1、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 线线 面面位置关系位置关系垂直垂直 斜交斜交 ab知识回顾知识回顾直线与平面的位置关系有哪几种直线与平面的位置关系有哪几种? ?观察下列图片，找出其中线面垂直的位置关系。观察下列图片，找出其中线面垂直的位置关系。SS SHH 正投影正投影oCABS回忆圆锥的形成回忆圆锥的形成,思考轴思考轴SO与底面内的哪些直线垂直与底面内的哪些直线垂直.1、定义、定义如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，意一条直线都垂直，我们就说我们就说这条直线和这个平面垂直这条直线和这个平面垂直.其中直线叫
2、做其中直线叫做平面的垂线平面的垂线，平面叫做，平面叫做直线的垂面直线的垂面.交点交点叫做叫做垂足垂足. A A 平面的垂线平面的垂线 直线的直线的垂面垂面 垂足垂足A A2图形语言：图形语言： a nma1 1定义中定义中“任何一条直线任何一条直线”能否改为能否改为 ” ”无数条直线无数条直线”呢？呢？2 2过空间一点和已知平面垂直的直线有几条呢？过空间一点和已知平面垂直的直线有几条呢？3. 3. 过空间一点和已知直线垂直的平面有几个呢？过空间一点和已知直线垂直的平面有几个呢？如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我
3、们就说这条直线和这个平面垂直一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.常用结论：常用结论：(1)(1)若直线若直线l l垂直平面垂直平面, ,直线直线a a在平面在平面内内, ,则则l laa(3)(3)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)(4)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直过一点有且只有一个平面与已知直线垂直al laal l(2)(2)若直线若直线l l垂直平面垂直平面内任意直线内任意直线, ,则直线则直线l l垂直平面垂直平面。a是是内任一条直线内任一条直线(5)(5)点到平面的距离点到平面的距离的定义的定义: :过平面外一点过平面外
4、一点A向平面向平面 引垂线，则点引垂线，则点A和垂足和垂足B之间的距离之间的距离叫做点叫做点A平面平面 的距离。的距离。 AB例例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 已知：已知：a/b，a 求证；求证；b ab证明：设证明：设m是是 内的任意一内的任意一 条直线条直线mmamambba/bm若若 那么直线那么直线 吗？吗？a a/ / /b b， a a ， b b 提出问题提出问题: H G F E D C B A假设书有无数页假设书有无数页,竖竖立在桌面上立在桌面上,书书脊脊
5、所所在直线与桌面给人在直线与桌面给人以垂直的印象以垂直的印象. 思考思考书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系关系? ?书脊所在直线与桌面中任意一条的位置关系书脊所在直线与桌面中任意一条的位置关系?m问题问题:如图如图，要使要使书脊书脊AB与与桌面垂直，可否将若干书页桌面垂直，可否将若干书页取掉，但至少保留几页？取掉，但至少保留几页？线面垂直判定定理探索线面垂直判定定理探索 H G F E D C B A F E B A猜想：猜想：如果一条直线和如果一条直线和平面平面内内两相交直线两相交直线都都垂直，那么这条直线就垂直，那么这条直线就垂直于这个平面垂直
6、于这个平面线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理1 定理：定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。直，那么这条直线就垂直于这个平面。3 符号语言：符号语言：2 图形语言：图形语言： aAnmm m，n n，m mn n = = A Aa a a a m m，a a n n4 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直强调强调:(1)两条相交直线两条相交直线; (2)要判断一条直线与一个平面是否垂直要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直
7、. 判断下列命题是否真命题判断下列命题是否真命题 (1)(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面内的任何一条直线。于这个平面内的任何一条直线。 (2)(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么它就垂直于这个平面。么它就垂直于这个平面。 (3)(3)一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么它垂直于这个平面。么它垂直于这个平面。 (4)(4)过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个 (5)(5)过一点和一个平面垂直的
8、直线有且只有一条。过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条。知识巩固知识巩固oABCD【例例1】 已知已知 是平行四边形是平行四边形 两对角线的交两对角线的交点，点， 且且 . . 求证：求证： PABCD平面，PA PC PBPD，POABCD平面PODCBA典例分析典例分析典例分析典例分析例例2. 2. 求证求证: :与三角形的两边同时垂直的直线必与第三边垂与三角形的两边同时垂直的直线必与第三边垂直直. .ABCl已知已知: :如图如图,aAC,aBC,aAC,aBC, ,求证求证: :aABaAB. .证明证明:aAC,aBC,ACBC:aAC,aBC,ACBC=C. =C. aa面面AB
9、C.ABAB面面ABC,aABaAB. .思考思考: :此例为此例为”线线垂直线线垂直”的判断提供了一种什么方法？的判断提供了一种什么方法？ 1. 如果已知一直线垂直于一平面如果已知一直线垂直于一平面,你能得你能得到一些什么结论到一些什么结论?线面垂直性质定理探索线面垂直性质定理探索2.如果两条直线都垂直于一个平面呢如果两条直线都垂直于一个平面呢?ab如图，若如图，若 a a a a/ / /b b. .b b bo证设设经过点线线经过点两条线明明：假假a a, ,b b不不平平行行b b = = o o, ,b b是是o o与与直直a a平平行行的的直直 . . a a/ / /b b ,
10、,a a , ,b b . .同同一一o o的的直直b b , ,b b 都都垂垂直直于于平平面面是是不不可可能能的的. .因因此此, ,b b/ / /a a. .线面垂直性质定理线面垂直性质定理性质定理性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线平行。【例【例3】 已知直线已知直线 平面平面/l求证：直线求证：直线 上各点到平面上各点到平面 的距离相等。的距离相等。lABAB 如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点点到这个平面的距离到这个平面的距离，叫做这条，叫做这条直线和这个平
11、面的距离直线和这个平面的距离。典例分析典例分析1.在空间，下列命题在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行；）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行；）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（正确的是（ ） A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。四个命题都正确。知识巩固知识巩固2.课本课本P35 1-3课堂小结课堂小结3线面垂直线面垂直性性质质定理定理线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理注意：注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。4. 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一条直线和已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.5. 点到平面的距离及直线到平面的距离点到平面的距离及直线到平面的距离.线面垂直线面垂直线线线线垂直垂直
