1、2022-3-1813.5 导数在经济学中的简单应用导数在经济学中的简单应用 随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部分把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数分把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用 导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化
2、率在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问率在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问题导数在经济领域中的应用非常题导数在经济领域中的应用非常广广泛，其中泛，其中“边际边际”和和“弹性弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念本节主要介绍导数概是导数在经济分析应用中的两个重要概念本节主要介绍导数概念在经济学中的两个应用念在经济学中的两个应用边际分析与弹性分析边际分析与弹性分析1 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法 边际分析法是经济理论中的一个重要分析方法，它的提出不仅为我们作出决策提供了一个有用的工具，而
3、且还使经济学能运用数学工具因此边际分析法对推动经济学本身的发展和解决实际经济问题起到了重大作用 1、边际分析法2yfxfxxf ( ),( )( ) 设是一个经济函数 其导数称为的设是一个经济函数 其导数称为的00()f xfxx 在在点点的的边边边边。际际称称际际数数为为函函函函数数值值。说明：说明：(1)(1)导数与边际的关系：导数与边际的关系：边际概念是将导数的概念经济化。因边际概念是将导数的概念经济化。因此，经济学中的边际和数学中的导数是一个概念。这不仅丰此，经济学中的边际和数学中的导数是一个概念。这不仅丰富了导数的含义，也给经济学中边际的计算问题提供了更直富了导数的含义，也给经济学中
4、边际的计算问题提供了更直接、简便的方法。接、简便的方法。(2) (2) 边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。 一、边际与边际分析一、边际与边际分析32022-3-1840( )f xxx对对于于经经济济函函数数，设设经经济济变变量量在在点点有有一一个个改改变变00()yyf xx ，则则经经济济变变量量在在处处量量有有相相应应的的改改变变量量00()()yf xxf x 0( )f xx如如函函数数在在点点可可微微，则则00(d)|
5、x xyxxyf 0 , 1()xyfx 假假如如则则0 xyx在在点点改改变变“一一个个这这说说明明当当时时， 相相应应的的单单位位”近近似似改改变变fx 0()个单位个单位。边际函数值边际函数值描述了描述了( )f x在点在点0 x处的处的变化速度变化速度. 一、边际与边际分析一、边际与边际分析3 3、边际分析、边际分析42022-3-185yxx2312 求求函函数数在在处处的的边边际际例例函函数数值值。 6yx 解解22612xxyx 232yxx函函数数在在处处的的边边际际函函数数值值为为121252022-3-1864 、 边边际际成成本本 00, , ( )( )()CC QQQ
6、QQCC 1 1 定定义义总总成成本本函函数数边边际际成成本本时时的的边边际际成成本本 设设为为产产量量 称称它它的的导导数数为为, ,简简称称称称为为当当产产量量为为边边际际成成本本在在经经济济学学中中被被定定义义为为产产量量增增加加一一个个单单位位时时所所增增边边加加际际成成本本函函数数的的成成本本 00QCQ 2 2 经经济济意意义义：当当产产量量为为的的基基础础上上，如如果果再再多多生生产产1 1个个单单位位的的产产品品，则则总总成成本本将将增增加加个个单单位位62 设设总总例例成成本本函函数数21( )500060,20C QQQ1000Q 求求边边际际成成本本函函数数和和 单单位位
7、时时的的边边际际成成本本，并并解解释释后后者者的的经经济济意意义义。1( )60,10C QQ 100010001( )604010QQC QQ 1140000再再多多其其经经济济意意义义为为：当当产产量量达达到到单单位位时时，如如果果单单位位产产品品, ,则则成成本本将将相相生生产产 个个增增加加应应个个单单位位。701( )( )CCC QQ固固定定成成本本可可变变成成本本一一般般情情况况下下，总总成成本本由由和和01( )( ),C QCC Q组组成成，即即 011( )( )( ),C QCC QC Q而而边边际际成成本本可见，边际成本与固定成本可见，边际成本与固定成本无关无关。(3)
