1、 项目内容: 1.代数式的运算 2.不等式的运算 3.求和的运算 4.正态分布 项目目的: 项目一 代数式基础知识 1.掌握代数式的运算及其应用 2.掌握不等式的运算及其应用 3.掌握求和的运算及其应用图1.1 钳工实训课题 4.了解正态分布的含义及其应用 项目实施过程 专业引入 一、实例 任务一 数及其运算 一、相反数，绝对值，倒数，分数 1.知识要点 (1)相反数 只有符号不同的两个数中，一个数是另一个数的相反数，零的相反数是零。 (2)绝对值 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是 它的相反数，零的绝对值是零，即： (3)倒数 乘积是1的两个数中，一个数是另一个数的倒数，零没有倒数。 (4
2、)分数的基本性质 分子和分母同时乘以(或者除以)同一个不等于零的数，分数的值不变。 (5)分数加减法则 两个分数相加、减时，如果分母相同，那么分母不变，分子相加减，如果分母不相同，那么要利用分数的基本性质进行通分，其最简公分母是两个分母的最小公 倍数。 (6)分数乘法、除法法则 两个分数相乘时，分子和分母分别相乘，除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。 (7)分数运算律 分数运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 2.例题 如果分数运算中含有带分数，一般先把带分数化为假分数，然后再进行运算；如果分母不相同的加减运算，通分则是关键步骤，应当选取各分母的最小公倍数为最简公分母。 进行乘除混合运
3、算时，一般要将除法转化 为乘法，要注意运算顺序，运算律的使用会使运算得到简化。 二、平方根，立方根及根式运算 1.知识要点 (1)平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，正数a的平方根有两个，其中正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 (2)立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。 (3)二次根式 式子a(a0)叫做二次根式，使二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。 (4)最简二次根式 满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数的二次根式叫做最简二次根式。 (5)同类二次根式 被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。 (6)二次根式的
4、运算 加减法 首先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。 乘法 除法 2.例题 正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个数的立方根一定唯一存在，即：如果a3=b，那么 二次根式有意义的条件是被开方数为非 负数 二次根式的混合运算与有理数的混合运算类似，要注意运算顺序及运算律的使用 三、代数式 1.做一做 2.结论 单独一个数或一个字母也是代数式，如： -3，m等。 3.例题 代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写，如3a常写作3a或3a。 数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，如3a一般不写作a3。 除法运算写成分数形式，如1a常写作 四、代数式的值 1.知识要点 (1)做
5、一做 (2)结论 (3)代数式的值 2.例题 五、整式的加减 1.知识要点 (1)做一做 (2)结论 2.例题 3.整式加减的一般步骤 如果有括号，就先去掉括号；如果有同类项，再合并同类项 六、整式乘法及因式分解 1.知识要点 (1)幂 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘 方的结果叫做幂，在an中，a是底数，n是指数，an是a的n次方的结果叫做a的n次幂。 (2)幂的运算法则 (3)整式乘法 单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。 (4)乘法公式 平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 和(差)的立方公式 (5)因式分解 把一个多项式化为几个整式的积的形式，常用的方法有
