1、1lM/M/n的排队模型的排队模型服务窗个数为多个服务窗个数为多个假定单个服务窗的服务率为假定单个服务窗的服务率为 ，则系统在某状态，则系统在某状态下的消亡率为下的消亡率为j ，j是此状态下正在忙的服务窗个是此状态下正在忙的服务窗个数数 2l 顾客到达的间隔时间顾客到达的间隔时间负指数分布，参数为负指数分布，参数为 l 顾客接受服务的时间顾客接受服务的时间负指数分布，参数为负指数分布，参数为 l 系统有系统有n个服务窗个服务窗l 系统最多容纳顾客系统最多容纳顾客n个个 因系统满员造成顾客损失因系统满员造成顾客损失3l 0k-121k23(k-1)kn-1nn(n-1)0,1,2,., 0,1,
2、2,.,11,2,3,.,kkEnknkknM/M/n/n排队模型的状态流图排队模型的状态流图4l求平稳分布求平稳分布0101011001101()!1!kkkknkkknkkkknkpppoffered loadkkppkpkk5l 目标参量目标参量P损损称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰称为爱尔兰损失公式，又称爱尔兰B公式，欧洲人称公式，欧洲人称为爱尔兰第一公式为爱尔兰第一公式 1101110/ !/ !( ,)( ,)!nknknknknknB nB nk6l爱尔兰爱尔兰B公式的广泛性：公式的广泛性：我们把一个具有泊松输入的损失制排队系统称为爱尔兰损失制系统爱尔兰损失制系统，这种损失制系统对
3、于任何服务时间分布，它在统计平衡条件下的状态概率都相同与M/M/n/n相同。 即M/M/n/n排队系统的平稳分布M/G/n/n排队系统的平稳分布78 服务窗占用的均值：服务窗占用的均值：服务窗的效率（劳动强度）服务窗的效率（劳动强度）(1)enp0.neskkeseLLkpLW服服eLnn服9l 顾客到达的间隔时间顾客到达的间隔时间负指数分布，参数为负指数分布，参数为 l 顾客接受服务的时间顾客接受服务的时间负指数分布，参数为负指数分布，参数为 l 系统有系统有n个服务窗个服务窗l 系统最多容纳顾客系统最多容纳顾客 个个 100,1,2,.kkEkknnkn0n-121n23(n-1)nn+1
4、n+2nnnn个服务窗全忙服务窗还有空闲11l 求平稳分布求平稳分布1,1n令，10010001111000!11! 1kkkkknkk nkkknnknppknkkpnppknn nnppkn12l目标参量目标参量P损=0A=Q=1平均等待队长平均服务队长11021().(1)!()nqkk nLkn ppnn110.nkkkk nLkpnpn服13平均系统队长平均系统队长平均等待时间平均等待时间平均系统内逗留时间平均系统内逗留时间110121(1)!()nsqLLLpnn服1010221(1)!()!(1)nnqqLppWnnn n1sssqqLWWWWW服14来到系统的顾客必须排队等待的
5、概率来到系统的顾客必须排队等待的概率称为爱尔兰等待公式，又称爱尔兰称为爱尔兰等待公式，又称爱尔兰C公式，欧洲公式，欧洲人称为爱尔兰第二公式人称为爱尔兰第二公式101( ,)( ,)!.nkkk nk nnnC nC nppnnpn150.30.40.40.30.30.40.4*30.3*3M/M/33个个M/M/11个个M/M/1p00.07480.25(每个子系统）每个子系统）0.25顾客等候概率顾客等候概率0.570.750.75Lq1.76.75（整个系统）（整个系统）2.25Ls3.959.00 （整个系统）（整个系统）3.00Ws4.3910 3.33Wq1.897.5 2.50.4
6、0.40.40.3*316l 顾客到达间隔时间顾客到达间隔时间负指数分布，参数为负指数分布，参数为 l 顾客接受服务的时间顾客接受服务的时间负指数分布，参数为负指数分布，参数为 mnm-n17l 0,1,2,. 010kkEmkmkknnnkm0n-121n23(n-1)nn+1nn个服务窗全忙服务窗还有空闲nmn18l 平稳分布平稳分布1,n令100100011111001100!111!1(1)1!kkkkknkk nkkknm nnkknnknppknkkpnppnkmn nnpknpnmnkn 19l 目标参量目标参量系统的损失概率系统的损失概率 P损损系统的相对通过能力系统的相对通过