8、(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。 (4) 在经营决策分析中，通过分析边际成本，可在经营决策分析中，通过分析边际成本，可以制定现有成本基础上的最佳产量。以制定现有成本基础上的最佳产量。8 320.020.46100C QQQQ万元 (1)1020QQ问:当这种产品的产量万件 时，从降低平均成本的角度来看，是否可以继续提高产量?当万件 时呢？2 如果你是生产管理者，在现有成本基础上，你会怎么制定生产计划，使得生产资源得到最有利的利用，增加盈利。例例3、假设某企业生产某种产品的总成本 （万元）与产量 （万件）之间的函数关系式为CQ9 在产量
9、的基础上，我们除了能计算总成本外，还能计算哪些与”成本”有关的量？ 它们有什么实际（经济）意义？ 10Q 万件10 322210100.02 100.4 106 10 10014010140101414101010140.060.8610100.06 100.8 1064QCCCQC QQQC 1 解：当产量万件 时，总成本为万元平均成本为万元 万件元 件即在产量万件 时，每件产品的成本为 元.根据边际成本理论得，于是生产万件产品时的边际成本是 元 件从这里可以看出，在生产水平为10万件的基础上，再多生产1件产品，总成本将增加4元，比14元/件的成本要低.因此，单纯从降低平均成本的角度来看，应
10、该提高产品的生产产量.1132220200.02 200.4 206 20 1002202022020112020201120200.06 200.8 20614QCCCQC 类似地，当产量万件 时，总成本为万元平均成本为元 件即在产量万件 时，每件产品的成本为 元.于是生产万件产品时的边际成本是 元 件 从这里可以看出，在生产水平为20万件的基础上，再多生产1件产品，总成本将增加14元，比11元/件的成本要高.因此，单纯从降低平均成本的角度来看，不能提高产品的生产产量，而应降低产量.12 0000000000,C QC QQC QC QC QC QQC QC Q2 解:由 1 的讨论可知，若
11、，则在产量为万件的基础上，再多生产1件产品，总成本增加元，比当前每件产品的成本元低，此时应提高产量，以降低平均成本；若则在产量为万件的基础上，再多生产1件产品，总成本增加元，比元/件的成本高，此时，应减少产量，以降低平均成本.即：当边际成本小于平均成本时，继续生产；当边际成本大于平均成本时，应停止生产. C QC Q 由此可见，当时，平均成本最低.因此企业管理者应该把生产规模调整到平均成本的最低点处，才能使生产资源得到最有效的利用，增加盈利.此时的产量就是现有成本基础上的最佳产量. 0=0 =100CC 固定成本万元 ，如果不生产产品，生产资源（厂房、设备、管理人员等）就严重浪费，而生产产品，
12、又要消耗新的生产资源 原材料、燃料、劳动力等 .使生产资源得到最充分的利用，也就是产品的平均成本最低?132022-3-1814 00()().(QR Q 2 2：当当销销售售量量达达到到时时，如如果果或或销销售售一一个个单单位位产产品品，则则总总收收益益将将相相通通过过分分少少减减析析边边多多增增际际收收经经济济益益，应应或或个个单单位位. .挖挖掘掘市市场场最最意意义义少少3 3大大潜潜力力加加5 、 边边际际收收益益 00( )()()()RR QR QR QQQQQPR QQPQP Q 1 1 定定义义：设设， 为为销销售售量量，称称它它的的导导数数为为，简简称称. .称称为为销销售售
13、量量为为时时的的. .销销售售单单位位产产品品的的总总收收益益为为销销售售量量与与价价格格之之积积总总收收益益函函数数边边边边际际收收益益际际收收益益 注注：，即即函函数数边边际际收收益益14 410511030PQQPQQ例 、设某产品的价格万元 与销售量吨 的关系式为，求： 当这种产品的销售量吨 时，从增加收益的角度来看，是否可以继续提高销售量？当产品的销售量吨 时呢？2 如果你是该公司的销售经理，你该怎么制定该产品的销售计划？提问：已知价格函数，怎么求总收益函数？边际收益的经济意义是什么？15 2110105521052101010106/51016.230301030-2/53QQRR