6、： 提公因式法 公式法(逆用乘法公式) 十字相乘法 分组分解法 2.例题 利用幂的乘方法则进行计算时，要注意运算顺序和法则的逆向使用 十字相乘法是二次三项式因式分解的常用方法 分组分解法的关键是要明确分组的目的。通常从以下几个方面考虑： 1.分组后，各组之间存在公因式。 2.分组后，各组之间具有某个乘法公式的 形式。 3.分组后，各组内具有某个乘法公式的 形式。 七、分式 1.知识要点 (1)分式基本性质 (2)分式的符号法则 (3)分式的运算 加减法 乘除法 乘方 例题 分式的混合运算与数的混合运算类似，具有相同的运算律，注意运算顺序，通常先化简，再求值。 八、专业实例 1.专业实例1 (1
7、)分析 (2)答案 2.专业实例2图1.2 分度头构造 (1)分析 (2)答案 3.专业实例3图1.3 钻削加工 试用计算法和查表法确定攻螺纹前钻底孔的钻头直径。图1.4 钻头结构 (1)在钢件上攻M12的螺纹。 (2)在铸铁上攻M12的螺纹。 钢 do=D-P 铸铁 do=D-(1.05-1.1)P 式中 D螺纹直径 P螺距。 标准直齿圆柱齿轮直径的大小可用下面的公式计算： (1)齿轮的分度圆直径d=mz (2)齿轮的齿顶圆直径da=m(z+2) (3)齿轮的齿根圆直径df=m(z-2.5) 公式的详细含义请参考机械基础的相关教材 转速与齿数成反比，有公式： (1) n1/n2=z2/z1
8、(2)中心距 用这两式即可求出z1和z2 公式的详细含义请参考机械基础的相关教材 上、下止点之间的距离叫活塞行程，上、下止点之间的容积叫每缸工作容积，每缸工作容积乘以气缸数叫发动机排量 公式的详细含义请参考汽车构造的相关教材 传动比用字母i表示，本题 公式的详细含义请参考机械基础的相关教材 任务二 不等式的运算 一、一元一次不等式 1.知识要点 (1)一元一次不等式 只含有一个未知数,且未知数的次数是1,系数不为零的不等式叫作一元一次不等式。 (2)一元一次不等式的性质 当不等式的两边同时乘以或除以同一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时,不等号方向要改变。 (
9、3)区间 设a,b是两个实数,并且ab,规定： 满足不等式axb的所有实数x,对应数轴上线段ab上的所有点,叫做闭区间,记为：a,b。 满足不等式axb的所有实数x,对应数轴上线段ab上的不包括端点的所有点，叫做开区间,记为：(a,b)。图1.9a,b 满足不等式axb或aa，xb或xb的所有实数x分别表示为a,+)，(a,+)，(,b或(,b)。图1.12 (a,b图1.13a,+)图1.14 (a,+)图1.15 (,b 2.例题 解一元一次不等式的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数变为1。 在解含字母系数的不等式时,一定要明确变量,常量,在将未知数的系数化为1时,要
10、逐一图1.16 (,b) 进行讨论。 二、一元一次不等式组 1.知识要点 (1)一元一次不等式组的几个概念 一元一次不等式 组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等 式组。 不等式组的解 不等式组中各个不等式的解的公共部分，叫做这个不等式组的解。 解不等式 组求不等式组的解的过程,叫做解不等式组。 (2)不等式组解的情况 2.例题 解一元一次不等式组时,要分别求出不等式组中各个不等式的解,然后找出这些解的公共部分,最后写出不等式组的解 三、专业实例 1.专业实例1 (1)分析 (2)答案 2专业实例2 (1)分析 (2)参考答案 任务三 求和 一、求和 1.知识要
11、点 (1)和式。 一 般 地 ， 对 于 一 列 数 an ， 我 们 把a1+a2+an叫做这列数an的前n项和，记作sn， 即： 叫做连加号。 ai表示加数的一般项，如果这列数有通项公式，一般项ai可以写成通项公式的 形式。 i叫做求和指标，连加号的上、下标表示求和指标的取值，依自然数的顺序由1取到n。 (2)和式的运算性质。 (3)平均数。 (4)方差。 (5)标准差。 2.例题 二、专业实例 任务四 正态分布 一、正态分布 1.正态分布的含义 如果以产品质量特性(重量、尺寸、直径、强度、学生成绩等)作为横坐标，以产品数量为纵坐标，当这批产品数量比较多的时候，在正常情况下的分布规律就呈正
12、态分布曲线。 式中 F正态分布曲线的纵坐标值; X正态分布曲线的横坐标值; X各种尺寸、重量、成绩等的算术平均值; 各种尺寸、重量、成绩等的标准差。 2.正态分布曲线的性质 正态分布曲线的性质，如图1.21所示。 (1)分布曲线以算术平均值为中心，左右对称分布。图1.21 正态分布曲线 (2)当X=X时，曲线处于最高点，当X向左右远离时，曲线不断地降低，整个曲线呈现中间高、两边低的形状。 3.正态分布例题 项目内容: 1.矢量 2.勾股定理 3.三角函数 4.相似三角形项目二 三角函数和 矢量的解法 项目目的: 1.掌握矢量及矢量在机械制造中的应用 2.掌握三角函数及其在机械制造中的应用 项目
