1、参参 考考 书书 目目v模糊数学模糊数学 刘应明刘应明,任平编任平编 上海教育出版社出版上海教育出版社出版v模糊数学教程模糊数学教程 蒋译军编蒋译军编 国防出版社出版国防出版社出版v医学信息分析方法医学信息分析方法 郭政，徐晶编郭政，徐晶编 哈尔滨出版社哈尔滨出版社出版出版v医学数量分析医学数量分析 刘定远编刘定远编 北医大，中国协和医大北医大，中国协和医大出版出版第一章第一章 绪绪 论论 1.1 1.1 模糊数学的发展模糊数学的发展1、数学的定义、数学的定义 19世纪之前世纪之前:数学是关于物质世界的空间形式和数学是关于物质世界的空间形式和数量关系的科学。数量关系的科学。 近代科学的特点：用
2、精确定义的概念和严格证明的近代科学的特点：用精确定义的概念和严格证明的定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精定理描述现代事物数量的关系和空间形式，用精确的实验方法和精确的测量计算探索客观确的实验方法和精确的测量计算探索客观世界的规律，建立严密的理论体系。世界的规律，建立严密的理论体系。2、数学发展的三个阶段、数学发展的三个阶段(1) 数学是关于数学几何图形的科学；数学是关于数学几何图形的科学；(2) 数学是研究量的变化和几何图形变换的科学；数学是研究量的变化和几何图形变换的科学；(3) 数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空数学是作为关于现实世界一切普遍性的数量形式和空间形式的科学
3、。间形式的科学。即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。即是说：任何的学科和对象都会有数学的应用。19世纪之后世纪之后:数学是从量的侧面研究客观世界的一门学科。数学是从量的侧面研究客观世界的一门学科。v现代数学分为三类：现代数学分为三类：v 基础数学（微积分）基础数学（微积分）v 应用数学（模糊数学）应用数学（模糊数学）v 计算数学计算数学一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做一个没有二义性并且意义明确的陈述句叫做一个命题，命题又分为真命题和假命题。一个命题，命题又分为真命题和假命题。理发师悖论理发师悖论一个理发师的招牌上写着：一个理发师的招牌上写着： 谁给这位理发师刮脸呢？谁给这位理发师刮
4、脸呢？理理发发师师悖悖论论3、模糊数学的产生、模糊数学的产生（1）1874年德国数学家康托尔发表集合论文年德国数学家康托尔发表集合论文（2）至今集合还没有一个精确的定义）至今集合还没有一个精确的定义（3）1965年扎德的年扎德的模糊集合模糊集合标志着模糊数学的诞生标志着模糊数学的诞生v扎德（扎德（Zadeh，L.A.；1921 ）v美国自动控制专家，美国工程科学院院士。美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年年2月生于苏联巴库。月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学
5、系教授。因发展模糊集理论的先驱程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋的教育勋章。章。v 1965年，扎德在年，扎德在信息与控制信息与控制杂志第杂志第8期上发表期上发表模糊集模糊集的论文的论文,引起了各国数学引起了各国数学家和自动控制专家们的注意。他通过引进模家和自动控制专家们的注意。他通过引进模糊集（边界不明显的类）提供了一种分析复糊集（边界不明显的类）提供了一种分析复杂系统的新方法。他提出用语言变量代替数杂系统的新方法。他提出用语言变量代替数值变量来描述系统的行为，使人们找到了一值变量来描述系统的行为，使人
6、们找到了一种处理不确定性的方法，并给出一种较好的种处理不确定性的方法，并给出一种较好的人类推理模式。人类推理模式。20年来他所开创的模糊集领年来他所开创的模糊集领域得到了迅速发展。域得到了迅速发展。 与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊众所周知，经典数学是以精确性为特征的，而模糊数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描
7、数学是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物述的模糊事物.1.2 1.2 模糊性模糊性（模糊数学的基本概念）（模糊数学的基本概念）v1.2.1 1.2.1 模糊性的基本概念模糊性的基本概念清晰事物清晰事物: 有些事物可以根据某种精确标准对他们进行界有些事物可以根据某种精确标准对他们进行界限明确地认识，从而得出是否明确的断言，此类事物称限明确地认识，从而得出是否明确的断言，此类事物称之为清晰事物。之为清晰事物。清晰性：清晰性：清晰事物具有的明确类属特性。清晰事物具有的明确类属特性。模糊事物：模糊事物：有些事物无法找出它们精确的分类标准，有些事物无法找出它们精确的分类标准，这类事物的类
8、属是逐步过渡的，即从属于某类事物这类事物的类属是逐步过渡的，即从属于某类事物到不属于某类事物是逐渐变化的，不同类别之间不到不属于某类事物是逐渐变化的，不同类别之间不存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。存在截然分明的界限，这类事物称为模糊事物。模糊性：模糊性：事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。事物的这种不清晰类属特性称之为模糊性。说明：说明：凡在类属问题上能判断或是或非的对象，凡在类属问题上能判断或是或非的对象，就是清晰事物；凡在类属问题上只能区别成都就是清晰事物；凡在类属问题上只能区别成都等级的对象，就是模糊事物。等级的对象，就是模糊事物。状态状态类属类属实例实例清晰事物清晰事物清晰
