1、期权定价的二项式方法期权定价的二项式方法 一、定价原理一、定价原理二、二项式定价的基本过程二、二项式定价的基本过程三、期权定价的二项式公式三、期权定价的二项式公式四、二项式定价公式推导四、二项式定价公式推导五、美式期权的定价五、美式期权的定价一、定价原理一、定价原理无套利定价原理无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。具有相同收益不同头寸的价格应该相同。在到期日现金流完全相同的两个组合，它们在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的现金流必定也完全相同期初的现金流必定也完全相同 . 期权在到期日的执行与否是不确定的，期权在到期日的执行与否是不确定的，这种不确定性使得在到期日的收
2、益变得不确这种不确定性使得在到期日的收益变得不确定定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行因而难于直接利用无套利原理对期权进行定价。定价。 为了克服这种不确定性的困难克服这种不确定性的困难, 以便采用以便采用无套利原理对期权进行定价无套利原理对期权进行定价: 二项式定价方法；二项式定价方法； 布莱克布莱克舒尔斯定价方法；舒尔斯定价方法； 蒙特卡罗模拟法。蒙特卡罗模拟法。二项式方法二项式方法 (二叉树方法二叉树方法)的步骤具体如下：的步骤具体如下： 把整个持有期分成若干个时间区间把整个持有期分成若干个时间区间, , 并假定在每并假定在每个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状个时间区间内股票的
3、价格只有上升和下降两种状态态, , 且价格上升和下降的百分比也已知且价格上升和下降的百分比也已知, ,这样可以这样可以得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态, ,从从而克服了不确定性而克服了不确定性. . 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确定的股票价格定的股票价格( (期权的收益期权的收益) )来进行估计来进行估计. . 时间区间分得越小时间区间分得越小, , 在到期日确定的股票价格状在到期日确定的股票价格状态越多态越多, , 计算越复杂计算越复杂, ,所得期权价格估计越接近于所得期权价格估计越接近于真
4、实的价格真实的价格. .二、二项式定价的基本过程二、二项式定价的基本过程 设有这样一个以某股票为标的资产的设有这样一个以某股票为标的资产的3月期月期欧式买入期权，股票现行的市场价格为欧式买入期权，股票现行的市场价格为30元，期权确定的执行价格为元，期权确定的执行价格为31元。设已知元。设已知3个月后股票价格要么上升个月后股票价格要么上升10%，要么下降，要么下降10%，市场的无风险利率为，市场的无风险利率为10%(年利率年利率)，试确定该期权的价格。试确定该期权的价格。股票价格树股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格定的价格.期权价值树期权价值树: 根
5、据股票在不同阶段不同状态确根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格定的价格以及期权确定的执行价格,给出期给出期权在相应状态的价值权在相应状态的价值,其在初始状态的价值其在初始状态的价值就是要确定的期权价格就是要确定的期权价格.无风险收益树无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状无风险资产在不同阶段不同状态的价格态的价格,这是进行无套利定价的标准这是进行无套利定价的标准.303327(a)股票价格树股票价格树11.0251.025(c)无风险收益树无风险收益树?20(b)期权价值树期权价值树 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无
6、风险资产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本在本例中例中,每阶段无风险资产的收益率为：每阶段无风险资产的收益率为： 10%/4=0.025 确定期权的价格确定期权的价格 无套利定价无套利定价: 考虑这样一个组合，买入考虑这样一个组合，买入A股该股票股该股票和卖出该股票的一份买入期权组成。和卖出该股票的一份买入期权组成。 要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还是降都应同无风险投资的收益相等。是降都应同无风险投资的收益相等。 首先确定应买入的股票数首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收使得组合在期末