13、实施过程 专业引入 一、矢量在机械中的应用 1.力的表示法及要素 力对物体作用的三要素是： (1)力的大小，用矢量的长度表示。 (2)力的方向，在矢量之端用箭头，并与水平线或垂直线的夹角表示。 (3)力的作用点，可沿作用线任意移动，常取线段的起点或终点。图2.1 力的图示法 式中矢量长度,mm;力,N; MK 单位长度表示的力,/min。 2.示例 二、三角形计算在机械中的应用 任务一 角和弧度制 一、角和弧度制 我们在初中知道，把周角360等分，其中1份所对的圆心角称为1度的角，记作1，这种用度作单位来度量角的制度称为角 度制。 1.1弧度的定义 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，
14、记作1 rad，读作1弧度。 2.弧度制的定义 一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，于是，任意一个已知角的弧度数的绝对值公式为图2.5 1弧度的定义 图2.6 其中，l是角所对的圆弧长，r是圆的半径。这种用弧度作单位来度量角的制度称为弧度制。 3.角和弧度制的换算 二、角与弧度制示例 角度与弧度常见对应关系表2.1 任务二 三角函数 一、解直角三角形 1.勾股定理图2.7 勾股定理 (1)勾股定理起源。 中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 (2)勾股定理内容。 图2.8 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c
15、的平方，即：a2+b2=c2 2.解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 (1)三边之间的关系; a2+b2=c2(勾股定理): (2)锐角之间的关系;A+B=90: (3)边角之间的关系;边角之间的关系有： 其中A可以换成B。 利用这些关系，知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知 元素。 二、三角函数的概念 (1)正弦。 比值 称为的正弦，记作sin ，即： (2)余弦。 比值 称为的余弦，记作cos ，即： (3)正切。 比值 称为的正切，记作tan ，
16、即： 三、反三角函数 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数统称为反三角函数。 (1)反正弦函数。 函数y=sin x,x 的反函数，称为反正弦函数，简称反正弦，记作：y=arcsin x。arcsinx表示一个角； 这 个 角 的 正 弦 值 就 等 于 x ， 即 ：sin(arcsinx)=x,x-1,1； 这个角一定在 内，即： (2)反余弦函数。 函数y=cos x,x0,的反函数，称为反余弦函数，简称反余弦，记作：y=arccos x。 arccos x表示一个角； 这个角的余弦值就等于x，即： cos(arccos x)=x,x-1,1； 这个角一定在0内，即： 0arccos x,
17、x-1,1。 (3)反正切函数。 函数y=tan x,x 的反函数，称为反正切函数，简称反正切，记作：y=arctan x。 arctan x表示一个角； 这个角的正切值就等于x，即：tan(arctan x)=x,x(-,)； 这个角一定在 内，即： 综上所述，反三角函数特性，见表2.2 四、相似三角形 (1)相似三角形的含义。 对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 ABC和ABC，如果有图2.13 相似三角形 A=A,B=B,C=C 那么ABC和ABC是相似的。相似用符号“”来表示。k叫做相似比(或相似系数) 记作：ABCABC (2)三角形相似的判定。 判定定理1。 如果一
18、个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2。 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 五、专业实例 1.例1 2.例2 3.例3 4.例4 5.例5 任务三 矢量及其运算 一、矢量的概述 1.矢量 2.矢量的表示方法 (1)用字母表示。 通常用黑体的小写英文字母a，b，c来记矢量，手写时可写成 a, b, c。 (2)用有向线段表示。 矢量也可以用有向线段来表示，如图2.30图2.28 拉小车的力F 图2.29
19、 轮船的位移S 所示，有向线段AB表示的含义为: AB的长度a表示矢量的大小, AB的箭头指向(即起点A往终点B的方向)表示矢量的方向。 3.相等矢量、相反矢量 (1)相等矢量。 由于矢量只有大小和方向两个要素，因此图2.30 用有向线段表示矢量 很自然地把大小相等且方向相同的矢量叫做相等矢量。 (2)负矢量。图2.31 相等矢量 与非零矢量a长度相等且方向相反的矢量，称为a的负矢量，记作-a。 因为矢量AB与BA的长度相等且方向相反,所以， 4.矢量运算法则 (1) 矢量加法的三角形法则。 如图2.32所示，一般地，对于矢量a,b，任取一点A，作有向线段AB，表示矢量a，接着以AB的终点B为
