1、15.1 特征函数特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)(1)(1)开环频率特性和闭环频率特性之间的关系开环频率特性和闭环频率特性之间的关系 基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。2闭环传递函数闭环传递函数开环传递函数开环传递函数开环开环系统的特征方程式系统的特征方程式 )()(sNsD 闭环闭环系统的特征方程式系统的特征方程式 )()()()()(1)(sNsMsNsHsGsF )()()()(sNsMsHsG )()()()()()(1)()(sMsNsNsGsHsGsGs niinjjpszssF11)()()()()()(sMsN
2、sD 特征函数特征函数 3)()()()()(1)(sNsMsNsHsGsF niinjjpszssF11)()()( () ) 特征函数特征函数F(s)的特点：的特点：(1) F(s)的零点、极点分别为系统的闭环极点、开环极点；的零点、极点分别为系统的闭环极点、开环极点；(2) F(s)的零点和极点个数相同的零点和极点个数相同(均为均为n)；(3) F(s)平面的坐标原点就是平面的坐标原点就是G(s)H(s)平面的点平面的点(-1，j0)。4 由复变函数可知，对由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过复平面上除奇点外的任一点，经过特征函数特征函数F(s)的映射，在的映射，在F(s)
3、平面上可以找到对应的象。设平面上可以找到对应的象。设辅助函数的幅角为：辅助函数的幅角为： 11( )nnjijiF sszsp 5.4.2 幅角定理幅角定理ImRe 0 vF2F(s2)F(s1)F(s3)F(s)jw ws ss 0 s1()s2s3s niinjjpszssF11)()()(5 当当s从从s1开始沿任一闭合路径开始沿任一闭合路径s (不经过不经过F(s)的零点和的零点和极点极点)顺时针顺时针旋转一圈，旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：的相角变化情况如下：0jsz 0isp (1)若特征函数的零点若特征函数的零点 zj和和pi极点极点没有没有被曲线被曲线s包围，则有：包围
4、，则有：()若特征函数的零点若特征函数的零点 zj和和pi极点极点被包围被包围在曲线在曲线s里，则有：里，则有：2jsz 2isp (顺时针顺时针 )(逆时针逆时针)6幅角定理：幅角定理：在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针顺时针方向转过一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针逆时针绕原点（ P Z）圈。即 R = P - - Z7+ +jj0 0+ +0 0- - -jj0 0sRR)()()()()(1)(sNsMsNsHsGsF 5.4.3 5.4.3 奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据8(1) 幅
5、角原理在闭环系统稳定性分析中的应用幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用 ( )( )1( )N sM sF sG s H sN s 特征函数特征函数00sjjjjj 用曲线用曲线补足开环幅相频率曲线，形成补足开环幅相频率曲线，形成的奈奎斯特围线，则有：的奈奎斯特围线，则有：sjj 闭环右极点闭环右极点个数个数开环右极点开环右极点个数个数奈氏曲线围绕奈氏曲线围绕(-1,j0)点点的次数的次数9a.a.若若P=0P=0，且且 =0=0，即即GHGH曲线不包围（曲线不包围（-1-1，j0j0）点，则闭环系点，则闭环系 统稳定；统稳定；b.b.若若P0P0，且且=P=P，即即GHGH曲线逆时针曲线逆时
6、针绕绕（-1-1，j0j0）点点P P圈，则圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在不稳定系统分布在s s右半平面极点的个数可按下式求取：右半平面极点的个数可按下式求取： Z=P Z=P-c.c.若若GHGH曲线通过（曲线通过（-1-1，j0j0）点点L L次，则说明闭环系统有次，则说明闭环系统有L L个极个极 点分布在点分布在s s平面的虚轴上。平面的虚轴上。(2) (2) 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当w w由由变化变化时，时， G(j)H(j)G(j)H(j)曲线逆时针包围曲线逆时