7、的收益在两种状态益在两种状态(价升或价降价升或价降)下都相同。下都相同。 如果股票价格上升至如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值元，组合在到期日的价值为：为： ， 其中其中2是期权被执行后投资者的付出；是期权被执行后投资者的付出； 如果股票价格下降至如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合元，期权不被执行，组合的价值为：的价值为： 。 在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资的收益。的收益。332A27A 令令 ， 解之得解之得 ， 即该组合应由买入即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份股该股票和卖出一份该股票的买入期权组成。无论股票的
8、价格该股票的买入期权组成。无论股票的价格是升还是降，组合在期末的价值：是升还是降，组合在期末的价值： 33227AA1/3A1133227933 根据无套利原理，这就要求无风险投资在根据无套利原理，这就要求无风险投资在期末的收益同为期末的收益同为9元，因而期初用于无风险元，因而期初用于无风险投资的资金应为：投资的资金应为： 这也应该是期初用于投资组合的资金，由这也应该是期初用于投资组合的资金，由此得：此得： 买入期权的价格应该定为买入期权的价格应该定为1.22元元 0.1 0.2598.78e1308.78,3C108.781.22C 三、期权定价的二项式公式三、期权定价的二项式公式符号符号:
9、 股票在期初的价格股票在期初的价格, 期权确定的执行价格期权确定的执行价格, 股票价格在单个时间阶段内的上升因子股票价格在单个时间阶段内的上升因子 股票价格在单个时间阶段内的下降因子股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) 期权在股票价格上升状态下的收益期权在股票价格上升状态下的收益 期权在股票价格下降状态下的收益期权在股票价格下降状态下的收益 年无风险收益率年无风险收益率 期权的期限期权的期限 0SXSuduRdRrT期权在股票价格上升状态下的收益：期权在股票价格上升状态下的收益： 期权在股票价格下降状态下的收益期权在股票价格下降状态下的收益 ：构建一个组合，由买入构建一个组合，由买入A股股
10、票，卖出一份股股票，卖出一份买入期权组成，要求在期权到期日无论何种买入期权组成，要求在期权到期日无论何种情况出现，组合的价值相同情况出现，组合的价值相同 0 ,)1 (max0XuSuSR0max(1),0dXRSdSduRdASRuAS)1 ()1 (00)(0duSRRAdu根据无套利原理根据无套利原理,买入期权的价格买入期权的价格C应满足方应满足方程：程：rTueRuASCAS)1 (00)1 (udrTRReCdueuduueTrrT) 1()1 (将将A代入得：代入得： 市场的上升状态价格因子市场的上升状态价格因子 市场的下降状态价格因子市场的下降状态价格因子 ( 1)rTuqerT
11、deqdduuRqRqC0 ,)1 (max0 ,)1 (max00XdXuSdSqSuSq上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期权有效期权有效期(每个时段每个时段)的长短以及期权有效期内的长短以及期权有效期内的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确定的执行价格无关。定的执行价格无关。 对上述例子的应用对上述例子的应用 37342. 02 . 0) 1(1 . 0) 1(025. 0edueurT611111. 062658. 0)1
12、 (025. 0eeqrTu36420. 037342. 0025. 0eeqrTd0, 2duRR.22. 12611111. 0dduuRqRqC在期权价值树上进行计算在期权价值树上进行计算 C 1.22200.3642 0.61111dRuRdquq 计算期权价格的价格树计算期权价格的价格树(二叉树二叉树) 四个时段的情形四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T的买入期权，设股票的现行价格为的买入期权，设股票的现行价格为 元元，期权确定的执行价格为，期权确定的执行价格为 。设把期。设把期权的有效期分为时间相同的权的有效期分为时间相同的4个