14、 QQP QQQR QQQRQR解：由题可知销售该产品的总收益为：则边际收益为 销售量吨 时的边际收益为万元 吨即在销售量为 吨的基础上，再多销售 吨产品，总收益增加 万元因此，应该继续提高销售量增加收益 销售量吨 时的边际收益为万元 吨即在销售量为 012.吨的基础上，再多销售 吨产品，总收益减少 万元此时，应该减少销售量，收益才会增加16 22102552525.R QQQQQ解：由知，当吨 时，边际收益大于零，总收益随着销售量的增加，说明市场还有需求；当吨 时，边际收益等于零，说明市场上该产品已经饱和.当吨 时，边际收益小于零，随着销售量的增加，总收益反而减少了，说明市场上该产品已经供大
15、于求.因此，该产品的最佳销售量为25 吨 显然，该公司不能完全依靠增加销量来提高收益，超过一定数量的销量就会造成销售越多亏损越大的局面。通过分析边际收益，我们可以挖掘市场的最大潜力，制定正确地、行之有效的销售对策。172022-3-1818 0000,( )( )( 1.4.)QQQL QR QCQLLQQL QL Q 多多1 1 定定义义：设设产产品品的的为为产产量量，称称它它的的导导数数为为 ，称称为为当当产产量量为为时时的的边边际际利利润润. .2 2：当当产产量量达达到到时时, ,如如果果再再生生产产 个个单单位位产产品品, ,则则将将个个单单位位. .3 3 边边际际利利润润，即即边
16、边际际利利润润由由边边际际收收益益和和边边际际成成本本决决定定通通过过分分利利润润析析边边总总利利润润际际利利润润函函数数边边际际利利润润经经，制制定定最最优优生生意意增增济济义义产产计计划划加加6 、 边边际际利利润润18 00=0R QC QL QQR QC QL QQR QC QL QQ 当时，其经济意义是：在产量的基础上，再多生产1个单位的产品， 当时，其经济意义是：在产量的基础上，再多生产1个单位的产品，所增加的收益小于增加的成本，因此总利润将减少； 所增加的收益大于增加的成本，因此总利润有所增加； 当时对“边际利润由边际收益和边际成本决定”的，其经济意义是：在产量说明：的基础所增加
17、的收益等于增加的上，再多生产1个单位的成本，总利润将不会产品，再增加.19 6200110.50215101520CQP P例 、某工厂每日的总成本为 万元，其中固定成本为万元，每生产 单位产品，成本增加万元 该商品的需求函数为 为价格求： 生产 个， 个，个， 个单位产品的边际利润分别是多少？ 2 请你从利润角度出发为该工厂制定最佳的生产计划？ 21=200 1011502252522115200215QC C QQQPPQR QPQQQL QR QC QQQL QQ 解：设需求量为 ，则总成本为，由需求量得，从而总收益为故总利润为，边际利润为 20 5101520510,105,150,2
18、052LLLL 于是生产 个， 个， 个， 个单位产品的边际利润分别为：解：分析以上数据可以发现，当产量为5个单位时，再多生产1个单位的产品，利润将增加10万元. 当产量为10个单位时，再多生产1个单位的产品，利润将增加5万元. 当产量为15个单位时，再多生产1个单位的产品，利润不会增加.当产量为20个单位时，再多生产1个单位的产品，利润反而减少5万 015015L QQL QQQ元. 实际上，当，即产量时，利润随着产量的增加而增大；而当，即产量时，随着产量的增加 利润会减少. 故当 =15时，企业获得最大利润. 21 显然，企业不能完全依靠增加产量来提高利润，显然，企业不能完全依靠增加产量来
19、提高利润，超过一定数量就会造成生产越多亏损越大的局面。超过一定数量就会造成生产越多亏损越大的局面。 在当今国内外经济分析中，越来越多的数学知在当今国内外经济分析中，越来越多的数学知识被用做分析工具，经济分析走向了定量化、精密识被用做分析工具，经济分析走向了定量化、精密化和准确化，为企业经营者提供客观、精确的数据化和准确化，为企业经营者提供客观、精确的数据和视角正是数学应用性的具体体现。和视角正是数学应用性的具体体现。 对经济工作者而言，掌握相应的数学分析方法，为对经济工作者而言，掌握相应的数学分析方法，为科学的经营决策提供可靠依据，是非常必要的。科学的经营决策提供可靠依据，是非常必要的。222
20、022-3-1823二二. .弹弹性性分分析析 前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变量和绝对变前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变量和绝对变化率，但在经济问题中仅仅研究函数的绝对改变量和绝对变化率是化率，但在经济问题中仅仅研究函数的绝对改变量和绝对变化率是不够的。例如，商品甲每单位价格不够的。例如，商品甲每单位价格1010元，涨价元，涨价1 1元；商品乙每单位元；商品乙每单位价格价格10001000元，也涨价元，也涨价1 1元。两种商品价格的绝对改变量都是元。两种商品价格的绝对改变量都是1 1元，但元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了各与其原价相比，两者
