1、对策问题对策问题研究这种竞赛策略的数学分支，叫作博弈论，也研究这种竞赛策略的数学分支，叫作博弈论，也叫对策论，它是运筹学中的一部分叫对策论，它是运筹学中的一部分专题简析：专题简析：同学们都熟悉同学们都熟悉“田忌与齐王赛马田忌与齐王赛马”的故事，这个的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短扬长避短”的策略，取得了胜利。的策略，取得了胜利。生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己量等，人们
2、在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的所在的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双的所在的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知知己知彼，百战不殆彼，百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹，哪一。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。方就会取得最终的胜利。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。智取火柴智取火柴在数学游戏中有一类取火柴游戏，在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，
3、要想取胜，一但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。定离不开用数学思想去推算。例例1 1 桌子上放着桌子上放着6060根火柴，甲、乙二根火柴，甲、乙二人轮流每次取走人轮流每次取走1 13 3根。规定谁取走根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根由此可
4、知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。在例在例1 1中为什么一定要留给对方中为什么一定要留给对方4 4的倍数根，的倍数根，而不是而不是5 5的倍数根或其它倍数根呢？关键的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取在于规定每次只能取1 13 3根，根，1 13 34 4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是总能保证两人取的总数是4 4。利用这一特。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必
5、胜，点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例最佳方法是什么。由此出发，对于例1 1的的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。的方法。例例2 2 在例在例1 1中将中将“每次取走每次取走1 13 3根根”改改为为“每次取走每次取走1 16 6根根”，其余不变，其余不变，情形会怎样？情形会怎样？分析与解：由例分析与解：由例1 1的分析知，只要始终留给对方的分析知，只要始终留给对方（1+6=1+6=）7 7的倍数根火柴，就一定获胜。因为的倍数根火柴，就一定获胜。因为60607 78484，所以只要甲第一次取走，所以只要甲第一次取走4 4
6、根，剩根，剩下下5656根火柴是根火柴是7 7的倍数，以后总留给乙的倍数，以后总留给乙7 7的倍数根的倍数根火柴，甲必胜。火柴，甲必胜。 由例由例2 2看出，在每次取看出，在每次取1 1n n根火柴，取到最后根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（下（1+n1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。）的倍数根火柴，谁将获胜。例例3 3 将例将例1 1中中“谁取走最后一根火柴谁获胜谁取走最后一根火柴谁获胜”改为改为“谁取走最后一根火柴谁输谁取走最后一根火柴谁输”，其余，其余不变，情形又将如何？不变，情形又将如何？解：最后留给对方1根火柴者必胜
7、。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。由例3看出，在每次取1n根火柴，取到最后一根火柴者为输的规定下，谁能做到总给对方留下（1n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。例例4 4 两人从两人从1 1开始按自然数顺序轮流依开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报次报数，每人每次只能报1 15 5个数，个数，谁先报到谁先报到5050谁胜。你选择先报数还是谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜
8、？后报数？怎样才能获胜？解：对照例解：对照例1 1、例、例2 2可以看出，本例是取火柴可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为游戏的变形。因为5050（1 15 5）8282，所以要想获胜，应选择先报，第一次报所以要想获胜，应选择先报，第一次报2 2个个数，剩下数，剩下4848个数是（个数是（1 15 5）6 6的倍数，以的倍数，以后总把后总把6 6的倍数个数留给对方，必胜。的倍数个数留给对方，必胜。例例5 11115 1111个空格排成一行，最左端空格中个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动子，每次移动1 17 7格。规
9、定将棋子移到最格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？右移多少格？分析与解：本例是例分析与解：本例是例3 3的变形，但应注意，的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有一开始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-11111-111101110（个）空格。由例（个）空格。由例3 3知，只知，只要甲始终留给乙（要甲始终留给乙（1+7=1+7=）8 8的倍数加的倍数加1 1格，格，就可获胜。就可获胜。（111-1111-1）（1 17 7）13861386，所以甲第一步必须移所以甲第一步必须移5 5格，还剩下格，还剩下1105
10、1105格，格，11051105是是8 8的倍数加的倍数加1 1。以后无论乙移几。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8 8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是的空格数永远是8 8的倍数加的倍数加1 1。可编辑例例6 6 今有两堆火柴，一堆今有两堆火柴，一堆3535根，另一根，另一堆堆2424根。两人轮流在其中任一堆中拿根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？有何策略能
11、获胜？分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。的例题完全不同。先取者在先取者在3535根一堆火柴中取根一堆火柴中取1111根火柴，使得根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。可取，也就是说，最后一根火柴总会
12、被你拿到。这样先取者总可获胜。这样先取者总可获胜。请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是火柴数目一开始就相同，例如两堆都是3535根火根火柴，那么先取者还能获胜吗？柴，那么先取者还能获胜吗？例例7 7 有有3 3堆火柴，分别有堆火柴，分别有1 1根、根、2 2根与根与3 3根火柴。根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？么谁将获胜
13、？分析与解：根据例分析与解：根据例6 6的解法，谁在某次取过火柴的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。胜。甲先取，共有六种取法：从第甲先取，共有六种取法：从第1 1堆里取堆里取1 1根，根，从第从第2 2堆里取堆里取1 1根或根或2 2根；第根；第3 3堆里取堆里取1 1根、根、2 2根或根或3 3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。试），所以乙采用最佳方法一定
14、获胜。练习练习25251.1.桌上有桌上有3030根火柴，两人轮流从中根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取拿取，规定每人每次可取1 13 3根，且根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？拿才能保证获胜？ 2. 2.有有19991999个球，甲、乙两人轮流取个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取球，每人每次至少取一个，最多取5 5个，取到最后一个球的人为输。如果个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？甲先取，那么谁将获胜？3 3、有、有100100根火柴，甲乙两人轮流玩火根火柴，甲乙两人轮流玩火柴游戏，规定每人每次可
15、取柴游戏，规定每人每次可取1010根以内根以内的任何火柴（包括的任何火柴（包括1010根），以谁取完根），以谁取完火柴使对手无火柴可取者胜，如果甲火柴使对手无火柴可取者胜，如果甲先取，问谁一定能获胜？他怎样才能先取，问谁一定能获胜？他怎样才能获胜？获胜？4.4.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报次每人报1 14 4个数，谁报到第个数，谁报到第888888个数个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？谁胜。谁将获胜？怎样获胜？5.5.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不
16、能不取，谁取到最后一枚不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？定能获胜吗？6.6.黑板上写着一排相连的自然数黑板上写着一排相连的自然数1 1，2 2，3 3，5151。甲、乙两人轮流划掉连续的。甲、乙两人轮流划掉连续的3 3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？吗？7.7.有三行棋子，分别有有三行棋子，分别有1 1，2 2，4 4枚棋子，两枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走取走1 1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？问：要想获胜是先取还是后取？8 8、有、有9 9张卡片，分别写着张卡片，分别写着1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,9 甲乙两人轮流甲乙两人轮流取取1 1张，谁手上的张，谁手上的3 3张卡片上的数字张卡片上的数字加起来的和等于加起来的和等于1515，谁就能取胜，谁就能取胜，问保证不败的对策是什么？问保证不败的对策是什么？可编辑