13、阶段，预计个阶段，预计股票价格在每阶段要么上升股票价格在每阶段要么上升10%，要么下降，要么下降5%，每阶段内无风险收益率为，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期确定期权的价格权的价格.600S65XS元生成股票价格树生成股票价格树606672.679.8687.8465754.1562.751.442568.9759.56548.870465.521575.86756.5868股票价格树股票价格树 到第四阶段末，即期权的到期日，股票价格已经有到第四阶段末，即期权的到期日，股票价格已经有5个状态。如果我们把整个有效期分成个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那个阶段，那么到期权的到期日么到
14、期权的到期日(最后一个阶段末最后一个阶段末)，股票价格将，股票价格将有有n+1个可能的状态。个可能的状态。 计算相关数据计算相关数据324859. 005. 01 . 0) 1(1 . 0) 1(05. 0edueurT642214. 0)324859. 01 ()1 (05. 0eeqrTu309016. 0rTdeq根据期权确定的执行价格以及股票在最后根据期权确定的执行价格以及股票在最后阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶段各状态的价值段各状态的价值 .7.5710.313.7918.0322.8463.080.224.690.07.140.3300.5
15、21510.8670计算期权在不同状计算期权在不同状态的价值态的价值期权价格树期权价格树 四、二项式定价公式推导四、二项式定价公式推导对于第对于第3阶段各状态的期权价值有阶段各状态的期权价值有0 ,)1 ()1 (max0 ,)1 (max03.183040XdXuSduSqSuSq0 ,)1 ()1 (max0 ,)1 ()1 (max14. 722030XdXuSduSqSduSq0 ,)1)(1 (max0 ,)1 ()1 (max33. 030220XdXuSduSqSduSq0 ,)1 (max0 ,)1 ()1 (max04030XdXuSdSqSduSq对于第对于第2阶段各状态期
16、权价值有阶段各状态期权价值有0 ,)1 (max14. 703.187 .13402XuduSuSqqq0 ,)1 ()1 (max0 ,)1 ()1 (max2220230XdXduSduSqSduSqq对于第对于第1阶段各状态的期权价值有阶段各状态的期权价值有0 ,)1 ()1 (max33. 014. 769. 4302XuduSduSqqq0 ,)1)(1 (max0 ,)1 ()1 (max2302220XdXduSduSqSduSqq0 ,)1 ()1 (max033. 022. 02202XuduSduSqqq0 ,)1 (max0 ,)1)(1 (max240230XdXduS
17、dSqSduSqq34230010.313.74.69max(1),03max(1) (1),0uduXudXqqqSuSq qSudS0 ,)1)(1 (max0 ,)1 ()1 (max33032202XdXduSduSqSduSqq)1 ()1 (max30 ,)1 ()1 (max22. 069. 408. 3202303duSqqSduSqqqduXudu0 ,)1 (max0 ,)1)(1 (max30 ,403302XdXduXSdSqSduSqqS期初的价值期初的价值(期权的价格期权的价格) )1 ()1 (max40 ,)1 (max08. 33 .1057. 7303404
18、duSqqSuSqqqCduXudu30322022)1)(1 (max40 ,)1 ()1 (max60 ,duSqqSduSqqSduXduX0 ,)1 (max0 ,404XdXSdSqS404040 ,)1 ()1 (max4iXiiidiuSduSqqi44!,0,1,2,3,4(4)! !iii i 0! 1把持有期分成把持有期分成n个相同时段的情形个相同时段的情形 假定每阶段内股票价格上升或下降的因子假定每阶段内股票价格上升或下降的因子相同相同 ,无风险收益率相同无风险收益率相同.niXiinidinuSduSqqinC000 ,)1 ()1 (max!(1)(1),0,1,()
19、! !(1)1nnnnninnini iii 欧式卖出期权的二项式定价公式欧式卖出期权的二项式定价公式00max(1)(1) ,0nn iin iiudXinPqqSSudi 例7：计算在下列股票上执行期限为一年的欧式买入和卖出期权的价格，已知该股票的现行价格为60元，无风险年收益率为5%，买入期权的执行价格为62元，卖出期权确定的执行价格为61元。设把执行期限等分为两个阶段，经估计得每阶段股票价格要么上升8%，要么下降4%。首先计算首先计算 相关参数相关参数4557. 004. 008. 0) 1(8 . 0) 1(2/05. 02/edueurT,5309. 0)4557. 01 ()1