9、的清晰的界限分明界限分明行星，整数，鸡蛋行星，整数，鸡蛋相对的相对的模糊事物模糊事物不清晰的不清晰的界限模糊界限模糊高山，优秀，胖子高山，优秀，胖子绝对的绝对的注意：注意：同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不同一事物在一方面是清晰的，在另一方面就可能是不清晰的。清晰的。 1 1、模糊性与近似性、模糊性与近似性 模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源模糊性问题本身有精确解，这时的不精确性来源于认识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。于认识条件的局限性和认识过程发展的不充分性。 近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然近似性问题本身无精确解，这时的不精确性自然来源于对象自身固有的
10、状态上的不确定性。它来源于对象自身固有的状态上的不确定性。它仅是模糊现象中的一种。仅是模糊现象中的一种。 1.2.2 1.2.2 与模糊性易混淆的几个概念与模糊性易混淆的几个概念2 2、模糊性与随机性、模糊性与随机性 确定性（确定性（1 1）确定性（确定性（2 2）服从性服从性信息观点信息观点模糊性模糊性 质不确定质不确定内在不确内在不确定定不服从不服从排中律排中律关系到信息的意关系到信息的意义义随机性随机性 状态属性确定状态属性确定外在不确外在不确定定服从排服从排中律中律只涉及信息的量只涉及信息的量3 3、模糊性与含混性、模糊性与含混性一个命题之所以是模糊的，原因在于所涉及的类本身一个命题之
11、所以是模糊的，原因在于所涉及的类本身是模糊的。是模糊的。一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有一个命题是否带有含混性与其应用对象或与上下文有关，而模糊性却非如此。关，而模糊性却非如此。一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个一个含混的命题既是模糊的，又是二义的，它对一个特定的目的只提供了不充分的信息。特定的目的只提供了不充分的信息。1.3 1.3 模糊数学的应用模糊数学的应用 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数
12、学的广质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用泛而又成功的应用.例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自例如：（自然科学中）计算机图像识别，手书文字自动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人动识别，癌细胞识别，白血球的识别与分类，机器人控制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类控制，计算机医疗诊断，疾病预报，各类信息的分类与评估、天气预报、气候模拟试验等等。与评估、天气预报、气候模拟试验等等。例如例如（社会科学中）（社会科学中）模糊语言、模糊概念、对特模糊语言、模糊概念、对特定的集体、个人在给定因素方面的评价、分定的集体、个人在给定因素方面的评价、分类、排序
13、等等。类、排序等等。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. . 众众所周知，经典数学是以精确性为特征的所周知，经典数学是以精确性为特征的. .未来数学将分为三大类：未来数学将分为三大类：第一代是经典数学，第一代是经典数学，第二代是统计数学，第二代是统计数学，第三代是模糊数学。第三代是模糊数学。第二章第二章 模糊集合模糊集合2.1.1 2.1.1 集合的基本概念集合的基本概念v定义定义2-1 ：具有某种共同性质事物的全体称为集合，：具有某种共同性质事物的全体称为集合，而每一个个别事物称为该集合的而每一个个别事物称为该集合的“元素元素”。2.1 2.1
14、 经典集合论概述经典集合论概述说明说明: （1）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于）集合是由元素组成的，它可以理解为存在于世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；世上的任何客观物体，无论是具体的还是抽象的；（2）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，）经典集合具有两条基本属性：元素彼此异，即无重复性；即无重复性； （3）范围边界分明）范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属于集合要么属于集合A(记作记作x A),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必，二者必居其一；居其一；（4）我们研究的对象的范围叫论域，也叫全集，通）我们研究的对象的范围叫论域，也叫全集，通常用常用
15、U表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一表示，它本身是一种特殊的集合，他的选取一般不唯一，应根据具体研究的需要而定。般不唯一，应根据具体研究的需要而定。 （5）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相）集合的元素可以任意多，并且一些完全毫不相关的事物都可以是同一集合中的元素。关的事物都可以是同一集合中的元素。v一个概念的形成大致需要经过两方面：一个概念的形成大致需要经过两方面：v一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作一方面是从内在条件把握各个有关因素对这个概念所作的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的的规定，即此概念的内在涵义，我们称其为概念的“内内涵涵”。v另一方面就是此概