20、起点，作有向线段BC 表示矢量b，则有向线段AC表示矢量，c称 为 a 与 b 的 和 ， 记 作 c = a + b ， 即 有 ：AC=AB+BC，这个关于矢量加法的定义，称为矢量加法的三角形法则。 (2)矢量的平行四边形法则。 如图2.33所示，从同一起点A作有向线段AB，AD，分别表示a,b，然后以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则有：有向线段AC就表示a+b,其中AC是对角线,这种求不共线两个矢量的和的方法，称为矢量加法的平行四边形法则。 二、矢量的示例 矢量加法 三、专业实例 1.专业实例1图2.32 矢量加法三角形法则 2.专业实例2 3.专业实例3 (1)力矩平衡的问题。
21、 如图2.41所示，以扳手拧紧螺母为例，力F对扳手的作用是使它绕点O转动，这种作图2.33 矢量的平行四边形法则 用不仅与力F的大小有关，而且于O点到F作用点的直线距离L有关。这里的点O称为矩心，矩心到力作用线的垂直距离称为力臂。度量力对物体转动的效果，用“力矩”来表示。其公式为： 式中MO(F)力F对O点取矩，单位为Nm。 在生产和生活中，经常会遇见绕某一固定点转动的物体平衡问题；如称、钳子、剪 刀、撬杠等，这些实质上就是力矩平衡的问题。图2.41 扳手紧螺母 转动物体的平衡条件：作用在物体上的各力对转动中心O点的力矩代数和等于零。图2.42 平衡臂 用公式表示：MO(F)=0 (2)示例。
22、 4.专业实例4 项目内容： 1.坐标和坐标系 2.坐标平移 项目目的： 1.通过实例认识有序数对；认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标(坐标为整项目三 坐标系 数)描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标(坐标为整数)；能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置；了解极坐标的概念；学会用极坐标表示平面上的点； 2.掌握坐标平移公式, 掌握点的坐标变化与点的左右或上下平移间关系，掌握图形各个点的坐标变化与图形平移的关系并解决与平移有关的问题。在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换及坐标平移 的实际应用。 项目实施过程图3.1 相对坐标 专业引
23、入 运用CAD等软件，绘制图形时，首先要确定各点的坐标，再根据坐标绘制图形。如要绘制如图3.1所示的图形时，第一步就是确定A，H，G，F，E，D，C，B点的坐标。 运用CAD等软件，绘制图形，确定坐标时，一般是确定各点的相对坐标。 所谓相对坐标，就是后一点的坐标以前一点的坐标为坐标原点。 一、分析 二、答案 任务一 坐标和坐标系 一、直角坐标系概述 1.直角坐标系及点的坐标 (1)直角坐标系的建立。 平面内画两条互相垂直且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平的，以向右的方向为正方向，这条数轴叫做横轴(或x轴)； 另一条画成铅直的，以向上的方向为正方向，这条数轴叫做纵轴(或y轴)。x轴和y轴统称
24、为坐标轴。公共原点O叫做坐标原点，简称原点。图3.2 直角坐标系 (2)直角坐标系点的坐标的含义。 点的坐标的含义。 如图3.2所示，点A向x轴做垂线，垂足M在x轴上表示的数x，叫做点A的横坐标；过点A向y轴做垂线，垂足N在y轴上表示的数y，叫做点A的纵坐标。点A的横坐标和纵坐标合在一起叫做点A的坐标，记作 A(x，y)。 点的坐标的注意事项。 括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数。一个点的坐标是一对有序实数，点和它的坐标是一一对应的。图3.3 点的坐标 2.直角坐标系坐标示例 二、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立图3.10 空间直角坐标系 在平面直角坐标系的基础上再加一个
25、竖直的轴就形成了空间直角坐标系。用单位正方体做模型来建立空间直角坐标系。图3.11 空间一点坐标的意义 2.空间一点坐标的意义 如图3.11所示，M(x,y,z)其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。 3.空间直角坐标系的举例 三、极坐标系 1.极坐标系知识要点 标系内一点的极坐标 (1)极坐标系的建立。 在平面内取一个定点O和通过它的一条射线Ox作为基准，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)构成坐标系。 (2)极坐标系内一点的极坐标。图3.14 极坐标系和极坐 设M是平面上任意一点，用表示线段OM的长度，用表示以射线Ox为始边，射线OM 为终边所成的角