20、(025. 02/eeqrTu4445. 02/rTdeq对于买入期权对于买入期权 ,984. 70 ,62984.69max0 ,)1 (max20XSuS208. 00 ,62208.62max0 ,)1)(1 (max0XSduS00 ,62296.55max0 ,)1 (max20XSdS35. 20208. 02984. 722dduuqqqqC对于卖出期权 00 ,984.6961max0 ,)1 (max20uSSX00 ,208.6261max0),1)(1 (max0duSSX704. 50 ,296.5561max0 ,)1 (max20dSSX13. 1704. 5020
21、22dduuqqqqP参数计算的简化 设每个阶段的无风险收益率 则有nrTr/,11/reernrT)1/(1/renrT/(1)(1)r T nrT neuueudud urud/( 1)(1)()rT nurdqer ud/(1)()rT ndurqer ud在一般情况下，假定无风险收益率是几何收在一般情况下，假定无风险收益率是几何收益率，则无风险资产在每个时段的收益率益率，则无风险资产在每个时段的收益率为为 为每个时段的时间长度为每个时段的时间长度 又可设股票价格的上升与下降幅度完全由其又可设股票价格的上升与下降幅度完全由其价格的波动率价格的波动率 确定，则价格在每个时段确定，则价格在每
22、个时段的上升因子和下降因子为的上升因子和下降因子为1trer1teu1ted/tT n 分别将它们代入得分别将它们代入得(1)()()r ttur tttrdeeqrudeee (1)()()tr tdr tttureeqrudeee 例例:右表给出了某股票过去右表给出了某股票过去15周周(包括本周包括本周)的收盘价的收盘价.现现在有一以该股票为标的资在有一以该股票为标的资产产,期限为期限为3个月个月(13周周),执执行价格为行价格为7.5元的欧式买入元的欧式买入期权期权,已知无风险资产的年已知无风险资产的年收益率为收益率为6%,试把期限分成试把期限分成13个时段个时段,用二项式方法计用二项式
23、方法计算该期权的价格算该期权的价格.计算过程计算过程:(1)先估计股票价格的波动性先估计股票价格的波动性,(2) 计算二项式公式中的上升状态因子和下降计算二项式公式中的上升状态因子和下降状态因子状态因子,(3)计算股票在期权到期日各状态的价格计算股票在期权到期日各状态的价格,以及以及期权在到期日各状态的价值期权在到期日各状态的价值,(4) 利用二项式公式计算期权的价格利用二项式公式计算期权的价格.计算结果计算结果5). 美式期权的定价美式期权的定价买入期权买入期权: 用欧式买入期权的定价公式或方法用欧式买入期权的定价公式或方法.卖出期权卖出期权: 由于在某些状态下，提前执行会优由于在某些状态下
24、，提前执行会优于继续持有期权，因此在美式卖出期权定价于继续持有期权，因此在美式卖出期权定价的价格树上需要确定期权在每一个结点状态的价格树上需要确定期权在每一个结点状态的价值时都要对持有期权的价值和执行期权的价值时都要对持有期权的价值和执行期权的价值加以比较，并选取其中的大者作为期的价值加以比较，并选取其中的大者作为期权在该结点的价值权在该结点的价值. 表示期权在时间表示期权在时间t的某状态结点处的价值的某状态结点处的价值 期权在该状态结点的市场价值，即持由期权在该状态结点的市场价值，即持由 期权的价值期权的价值 期权在该结点的右端上方相邻结点的价值期权在该结点的右端上方相邻结点的价值 期权在该
25、结点的右端下方相邻结点的价值期权在该结点的右端下方相邻结点的价值 ,maxtEXtMtVVV tVtMVRDWdRUPutMVqVqVRUPVRDWV 期权在该结点提前执行的价值期权在该结点提前执行的价值上述三式结合得出期权在期权价格树上某结上述三式结合得出期权在期权价格树上某结点处的价值点处的价值 tEXV0 ,maxtXtEXSSV0 ,max,maxtXRDWdRUPutSSVqVqV美式卖出期权定价的例美式卖出期权定价的例: 060,61,2XSST%3%,10%,5dur0.050.030.5861(1)()(1 0.05)(0.1 0.03)urdqr ud3663. 0)03. 01 . 0)(05. 01 (05. 01 . 0)(1 (durruqd 606672.65754.1562.7二阶段股票价格树二阶段股票价格树 0.000.006.850.004.0 1.470max61 72.6,00max61 62.7,06.85max61 54.15,00.0maxmax6166,0,0.5861*00.3663*04.0maxmax61 57,0,0.5861*00.3663*6.85max4,2.511.47maxmax6160,0,0.5861*00.3663*4max1,1.47美式卖出期美式卖出期权价格树权价格树
