一次、二次和三次应力常量一次、二次和三次应力常量，或称为，或称为应力张量不变量应力张量不变量。2022-3-811o 三个主应力均为实根三个主应力均为实根 o
8、 主应力具有极值性质主应力具有极值性质o 三个主应力中的最大值赋给三个主应力中的最大值赋给 1，最小值赋给，最小值赋给 3，并按大小顺序排列，并按大小顺序排列 1 2 3，则过该，则过该点任意微分斜面上的正应力中，点任意微分斜面上的正应力中， 1为最大值，为最大值， 3为最小值。为最小值。 2022-3-812主坐标系主坐标系o 因为三个主应力斜面两两相互垂直，若取三因为三个主应力斜面两两相互垂直，若取三个主应力斜面为坐标平面，坐标轴与主应力个主应力斜面为坐标平面，坐标轴与主应力方向（斜面法线方向）一致，则构成方向（斜面法线方向）一致，则构成主坐标主坐标系系，其坐标轴称为，其坐标轴称为主轴主轴
9、。则一点应力情况用。则一点应力情况用主坐标系表示如下：主坐标系表示如下： 2 12(y)3(z)1(x) 3321000000T为主应力张量为主应力张量2022-3-813o 在主坐标系下斜面上的力平衡方程为：在主坐标系下斜面上的力平衡方程为：nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或或232221nmln正应力正应力nSmSlSnznynxnnmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynx2022-3-814练习o 已知变形体内某点的应力状态已知变形体内
10、某点的应力状态 80027060027050T N/mm2 试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。2022-3-815o 解：解：80027060027050T （1 1） = 60MPa为一主应为一主应力。这个面上只有正应力。这个面上只有正应力，没有切应力力，没有切应力1908060501zyxI11071729)400048003000(2222zxyzxyxzzyyxI196260729*6024000022223xyzzxyyzxzxyzxyzyxI2022-3-816032213III01962601107119023已知6060为一个解，将
11、上式因式分解，为一个解，将上式因式分解，0)3271130)(60(20)()(3212022-3-817展开并求解展开并求解0327113022327141301302MPa9 .95)2(MPa1 .34)3(2022-3-818o 按大小顺序排列后，得到按大小顺序排列后，得到o 求求 1的方向余弦。将的方向余弦。将 1代入到（代入到（*）式中）式中MPa9 .951MPa1 .343MPa602080270275011nlnl与与 联立求解，因联立求解，因m = 0，所以有，所以有1222nml1588. 022nlnl解得：解得：862. 00507. 0nml862. 00507. 0nml或或2022-3-819o 同理可求得 2、 3的方向余弦的方向余弦o 2o 3010nml010nml或或507. 00862. 0nml507. 00862. 0nml或或xz 1 3