26、。那么，有序数对(，)就叫做M的极坐标。显然，每一个有序数对(，)决定一个点的位置。其中，叫做点M的极径，叫做点M的极角。 (3)极坐标系中的点与极坐标(，)的对应关系。 由极径的意义知 0，极角取值范围 是0，2)，平面上点(除去极点)就与极坐标(，)( 0)建立一一对应的关系。 2.极坐标系的举例 四、专业实例 任务二 坐标平移 一、坐标平移的概述 如图3.26所示，坐标系xoy与坐标系xoy相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同的正向 。 坐 标 系 x o y 是 由 坐 标 系xoy平行移动而得到的。设P点在坐标系xoy中的坐标为(x，y)，在xoy中坐标为(x，y)，而(a，b)是o在
27、坐标系xoy中的坐标，于是： (1)点的平移示例。 (2)直线的平移示例。 直线的上下、左右移动两种情况。 (3)二次曲线的平移问题(以后面平面解析几何中要介绍的圆为例)图3.26 坐标平移示意图 无论是一次函数，还是二次函数，已知平移前、平移后的函数解析式，探讨函数怎样移动情况，只要找出平移前平移后一个特殊点的对应坐标，在直角坐标系中描出点，根据点的位置情况，就能判别平移 情况。 二、专业实例 项目内容： 1.一次方程(组); 2.二次方程(组)。 项目目的： 1.掌握一次方程的概念及其应用；项目四 方程及方程 组的解法 2.掌握二次方程相关知识，了解一元二次方程的概念、二元二次方程组的概念
28、,及其应用。 项目实施过程 专业引入 一、分析图4.1 求两支座反力 图4.2 受力图 如图4.2所示，杆件AB处于静止状态，即： (1)力矩相加等于零 (2)横向的力(X轴)相加等于零。 (3)纵向的力(Y轴)相加等于零。 二、参考答案 任务一 一次方程(组) 一、一次方程(组)概述 1.方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书 九章算术。九章算术是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作。 2.方程解(根)的含义 使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解(根)。 3.一元一次方程的含义 只含有一个未知数并且未知数的次数是1的方程的整式方程，叫做一元一次方程。 4
29、.二元一次方程的含义 含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程。 5.三元一次方程的含义 含有三个未知数，并且未知数的次数都是1的方程，叫做三元一次方程。 二、一次方程(组)示例 1.一元一次方程示例 解一元一次方程的一般步骤有：去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为1等五个步骤。 2.二元一次方程示例 解二元一次方程的重要思想就是消元，消元有代入消元法和加减消元法。如：例8是用的代入消元法，例9是用的加减消 元法。 3.三元一次方程示例 解方程组的重要思想是消元，消元有代入消元法和加减消元法。 任务二 二次方程(组) 一、一元二次方程(组) 1.一元二次方程的知识要点
30、 (1)一元二次方程的含义。 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为：ax2+bx+c=0(a0)。 (2)一元二次方程的解法。 2.一元二次方程示例 (1)用直接开平方的方法，解一元二次方程。 (2)用提取公因式的方法，解一元二次方程。 (3)利用平方差公式，解一元二次方程。 平方差公式:(a2-b2)=(a+b)(a-b) ,如果(a2-b2)=0 则有: (a+b)(a-b)=0 a+b=0或a-b=0 a=- b或a= b (4) 利用十字交叉乘法，解一元二次方程。 (5)利用公式法求方程的根，解一元二次 方程。 ax2+bx+c=0(a0)
31、 公式法： 公式法的一般步骤： 把方程化为一般形式； 写出方程的各项系数与常数项a、 b、c； 一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的根为； 代入公式。 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若 不 行 ， 再 考 虑 公 式 法 , 当 方 程ax2+bx+c=0(a0的左边ax2+bx+c可以进行因式分解时，用因式分解法解较简单；当b24ac0时，任何一个一元二次方程都可以用公式法解。 二、二元二次方程(组) 1.二元二次方程的知识要点 (1)二元二次方程的特点是： 含有两个未知数。
