1、潮泉镇初级中学潮泉镇初级中学 张婷婷张婷婷学习目标：1、运用正方形性质和判定方法解决几何问题。、运用正方形性质和判定方法解决几何问题。2、学会构造辅助线解决几何问题。、学会构造辅助线解决几何问题。教学重点：教学难点：正方形性质的运用。正方形性质的运用。通过分析已知条件构造辅助线。通过分析已知条件构造辅助线。 对角线：对角线： 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。边边: 对边平行对边平行 四边相等四边相等角角 ：四个角都是直角：四个角都是直角图形的对称性：是轴对称图形图形的对称性：是轴对称图形, 有四条对称轴。有四条对称轴。正方形的性质正方形的判定
2、方法1 1、有一组邻边相等的、有一组邻边相等的矩形矩形是正方形。是正方形。2 2、对角线互相垂直的、对角线互相垂直的矩形矩形是正方形。是正方形。3 3、有一个角是直角的、有一个角是直角的菱形菱形是正方形。是正方形。4 4、 对角线相等对角线相等 的的菱形菱形是正方形。是正方形。CADBO小试牛刀1 1、正方形是轴对称图形，它的对称轴共有、正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( ) ( ) A A1 1条条 B B2 2条条 C C3 3条条 D D4 4条条2 2、正方形具有而菱形不一定具有的性质（、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A A四边都相等四边都相等 B B对角线互相垂直且平分对
3、角线互相垂直且平分C C对角线相等对角线相等 D D对角线平分一组对角对角线平分一组对角3 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）A A对边平行且相等对边平行且相等 B B对角线互相垂直对角线互相垂直C C对角线相等对角线相等 D D四个角都是直角四个角都是直角4 4、下列判断中正确的是、下列判断中正确的是( () )A A四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形 B B四角相等的四边形是正方形四角相等的四边形是正方形C C对角线互相垂直的平行四边形是正方形对角线互相垂直的平行四边形是正方形D D对角线互相对角线互相 且且 的四边形是
4、正方形的四边形是正方形DCBD垂直垂直平分平分相等相等正方形正方形= =矩形矩形+ +菱形菱形+ +平行四边形平行四边形例1、如图，点M是正方形ABCD的对角线BD上的一点，MEBC， MFCD，垂足分别是点E，F。求证：AM=EF 证明：连接证明：连接MCMC四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形BCD=90BCD=90，ABD=CBD=45ABD=CBD=45，AB=BCAB=BC又又MEBCMEBC，MFCDMFCDMEC=90MEC=90，MFC=90MFC=90四边形四边形MECFMECF为矩形为矩形MC=EFMC=EF在在ABMABM和和CBMCBM中中ABMABMCBMCB
5、M（SASSAS）AM=MCAM=MCAM=EFAM=EF AB=BCAB=BC ABM= CBM ABM= CBM MB=MB MB=MB例题讲解还有其他方法吗？还有其他方法吗？ADMADMCDMCDM（SASSAS） 一题多解一题多解如图，点M是正方形ABCD的对角线BD上的一点，MEBC， MFCD，垂足分别是点E，F。求证：AM=EF 连接连接ACAC，MCMC由由BDBD是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线可得可得AM=MCAM=MC进而再证进而再证MC=EFMC=EF一题多解一题多解如图，点M是正方形ABCD的对角线BD上的一点，MEBC， MFCD，垂足分别是点E，F。求证：AM
6、=EF 过过M M点作点作MQADMQAD，垂足为，垂足为Q Q， 作作MPABMPAB，垂足为，垂足为P P证明出证明出AP=MFAP=MF，PM=MEPM=ME，进而证明进而证明APMAPMFMEFME，即可证明出即可证明出AM=EFAM=EFQP如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形AB=ADAB=AD，BAE=ADF=90BAE=ADF=90BAF+DAF=90BAF+DAF=90AFBEAFBEBAF+ABE=90BAF+ABE=90DAF=ABEDAF=ABE在在ABEAB