21、涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%10%，而商品乙涨了，而商品乙涨了0.1%0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改变。因此我们还有必要研究函数的相对改变量和相对变化率。量和相对变化率。 在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化度，具体的说，也就是要计算自变量变化1 1个百分比，因变量要变个百分比，因变量要变化几个百分比。边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性则
22、化几个百分比。边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性则反映的是函数的相对变化率。反映的是函数的相对变化率。232022-3-1824 一一 弹弹性性的的概概念念 00li1Elasticity= lim231%=m%,xxxxxxxyf xyf xxy yEEx xxEyy yxyfyExExxx、定义 设是一个经济函数，如果极限存在，则称此极限值为函数在点 处的弹性，记作，即 、计算公式：若可导，则、经济意义：弹性反映了随自变量的改变，函数变化幅度的大小，即当改变了时 因变量 近似地 改变 24 xxyEyxxEyf xx4、1 函数的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限
23、,它是函数的相对变化率；2反映了对 变化反应的强烈程度或灵敏度，它与变量所取得的单说明：位无关.252022-3-1826 3333311100110033003003103370 xxxxxxxxxyexyeexxEyexyeEx 求求函函数数在在处处的的弹弹故故例例性性. .解解：26 0( ),2/lim0/pPPPPQf PP dQPEfPQ dPQEEPQPQQ QPEfPP PQ 1 1、设设某某商商品品的的需需求求函函数数为为则则需需求求函函数数的的弹弹性性函函数数即即需需求求弹弹性性为为、根根据据经经济济理理论论，需需求求函函数数是是单单调调减减函函数数，所所以以需需求求弹弹性
24、性一一般般为为负负值值，即即 因因为为需需求求函函数数是是单单调调减减函函数数，则则和和异异号号，又又因因为为与与 是是正正数数，所所以以 二二 需需求求弹弹性性27 4 4、需求弹性需求弹性大大（小小），就是表示这种商品价格的变），就是表示这种商品价格的变化，会引起需求的较化，会引起需求的较大大（小小）变化。比如，大米的）变化。比如，大米的需求弹性就很小，因为它是生活必需品，不会因为需求弹性就很小，因为它是生活必需品，不会因为价格上涨而少吃多少，因价格下跌而多吃多少。相价格上涨而少吃多少，因价格下跌而多吃多少。相比而言，时装的需求弹性就要大一些，价格变动对比而言，时装的需求弹性就要大一些，价
25、格变动对需求量的影响比较大需求量的影响比较大。 5、不同商品的需求弹性相差甚远，按照弹性值的大、不同商品的需求弹性相差甚远，按照弹性值的大小，作以下划分小，作以下划分：高弹性、单位弹性和低弹性高弹性、单位弹性和低弹性. 3 3、经经济济意意义义： 1%ppQE当当价价格格 上上涨涨，需需下下跌跌增增量量少少加加求求将将减减282022-3-1829 pE2 2 当当111时时, ,称称为为高高弹弹性性. .%1pEpQ：当当价价格格 上上升升，需需求求量量 将将. .：商商品品的的需需求求量量变变动动的的百百分分比比价价格格变变动动的的百百分分比比, ,表表明明价价格格变变动动对对需需求求经经
26、济济意意义义量量变变动动的的下下影影降降大大于于说说明明响响较较大大. . pE1 1 当当=1=1时时, ,称称为为单单位位弹弹性性. .1%1%pQ：当当价价格格，上上升升需需求求量量 将将济济意意下下降降经经义义. .商商品品的的需需求求量量变变动动的的百百分分比比价价格格变变动动的的等等于于说说明明：百百分分比比. .需需求求弹弹性性的的分分类类及及经经济济意意义义29 814002130040050051AABBABABABAQPBQPPPABBA例 、设市场上 、 两公司是生产同种有差异产品的竞争者，且市场上对 、 两公司产品现有需求量已达到饱和. 市场上 公司的需求函数为， 公司