32、 是整式方程。 含有未知数的项的最高次数是2。 (2)二元二次方程的定义。 含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次 方程。 (3)二元二次方程的一般形式。 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a、b、c不同时 为零 其中：ax2、bxy、cy2叫做二次项 。dx、ey叫做一次项。f叫做常数项。 (4)二元二次方程组的定义。 由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方 程组是我们所研究的二元二次方程组。 (5)解二元二次方程组。 解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解。 (6)解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，
33、消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程。 2.二元二次方程的例子 三、专业实例 切削速度v就是工件旋转的线速度，也可以理解为车刀在1分钟内，车削工件表面的理论展开直线长度，其计算公式为：v=D n/1000 (mmin)。式中： 1. D:工件待加工表面直径，单位为mm。 2. n：车床主轴(即工件)每分钟转数，单位为rmin 公式的详细含义请参考车削加工的相关 教材。 齿轮的分度圆直径d=zm 齿轮的齿顶圆直径da= m (z+2) 大齿轮的齿根圆直径df 2= m (z-2.5) 公式的详细含义
34、请参考车削加工的相关 教材。 项目内容: 1.直线方程 2.同一平面内两条直线的位置关系 3.点到直线的距离 4.圆的方程、圆和直线的位置关系 5.椭圆、抛物线、双曲线的方程 项目目的:项目五 平面解析几何 1.会求直线的方程；熟悉直线的点斜式、截距式、两点式、斜截式、一般式。 2.了解平面内两直线的位置关系会判定平面内两条直线的位置关系，掌握用平行或垂直的条件解题。 3.了解点到直线的距离的定义。掌握点到直线的距离公式。会求两平行线间的距离。理解圆的一般式方程、一般式。了解直线与圆的位置关系，理解判定直线与圆位置关系的条 件 ， 掌 握 判 定 直 线 与 圆 的 位 置 关 系的方法。 4
35、.了解二次曲线方程椭圆、双曲线、抛物线的图象、标准方程、性质、特点。 项目实施过程 专业引入 在数控编程中，经常要求基点的坐标。所谓基点就是： 零件的轮廓是由许多不同的几何要素所组成，如直线、圆弧、二次曲线等，各几何 要素之间的连接点称为基点。基点坐标是编程中必需的重要数据。图5.1 基点A，B，C，D，E 如图5.1所示，A，B，C，D，E都为基点。 一、分析 如图5.1所示，很容易写出点A，B，D，E的坐标值，但点C的坐标，必须通过计算才能得知。点C是直线AC与圆O2的切点，所以解由直线AC的方程与圆O2的方程所组成的方程组，就可求得点C的坐标。以为了计算方便，列直线方程和圆的方程时，以B
36、点为坐标原点。 二、答案 任务一 直线方程 一、直线倾斜角和斜率 1.直线倾斜角和斜率知识点 (1)直线的倾角。 如图5.2所示，直线l向上的方向与正x轴的夹角称为直线l的倾角平行x轴直线的斜角规定为0，所以直线的倾角范围为0a180即0a。 (2)直线的斜率公式一。 由于直线倾斜的程度与倾角有关，如图5.3所示，当坡面AC与地面AB的角度越大，则我们说它的倾斜程度也越大，倾斜角的正切可以表达“坡度”，如AC的坡度为 当 时,我们把tan 叫做直线的斜率，记作k，即：图5.2 直线l的倾角图5.3 直线的斜率公式一示意图 (3)直线的斜率公式二。 如图5.4所示，直线l上已知两点P1(x1,y
37、1)和P2(x2,y2)，其中x1x2。图5.4 直线的斜率公式二示意图 2.直线倾斜角和斜率的举例 二、直线方程的概念及形式 1直线方程的概念 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 2直线方程的形式 123直线方程的形式有：点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等形式。 三、直线方程的点斜式图5.6 点斜式公式的推导 点斜式公式的推导 如图5.6所示，若直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，求直线的方程。 已知直线上一点P(x1,y1) ，且直线的斜率为k，就可用此公式
38、求直线的方程。 直线的斜率k=0时，直线方程为y=y1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程。这时的直线方程为x=x1。 形如Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线一般式方程，通常直线方程最后可 变换成一般式。 四、直线的斜截式方程 1直线在y轴上的截距b图5.9 直线在y 轴上的截距b 直线l与y轴相交于点P(0,b)，我们称b为直线l在y轴上的截距,如图5.9所示。 2直线的斜截式方程推导图5.11 求直线的方程 若直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线的方程。如图5.11所示，那么,该直线过一点(0，b)及直线的斜率k，由直线的点斜式得直线方程为y-b=k(x-