7、能力单位时间内损失的顾客数及平均进入系统的顾客数单位时间内损失的顾客数及平均进入系统的顾客数0!nmmnppn011!nmmnQppn 00!(1)(1)!nmLmnmemnppnnQppn20平均服务队长平均服务队长平均等待队长平均等待队长平均系统队长平均系统队长eLW服服服110201 (1)()1!(1)()(1)12 !nnm nm nqnnpmnmnnLnmn mnpn sqLLl服21l 顾客源有限顾客源有限m顾客源顾客源m=系统最大顾客数系统最大顾客数m，任何的需求都可以得到任何的需求都可以得到满足，满足，P损损=0闭合式排队系统：排队系统内顾客与顾客源中顾客总数闭合式排队系统：
8、排队系统内顾客与顾客源中顾客总数是固定的是固定的 (m-c)mnc个顾客个顾客m-c个顾客源个顾客源220,1,2,. ()010kkEmmkkmkknnnkm0n-121nm(m-1)(m-2)(m-n+1)23(n-1)n(m-n)n+1nn个服务窗全忙服务窗还有空闲nmn23l求平稳分布求平稳分布0110112101010100110110.(1).(1)011 2 3.!(1).(1)!1!kkkkkkmkkkmk nk nmkkknkkkmmk nkk nppm mmkpCpknkC km mmkppknn nn npC kpCn n （）24l目标参量目标参量0(),() ()mq
9、kk nmskksqsseqqesseLkn pLkpLLLALAE mlmLLWLW服服25l例题（例题（120页）内线占用外线，内线上产生页）内线占用外线，内线上产生电话呼叫，如果外线有空闲的则占有外线，电话呼叫，如果外线有空闲的则占有外线，如果没有空闲的外线则排队等待如果没有空闲的外线则排队等待l有有m条内线和条内线和n条外线，采用条外线，采用BCD（Blocked Call Delayed）排队规则）排队规则内线平均空闲时间内线平均空闲时间： 内线平均空闲概率内线平均空闲概率1tssmLtpmtW内线内线m条（顾客源）条（顾客源）外线外线n条（服务窗）条（服务窗）26内线被占用的概率内
10、线被占用的概率内线占用、不占用的循环周期内线占用、不占用的循环周期内线处于等待状态概率内线处于等待状态概率1sLpmcyclesWtW ( )qLr mm闲闲忙忙tsWcycleW27外线利用率外线利用率 外线损失系数，（空闲、浪费系数）外线损失系数，（空闲、浪费系数）服Ln( )11 服Lq nn28l输出是与输入同强度的泊松流输出是与输入同强度的泊松流l设排队系统为设排队系统为M/M/n/m(1 n m )，设到，设到达的顾客流是参数为达的顾客流是参数为 的泊松流（在等待制的泊松流（在等待制时，进入系统的流是参数为时，进入系统的流是参数为 的泊松流；在的泊松流；在混合制与损失制时，进入系统
11、的流是参数混合制与损失制时，进入系统的流是参数为为 (1-pm)的泊松流），如果把混合制与损的泊松流），如果把混合制与损失制时的损失流也看作系统的输出，失制时的损失流也看作系统的输出，则系则系统的输出是参数为统的输出是参数为 的泊松流。的泊松流。l证明略证明略29l 设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为设统计平衡条件下，顾客到达时看到的队长为ls-（不包括到达的这个顾客），（不包括到达的这个顾客）， ls-与平稳队长与平稳队长ls的的分布分布相同吗？相同吗？l 平稳分布记做：平稳分布记做：排队系统排队系统()()nsnspP lnpP ln30l 举例举例D/D/1排队系统排队系统假定顾客
12、到达间隔时间=服务时间=并且到达的间隔时间大于服务时间到达的顾客不需要等待，所以有：系统中最多有一个顾客，看到D/D/1排队系统中：1101,0 (1,2,3.)nppn011,0 (2,3.)npppn nnpp31l下面我们研究三种时刻队长分布的关系下面我们研究三种时刻队长分布的关系lpn-=P(顾客到达时系统中已有顾客到达时系统中已有n个顾客个顾客)lPn=P(N=n)=平稳分布队长为平稳分布队长为n的概率的概率lpn+=P(顾客离开系统时系统还有顾客离开系统时系统还有n个顾客的个顾客的概率概率)32lG/G/1系统系统pn- =pn+N(t)tn+1n跟踪跟踪N(t)实际走过的一条路线
13、实际走过的一条路线33l 假定从状态假定从状态n上跳到状态上跳到状态n+1的次数为的次数为An(t)从状态从状态n+1下跳到状态下跳到状态n的次数为的次数为Dn(t)l 由于到达与离去是一个一个发生的，并且由于到达与离去是一个一个发生的，并且n-n+1与与n+1-n是交错发生的。所以到是交错发生的。所以到t时刻为止，时刻为止，An(t)与与Dn(t)至多相至多相差差1l 设设A(t)、D(t)为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳为从任何状态开始上跳一步的总次数和下跳一步的总次数，在统计平衡条件下，有：一步的总次数，在统计平衡条件下，有： ( )( )( )lim1( )tA tD tD tA
