1、利用导数 研究“恒成立”的问题1 不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常以不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常以压轴题形式出现，交汇压轴题形式出现，交汇函数、方程、不等式和数函数、方程、不等式和数列列等知识，有效地甄别考生的数学思维能力等知识，有效地甄别考生的数学思维能力.由于由于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值问题问题，而导数，以其本身所具备的一般性和有效，而导数，以其本身所具备的一般性和有效性，在求解函数最值中，起到无可替代的作用，性，在求解函数最值中，起到无可替代的作用，【问题展示】20；0；(x)(x) f fD,D,对x对x恒
2、成立恒成立DD0在x0在x(x)(x) 在f在f单调递增单调递增函数f(x)在区间D函数f(x)在区间Dminmin0；0；(x)(x) f fD,D,对x对x恒成立恒成立DD0在x0在x(x)(x) 在f在f单调递减单调递减函数f(x)在区间D函数f(x)在区间Dmaxmax【总结提升】3【总结提升】解决恒成立问题的基本方法：1分离参数法：其优点在于：有时可以避开繁琐的讨论2直接研究函数的形态 其缺点在于：有些问讨论比较复杂 当然，在解决问题时，要根据所给问题的特点，选择恰当的方法来解题并在解题过程中，能够依据解题的进程合理地调整解题策略4.)()(), 0(),0(ln)()(12的取值范
3、围恒成立，求对任意，：已知函数axgxfxaxaxgaxxf求a的取值范围.求a的取值范围.)恒成立，)恒成立，g(xg(x) )都有f(x都有f(x),),(0,(0,x x, ,x x若对于若对于0，0，其中a其中a2lnx,2lnx,x xg(x)g(x), ,x xa ax x2：已知f(x)2：已知f(x)2 21 12 21 12 22 25；，对恒成立都有，形如）（maxmin2121)()()()(,.2xgxfDxxgxfDxx；，对恒成立都有，形如minmax2121)()()()(,xgxfDxxgxfDxx【总结提升】0 0; ;g g( (x x) )f f( (x
4、x) )D D, ,x x对对恒恒成成立立0 0g g( (x x) )D D，f f( (x x) )x x对对g g( (x x) )恒恒成成立立有有f f( (x x) )D D, ,x x( (1 1) ). .对对m mi in n0;0;g(x)g(x)f(x)f(x)D,D,x x对对恒成立恒成立0 0g(x)g(x)D，f(x)D，f(x)x x对对g(x)恒成立g(x)恒成立有f(x)有f(x)D,D,x x对对maxmax6.)()(), 0(),0(ln)()(12的取值范围恒成立，求对任意，：已知函数axgxfxaxaxgaxxf7.)()(), 0(,0,ln2)(,
5、)(2212122的取值范围恒成立，求都有若对于，其中：已知axgxfxxaxxxgxaxxf8.)()(), 0(,0,ln2)(,)(2212122的取值范围恒成立，求都有若对于，其中：已知例axgxfxxaxxxgxaxxf9延伸学习延伸学习.)()(,1 , 0), 0(. 22)(),0(ln)(21212的取值范围成立，求使得均存在若对已知函数axgxfxxxxxgaxaxxf101112优化问题优化问题优化问题就是最值问题，导数是求函数最值的有力工具优化问题就是最值问题，导数是求函数最值的有力工具. .13例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常
6、需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各空空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？x图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设计出版心积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面从而列出海报四周的面积来？积来？面积、容积的最值问题面积、容积的最值问题14 1
7、28:,xdmdmx解 设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为 0,160 xs x当时，；你还有其他解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行不？不等式行不？128( )(4)(2) 128S xxx51228,0 xxx2512 ( )2S xx求导数,得2512( )20S xx令：1616xx解 得 ：，（ 舍 ）128128816x于是宽为： 16,0.xs x当时，因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，能使四周空白面积最时，能使四周空白面积最小。小。15解
8、法二解法二：由解法由解法(一一)得得512512( )282 28S xxxxx2 32872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时 取最小值8128此时y=16816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小16 2、在实际应用题目中，若函数、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域在定义域内内只有一个极值点只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值即是所求的最大值或最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定
9、义域确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。所得结果符合问题的实际意义。17 1.解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的写出定义域，利用容积表示为变量的函数，结合实际问题的写出定义域，利用导数求解函数的最值导数求解函数的最值题后感悟题后感悟182.步骤：步骤：19问题问题2:2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? ?你是否注意过你是否注意过, ,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? ?你想从数学上知道它你想从数
10、学上知道它的道理吗的道理吗? ?是不是饮料瓶越大是不是饮料瓶越大, ,饮料公司的利润越大饮料公司的利润越大? ?利润最大问题利润最大问题20 某制造商制造并出售某制造商制造并出售球形球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的的饮料，制造商可获利饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？利润最大？(）瓶子半径多大时，每瓶饮
11、料的利润最小？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p p每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：324( )0.20.83yf rrrpp32= 0.8 (-)3rr)60( r解：由于瓶子的半径为解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是，所以每瓶饮料的利润是21当半径当半径r时，时，f (r)0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大22