27、的需求函数为，两公司的销售价格分别为元，元，求 、 两公司的需求弹性，并说明其经济意义；2公司的价格降到400元时，这种行为选择是否合理？此时公司由于销售量减少而损失多少？30 40040011140050040040020030050020025200200400.40011200240011,%.AAABABABAAAPAAPAAPPQQQQAP dQEQdPPEB 解：由，得，从而市场上对该产品的饱和需求量为公司的需求弹性为：所以当时，此时该商品是单位弹性.其经济意义是：如果价格上涨1 ，则需求量会下降15005005001120052115001221%.2BBBBBPBBPBBP d
28、QEQdPPE 公司的需求弹性为：所以当时，此时该商品是低弹性.其经济意义是：如果价格上涨1 ，则需求量会下降31 125001.2500 20010000014003004002205400 22088000.BBBBBBBBBPEBBBRPQBRRRB前后后后前解： 公司在元时，需求弹性，即低弹性公司的价格降到400元时， 公司的销售收益会减少. 因为降价前， 公司的销售收益为 元，降价后，当销售价格元时，需求量，公司的销售收益为 元 显然，公司降价减少了它的销售收益. 所以对于公司400 20080000400400220180400 1807200080000720008000.AAB
29、ARQARA前后后追求销售收益最大化的目标而言，降价在经济上是不合理的. 另外， 公司降价前 公司的销售收益为元降价后，由于该商品的饱和需求量为，所以则 公司的销售收益为元，损失了元322022-3-1833() .三三收收益益弹弹性性及及其其与与需需求求弹弹性性的的关关系系( )RPQRP QP f P1 1、总总收收益益是是商商品品价价格格与与销销售售量量的的乘乘积积，即即( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )1( )(1).pPR Pf PPfPf PfPf Pf Pf PEPPfPf Pf 从从而而 因因此此，收收益益函函数数的的弹弹收收益益弹弹性性性性函函数
30、数 为为()()(1).()()1RppEPPER Pf PER PPf P 332022-3-18341.RpEE2 2、收收益益弹弹性性与与需需求求弹弹性性的的关关系系： 1, 1,1%, (1)%.1%, (1)%.21,1,1%, ()%.1%, ()%.0011pRppppRpppEEEEEEEEEE 1 1 若若时时价价格格( (提提价价) )总总收收益益价价格格( (降降价价) )总总收收益益说说明明：低低弹弹性性时时降降价价会会使使总总收收益益减减少少，提提价价会会使使总总收收益益增增加加结结论论： 若若时时价价格格( (提提价价) )总总收收益益价价格格( (降降价价) )总
31、总收收上上涨涨下下跌跌减减少少下下益益说说明明：高高弹弹性性增增加加上上涨涨减减时时降降价价会会使使跌跌总总低低弹弹收收益益增增增增性性时时提提价价加加 即即少少！加加：薄薄利利多多 .31,01pRpEEE 销销 ，提提价价会会使使总总收收益益减减少少结结论论： 若若则则, ,提提价价或或降降价价对对总总收收益益高高弹弹性性时时降降价价！的的影影响响不不大大. .342022-3-1835100059QpQp设设某某商商品品需需求求函函数数为为， 为为需需求求量量，为为价价格格，请请你你通通过过分分析析其其需需求求弹弹性性，从从收收益益角角度度对对该该商商品品进进例例 行行定定价价. . 需
32、求价格弹性的分析在经营中特别被重视，企业如果需求价格弹性的分析在经营中特别被重视，企业如果离开需求价格的弹性分析，就不可能达到利润最大化的目离开需求价格的弹性分析，就不可能达到利润最大化的目标标. 在商品经济中，经营者关心的是提价或降价对总收益在商品经济中，经营者关心的是提价或降价对总收益的影响的影响. 355100052001100.010012002 10010,%pppRpRp dQppEQ dpppEppppEpppEEE 解：由弹性定义可知，需求弹性为： 首先分析当需求相对变化率与价格相对变化率相等，即的情形，此时 当 时，即在这一价格范围内，该商品是低弹性，由需求弹性与收益弹性的关
33、系知，此时其经济意义是：价格1 ，则总收下跌上涨减少益增加，于是100200120010,%=100RpRpppEpEEpE 提价会使总收益增加； 当 时,，则在这一价格范围内，该商品是高弹性，由需求弹性与收益弹性的关系知，此时其经济意义是：价格1 ，则总收益，于是降价会使总收益增加； 由以上分析增上涨减少下跌 可知，为加 最优价格.362022-3-1837() .四四供供给给弹弹性性 0( ),2./lim( )0/SSPQPpEpSPQPQQ QPEPP PQ 1 1、由由供供给给函函数数为为得得供供给给函函数数的的需需求求函函数数即即为为：、根根据据经经济济理理论论，供供给给函函数数为