14、 t34( )( )( )( )( )( )lim( )( )( )( )( )( )lim( )( )( )( )( )( )( )( )limlim1( )( )( )( )0nnnnnntnnnntnnnttnnA tD tppA tD tD tA tD tA tD tA tA tA tD tD tD tA tD tA tA tA tD tD tA tD tpp35l M/G系统有系统有pn-(t)= pn(t)，即任意时刻，到达的顾客看到的队长分布等，即任意时刻，到达的顾客看到的队长分布等于系统队长的分布于系统队长的分布l 证明证明令令A(t, t+t)表示在表示在t, t+t)时间内
15、到达了一个顾客，则时间内到达了一个顾客，则 因为输入流是泊松流，所以因为输入流是泊松流，所以A(t, t+t)发生的概率是发生的概率是 t+o(t)，与，与N(t)=n这个事件无关。所以这个事件无关。所以00( )( )|( ,)( ),( ,)lim ( ,)( ) ( ,)|( )lim ( ,)nttptP N tnA t ttP N tn A t ttP A t ttP N tnP A t ttN tnP A t tt 0 ( ,)|( ) ( ,)( )lim( )( )nnntP A t ttN tnP A t ttp tp tp t 】36lG/G排队系统排队系统pn- =pn+
16、 即到达的顾客与离开的顾客所看到的队长即到达的顾客与离开的顾客所看到的队长分布是相等的分布是相等的lM/G排队系统中排队系统中pn- =pn+ =pn即在顾客为泊松流到达的排队系统中，到即在顾客为泊松流到达的排队系统中，到达的顾客与离开的顾客看到的队长分布与达的顾客与离开的顾客看到的队长分布与系统的队长分布都相等系统的队长分布都相等 37l 某电话交换机有某电话交换机有20条线，假定每次用线时间（通条线，假定每次用线时间（通话）平均话）平均3分钟，不知其分布，通话需求是泊松分钟，不知其分布，通话需求是泊松流，平均每分钟有流，平均每分钟有5个。打不通电话时则不等待个。打不通电话时则不等待（BCC
17、Blocked Call Cleared），求损失概），求损失概率、平均损失顾客数。率、平均损失顾客数。B（15，20）0.33B（20，15）0.04638l在一个停车场中只有在一个停车场中只有10个停车位，汽车按个停车位，汽车按平均数为每小时平均数为每小时10部的泊松分布到达，停部的泊松分布到达，停车时间服从平均数为车时间服从平均数为10分钟的指数分布。分钟的指数分布。试求试求到达的汽车发现没有停车位的概率到达的汽车发现没有停车位的概率系统的有效到达率系统的有效到达率空停车位的期望值空停车位的期望值39l一理发店有发型师一理发店有发型师5人，供顾客等候的座位人，供顾客等候的座位有有10个，
18、若顾客以泊松流到达，每小时个，若顾客以泊松流到达，每小时8人，人，每一发型师平均要每一发型师平均要30分钟做一个发型，理分钟做一个发型，理发时间服从负指数分布。一顾客到达看到发时间服从负指数分布。一顾客到达看到无空座位要站着等候则马上离开。无空座位要站着等候则马上离开。求损失概率求损失概率平均损失的顾客数平均损失的顾客数平均忙的发型师数量平均忙的发型师数量40l 设有设有3个修理工负责个修理工负责7台机器，假定停台欲检修的台机器，假定停台欲检修的台数为泊松流，修理时间为指数分布。每台机器台数为泊松流，修理时间为指数分布。每台机器平均损坏率为每运转一小时发生一次；平均损坏率为每运转一小时发生一次
19、；3个修理个修理工以工以4台台/小时相同的平均修复率修好机器。试求：小时相同的平均修复率修好机器。试求：1）计算停台数为）计算停台数为0、1、4的概率的概率2）修理工的平均劳动率）修理工的平均劳动率3）平均等候检验的停台机器数）平均等候检验的停台机器数4）需要修理的平均机器数）需要修理的平均机器数5）一台机器的平均停工时间）一台机器的平均停工时间41l某单位电话总机外接中继线有某单位电话总机外接中继线有3条（服务条（服务窗），机关内有电话窗），机关内有电话20部（顾客），假定部（顾客），假定每部电话平均隔每部电话平均隔30分钟要求接一次外线，分钟要求接一次外线，间隔时间服从负指数分布，接外线一直等间隔时间服从负指数分布，接外线一直等到通话完成才结束。假定通话时间服从负到通话完成才结束。假定通话时间服从负指数分布，平均指数分布，平均3分钟一次，求一条内线上分钟一次，求一条内线上的平均等待时间及通话率。的平均等待时间及通话率。