39、0)移项得: y=kx+b(当k0时) 五、直线的两点式、截距式 直线的两点式、截距式的推导 直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，并且x1x2，所以它的斜率是k=y2-y1x2-x1,代入点斜式方程,得：y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)，即： 这个方程由直线上两点确定，称为直线方程的两点式，其中x1,y1,x2,y2是直线两点(x1,y1),(x2,y2)坐标。 当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式求出它的方程，即方程只适用于与坐标轴不平行的直线。 如果已知直线在两轴上的截距，可以直接 代入截距式求直线的方程。 将直线的方程化为截距式后
40、，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图。 与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示。 要求直线的横截距和纵截距，应化成截距式或用分别令x0和y=0的方法来求。 任务二 平面内两条直线的位置关系 一、平面内两直线的位置关系 平面内两直线的位置关系有三种情况：平行、相交、重合图5.14 二、两条直线平行条件 1.两条直线平行的条件,两条直线平行的条件，分为两种情况：图5.15 (1)两直线若都存在斜率。 (2)若两条直线都不存在斜率。 图5.16 判断直线的位置关系 l1/l2 x1x2 l1与l2重合 k1=k2，b1=b2 l1与l2相交 k1k2 2两条直线平行的示例 “
41、”为垂直的符号。 2= - ， 所 以 t a n 2= t a n ( - ) = -tan +1= ,所以tan =cot 1= 所以tan 2= ,即tan 2tan 1=-1 即k1k2=-1 即如果两垂直直线分别存在斜率k1,k2，那么它们的斜率之积为-1，或称两垂直线的斜率互为负倒数。 (2)若一条直线斜率不存在。 若一条直线斜率不存在，则l1l2的充要条 件为另一条直线斜率为0。 任务三 点到直线的距离 1示例 2点到特殊直线的距离公式 己知P(x0,y0)，当直线平行x轴时，点P(x0,y0)到直线L的距离为：为d=|y0-y1|；当直线平行y轴时，点P(x0,y0)到直线L的
42、距离为：d=|x0-x1|。 3.点P(x0,y0)到一般直线L：Ax+By+C=0的 距离公式 如图5.20所示，一般情况下，点P(x0,y0)到直线L：Ax+By+C=0的距离公式为： 4点到直线距离公式举例 在运用点到直线的距离公式时，直线方程必须为一般式。 直线l1l2，且其方程分别为：l1：AxBy C10,l2：AxByC20，则l1与l2的距 离为 ，称为平行线的距离公式。 图5.20 任务四 圆的方程及圆和直线的位置关系 一、圆的标准方程和一般方程图5.21 圆的定义 1.圆的标准方程和一般方程的概述 (1)圆的定义。 平面内与定点C的距离等于定长r的点的集合(轨迹)是圆,定点
43、C就是圆的圆心，定长r就是圆的半径。 (2)圆的标准方程。 根据圆的定义,我们来求圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程。如图5.21所示，设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义,点M到圆心C的距离等于半径r,由两点间的距离公式, 点M适合的条件可表示为： 两边平方,得方程： 就是圆心为(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 求圆的方程必须知道圆心坐标和半径这两个要素。 (3)圆的一般式方程。 我们把圆的标准方程(xa)2+(yb)2=r2展开，得： 2.圆的标准方程和一般方程的举例 3.直线与圆的位置关系 如图5.22所示，设圆心O(a,b)到直线l1， l2，l3的距离
44、分别为d1，d2，d3，圆的半径为r,则距离与半径的关系见表5.1。 任务五 椭圆、抛物线、双曲线 一、椭圆的标准方程图5.22 1.椭圆的定义及标准方程 (1)椭圆的定义。 平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数(大于 F1F2 )的点的轨迹。两个定点 F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则 MF1 + MF2 =2a。图5.23 椭圆的定义 (2)椭圆的标准方程。 椭圆标准方程为图5.24 椭圆标准方程示意图一 图5.25 椭圆标准方程 椭圆标准方程为 2.椭圆举例 确定焦点的位置。从椭圆的标准方程可判断椭圆焦点的位置，通过分析可得：含x2