7、针包围GHGH平面上平面上(-1(-1，j0)j0)点点的次数的次数R R等于开环传递函数右极点个数等于开环传递函数右极点个数P P。10w w2 1 0w ww w w wReIm解：本系统的开环频率特性解：本系统的开环频率特性 ( a0)( )( )1aG s H ss ()()1aG jH jjw ww ww w 例例: 一系统开环传递函数为：一系统开环传递函数为：试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。因为系统有一个开环极点位于因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：的右半平面，即：P=1。图中奈氏曲线是逆时针方向图中奈氏曲线是逆时针方向绕（绕（-1，j0）点的点的1圈，即圈，即
8、N=1。根据根据奈氏判据奈氏判据, 闭环系统在闭环系统在s右半平面极点数右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，所以系统稳定。所以系统稳定。00jjjjw w 当当 变化时，变化时，系统的幅相曲线如图所示。系统的幅相曲线如图所示。11+ +jj0 0+ +0 0- - -jj0 0sRR)()()()()(1)(sNsMsNsHsGsF 120 0s+ +jj0 0+ +0 0- - -jjRRe e000 0GH0 0+ +w w= =+ +0 0- -w w=-=-001lim01lim(1)( )( )(1)jjmiijvjvsen vvvjjsresKG s H sKeesT seee
9、ee 13在在极坐标图极坐标图中，闭环系统稳定的中，闭环系统稳定的充要条件充要条件是：当是：当w w由由变化时，变化时， G(j)H(j)G(j)H(j)曲线逆时针包围曲线逆时针包围GHGH平面上平面上(-1(-1，j0)j0)点的次数；否则，闭环系统不稳定，且点的次数；否则，闭环系统不稳定，且有个右极点。有个右极点。14(2) (2) 由由“正负穿越次数之差正负穿越次数之差”来判断来判断 G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画曲线对称实轴。应用中只画0+部分。所谓部分。所谓“穿越穿越”是指轨迹穿过是指轨迹穿过 段。段。 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用正穿越：从上而下穿过该段一
10、次（相角增加），用N(+)表示。表示。 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。表示。 半次穿越：起始于或终止于半次穿越：起始于或终止于(-1,-)段的负实轴的正、负穿越称段的负实轴的正、负穿越称为正负半次穿越。为正负半次穿越。ImRe0(-1, j0)半次穿越半次穿越负穿越负穿越正穿越正穿越15( )( )( )( )( )( )1 012NNNNNZPNN ，( )( )( )( )0 00NNNNN，( )( )( )( )1 10NNNNN，在在极坐标图极坐标图中，闭环系统稳定的中，闭环系统稳定的充要条件充要条件是：当是：当
11、w w由由变化时，变化时， G(j)H(j)G(j)H(j)曲线对曲线对(-1(-1，- -) )实轴段的实轴段的正负穿越次数之差为正负穿越次数之差为；否则，闭环系统不；否则，闭环系统不稳定，且有稳定，且有个右极点。个右极点。16( )( )( )( )( )( )1 212NNNNNZPNN，175.4.4 5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据对数幅频特性上的奈奎斯特判据 极坐标图极坐标图伯德图伯德图 (-1,j0)点点0db线和线和-180相角线相角线 (-1, -)段段 0db线以上区域线以上区域因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（
12、-1，j0）点点左边的负实轴左边的负实轴(-1, -)段，相当于在伯德图中当段，相当于在伯德图中当L()0db时相时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。线。ImRe0ww ( 1,0)jw()()GjHjwww()Lw( ) wdB0w0cw18在在对数频率特性图对数频率特性图中，闭环系统稳定的中，闭环系统稳定的充要条件充要条件是：是：当当w w由由变化时，变化时， 在开环对数幅频特性在开环对数幅频特性L L()0db()0db的的所有频段内，对数相频特性所有频段内，对数相频特性 ( (w w) )曲线对曲线对-180-1800 0线的正负穿越线的正负穿越次数之差为次数之差为；否则，闭环系统不稳定，且；否则，闭环系统不稳定，且有有个右极点。个右极点。当开环传递函数当开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)中含有中含有个积分环节时，则个积分环节时，则在曲线在曲线 ()()最左端视为最左端视为=0=0+ +处，处，由下至上由下至上补作补作v v90900 0虚线虚线段，找到段，找到w w=0=0时起点，才能正确确定时起点，才能正确确定 ()()对对-180-1800 0线的穿线的穿越情况。越情况。