7、E和和DAFDAF中中 ABFABFBCEBCE（ASAASA）AF=BEAF=BE 练习BAE=ADFBAE=ADFAB=ADAB=ADABEABE =DAF=DAF（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由 证明：过点证明：过点A作作AFMP交交CD于于F，过点，过点B作作BENQ交交AD于于E ABCD，ADBC四边形四边形AMPF与四边形与四边形BNQE是平行四边形是平行四边形AF=MP，BE=NQ在正方形在正方形ABCD中，中，AB=AD，BAE=D=90DAF+BAF=90AFBE， ABE+BAF
8、=90 ABE=DAF在在ABE和和DAF中中 ABEDAF（ASA）AF=BEMP=NQ FEBAE=ADFAB=ADABE =DAFMP=NQ还有其他方法吗？还有其他方法吗？如图如图2 2，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M、N N、P P、Q Q分别是边分别是边ABAB、BCBC、CDCD、DADA上的点，且上的点，且MPNQMPNQMPMP与与NQNQ是否相等？并说明理由是否相等？并说明理由一题多解一题多解EF过过M M点作点作M ME EC CD D，垂足为，垂足为E E，过过Q Q点作点作QFQFBCBC，垂足为，垂足为F F证明出证明出EMP= =FQN， MEME
9、= =QFQF，进而证明进而证明EMPEMPFQNFQN，即可证明出即可证明出MPMP= =QNQN如图如图2 2，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M、N N、P P、Q Q分别是边分别是边ABAB、BCBC、CDCD、DADA上的点，且上的点，且MPNQMPNQMPMP与与NQNQ是否相等？并说明理由是否相等？并说明理由一题多解一题多解条件不充分，条件不充分，此方法行不通。此方法行不通。例2、已知：如图，在ABC中，AB=AC ， ADBC ，垂足为点D， AN是ABC外角CAM的平分线， CEAN ，垂足为点E（1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方
10、形？并给出证明 M E N C D B A（1 1）证明：）证明：在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBCBAD=DACBAD=DACANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线的平分线MAE=CAEMAE=CAEDAE=DAC+CAE=180DAE=DAC+CAE=180 =90 =90又又ADBCADBC，CEANCEAN，ADC=CEA=90ADC=CEA=90四边形四边形ADCEADCE为矩形为矩形 21正方形的判定正方形的判定例2、已知：如图，在ABC中，AB=AC ， ADBC ，垂足为点D， AN是ABC外角CAM的平分线， CEAN ，垂足为点E（
11、1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明 M E N C D B A当当ABCABC满足满足BAC=90BAC=90时，四边形时，四边形ADCEADCE是一个正方形是一个正方形证明：证明：AB=ACAB=ACACB=B=45ACB=B=45ADBCADBCCAD=ACD=45CAD=ACD=45DC=ADDC=AD四边形四边形ADCEADCE为矩形为矩形矩形矩形ADCEADCE是正方形是正方形当当BAC=90BAC=90时，四边形时，四边形ADCEADCE是一个正方形是一个正方形 如图，在ABC中，ACB=90，CD是角平分线，DEAC，DFBC，垂足分别
12、是E，F求证：四边形DECF是正方形 证明：证明：CDCD是角平分线，是角平分线，DEACDEAC，DFBCDFBCDE=DFDE=DF，CED=CFD=90CED=CFD=90ACB=90ACB=90四边形四边形DECFDECF是矩形是矩形又又DE=DFDE=DF四边形四边形DECFDECF是正方形是正方形 练习1、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则 1+2+3=_。2、如图，正方形的周长为 8cm，则矩形EFBG的周长为_3、如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cmP是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于_cm 135 2cm当堂检测2154、如图将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则EBF的大小为_5、如图，四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角形，则AEB=_，AED=_ 45 75 150说一说本节课，你有哪些收获？本节课，你有哪些收获？