45、、y2的分式的分母值大，焦点就在那个轴上。 二、双曲线的标准方程 1.双曲线的知识 (1)双曲线的定义。 如图5.26所示，平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a(a0且小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c0)。 (2)双曲线的标准方程。 如果双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2，那么双曲线 的标准方程为： 如果双曲线的焦点在y轴上，即焦点F1(0,-c),F2(0,c)，这里c2=a2+b2，那么双曲 线的标准方程为：图5.26 双曲线的定义 图5.27 焦点在x
46、轴上的双曲线 双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“-”号连接。 双曲线方程中a，b0，但a不一定大 于b。 如果x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，图5.28 焦点在y轴 如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置。 双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2。 2.双曲线举例 1.抛物线的知识 (1)抛物线的定义。 平面内与一个定F和一条定直线L的距离相 等的点的轨迹叫抛物线，(其中点F不在直线L上)。 (2)抛物线标准方程。 2.抛物线举例 四、专业实例 项目内容: 1.空间几何
47、体 2.点、线、面之间的位置关系 3.三视图初步 项目目的: 1.通过项目学习，学生从对空间几何体的项目六 立体几何初步 整体观察入手，直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的性质与判定，能运用这些结论对有关空间位置关系的简单命题进行论证。 2.能说出棱柱、棱台、棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的定义、结构特征和相关概念。了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 项目实施过程 专业引入 零件是由一些基本的几何体组成，基本的几何体由面组成，面由线组成，线由点组成，因此，作为机械专业的学生，学习一些立体几何以及三视图的基本知识，很有必要。 任
48、务一 空间几何体 一、常见的空间几何体图形与几何体的 类型 1.常见的空间几何体图形 如图6.7所示，为我们常见的空间几何体图形，其中： 如图6.7a所示，为圆柱。 如图6.7b所示，为圆锥。 如图6.7c所示，为圆台。 如图6.7d所示，为球。 如图6.7e所示，为四棱柱。 如图6.7f所示，为六棱柱。 如图6.7g所示，为四棱锥。 如图6.7h所示，为六棱锥。图6.7 常见的空间几何体图形 2.几何体的类型 (1)多面体。 由若干个平面多边形围成的几何体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。如棱柱、棱锥、棱台等。 (2)旋转体。
49、把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条 定直线称为旋转体的轴。如圆柱、圆锥、圆台、球等。 二、棱柱 1.棱柱知识要点 (1)棱柱的含义和特点。 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做 棱柱。 面的特点。 有两个面互相平行，其余各面为四边形。 线的特点。图6.8 常见棱柱的直观图形 每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 (2)棱柱的表示法。 用底面各顶点的字母表示。 用表示一条对角线的两个端点的字母 表示。 图6.9 棱柱的表示法 (3)棱柱的性质。 侧棱都相等，侧面是平行四边形。直棱柱的各个侧面
50、都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四 边形。 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 (4)棱柱面积、体积公式。 直棱柱有关计算公式。 S直棱柱侧=ch S直棱柱全=ch+2S底，V棱柱=S底h 其中：S直棱柱侧为直棱柱侧面积；S直棱柱全为直棱柱全面积；S底为直棱柱底面面积； V棱柱为直棱柱体积； c为底面周长； h为棱柱的高。 斜棱柱侧面积公式。 S=C1l 其中：S为斜棱柱侧面积 ； C1是斜棱柱直截面周长； l是斜棱柱的侧棱长 斜棱柱侧面积公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的。 2棱柱示例