34、为单单调调增增函函数数，所所以以供供给给弹弹性性一一般般取取正正值值 单单调调增增函函数数同同 因因为为供供给给函函数数为为，故故与与，并并且且 与与 为为正正数数，从从而而 号号供供给给弹弹性性372022-3-1838求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数一、主要内容一、主要内容382022-3-18391 1、导数的定义、导数的定义即即或或记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与
35、与如果如果取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时内内仍在该邻域仍在该邻域点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数,)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 392022-3-18402. 右导数右导数:单侧导数单侧导数1. 左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xxxx 0000000( )()
36、()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xx xx 函数函数)(xf在在点点0 x处可导处可导 左导数左导数)(0 xf 和和右导数右导数)(0 xf 都都存在存在且且相等相等. 402022-3-18412 2、基本导数公式、基本导数公式201()()ln(log)ln(sin)cos(tan)sec(sec)sectanxxaCaaaxxaxxxxxxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）121()()(ln)(cos)sin(cot)csc(csc)csccotxxxxeexxxxxxxxx 共共10组组412022-3-18423 3
37、、求导法则、求导法则(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则( )( )( ),1( )|( )yf xxyyf xfxy如如果果函函数数的的反反函函数数为为则则有有422022-3-1843(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: : ( )( )
38、v xu x和和幂幂指指函函多多个个函函数数相相乘乘数数( (除除) )(5) 隐函数求导隐函数求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.432022-3-18444 4、高阶导数、高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数, 1,( )( ),f xnf xn 一一般般地地 函函数数的的阶阶导导数数的的导导数数称称为为函函数数的的 阶阶导导数数 记记作作.)(,),()()(nnnnnn
39、dxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)442022-3-1845000000000 ( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内 如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数 则则称称函函数数在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分 记记作作或或即即5、微分的定义微分的定义定义定义.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )452022-3-18466 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理7 7、微分的求法、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.46将弹性的知识用于分析“谷贱伤农”这一经济现象 472022-3-184848