16、念所包含的东西，也就是符合此概念另一方面就是此概念所包含的东西，也就是符合此概念事物的全体，我们称其为概念的事物的全体，我们称其为概念的“外延外延”。外延实际。外延实际 上是表现概念的一个集合。上是表现概念的一个集合。v内涵和外延是刻画概念的两个方面，内涵和外延是刻画概念的两个方面， 他们是相辅相成的。他们是相辅相成的。v经典集合论的基本要求：二者必居其一，且只居其一。经典集合论的基本要求：二者必居其一，且只居其一。v几种常用的集合分类：几种常用的集合分类：v 1、有限集合与无限集合、有限集合与无限集合v 2、可列集合和不可列集合、可列集合和不可列集合v 3、空集与全集、空集与全集定义定义2-
17、22-2：A是论域是论域U中的集合，映射中的集合，映射 f ： X Y 集合集合A的特征函数：的特征函数：., 0;, 1)(AxAxxA说明：说明：1、特征函数是一个布尔函数；、特征函数是一个布尔函数；2、论域中属于、论域中属于A的元素，其特征函数为的元素，其特征函数为1 ，不属于，不属于A 的元素，其特征函数为的元素，其特征函数为0，绝不存在特征值介于，绝不存在特征值介于0和和1之之间的任何元素；间的任何元素； 3、特征函数对将经典集合论推广到模糊集合论起到极、特征函数对将经典集合论推广到模糊集合论起到极为重要的作用。为重要的作用。集合的表示法：集合的表示法：（1）枚举法，）枚举法，A=x
18、1 , x2 , xn；（2）描述法，）描述法，A=x | P(x). （3 ）特征函数法）特征函数法（4）文氏图）文氏图 .,0;, 1)(为为无无理理数数为为有有理理数数例例如如：xxxA 集合论中的基本概念集合论中的基本概念 2.1.2 集合的运算及其性质集合的运算及其性质1、集合间的基本运算、集合间的基本运算 定义定义2-3 2-3 令令A,B为论域为论域U中任意两个集合，则定义：中任意两个集合，则定义：并集：并集：AB = x | x A或或x B ；交集：交集：AB = x | x A且且x B ；差集：差集：AB = x | x A且且x B 补集：补集：Ac = x | x A
19、 . .通过特征函数来定义集合的运算通过特征函数来定义集合的运算v定义定义2-42-4 令令A,BA,B为论域为论域U U中任意两个集合，则中任意两个集合，则 定义定义 ：).(1)();()()();()()();()()(xxAxxxBAxxxBAxxxBAAABABABABABABAcc 的补集的补集差集差集与与交集交集与与并集并集与与 幂等律：幂等律： AA = A， AA = A； 交换律：交换律： AB = BA， AB = BA； 结合律：结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律：A( AB ) = A，A( AB ) =
20、 A； 集合的运算的基本性质集合的运算的基本性质设设A,B,CA,B,C为论域为论域U U中的三个任意集合中的三个任意集合0-1律：律： AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；还原律：还原律： (Ac)c = A ；对偶律：对偶律： (AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = ； 分配律：分配律： ( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；2.1.3 关系关系 定义定义2-52-5 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二元关系，二元关系，
21、特别地，当特别地，当 X = Y 时，时，称之为称之为 X 上的上的二元关系二元关系.二元关系二元关系简称为简称为关系关系. 若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为 R (x , y ) = 1； 若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，记为关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射映射 R : X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的子集的子集R上的特征函数上的特征函数.v说明：说明：v1、R是集合是集合X到集合到集合Y的关系，记作的关系，记作v2、关系、关系R的定义域，记为的定义域，记为D(R)v3、关系、关系R的值域
22、的值域,记为记为C(R)v4、所有的集合运算及其性质在关系中也适用、所有的集合运算及其性质在关系中也适用 YXR 5 5、令集合、令集合X =x1 , x2 , xn ，Y =y1 , y2 , ym,X到到Y存在关系存在关系R，则关系，则关系R的的“关系矩阵关系矩阵”为为MR=(rij)n*m，其中，其中 RyxRyxrjijiij),(, 1),(, 0关系矩阵是布尔矩阵。关系矩阵是布尔矩阵。v定义定义2-6 设设R是一个集合是一个集合X到集合到集合Y的关系，则从的关系，则从Y到到X的关系的关系RT=(y,x) (x,y) R 称为称为R的逆关系。的逆关系。v定义定义2-7 设设R是集合是
23、集合X到集合到集合Y的关系的关系,S是集合是集合Y到到集合集合Z的关系的关系,则称则称R S为为R与与S的合成关系。的合成关系。关系关系R R自身的合成运算称为自身的合成运算称为R R的的“幂运算幂运算”，记为记为R R。关系的三大特性：关系的三大特性： 设设R为为 X 上的上的关系关系 (1) 自反性自反性：若：若 X 上的任何元素都与自己有上的任何元素都与自己有关系关系R，即，即R (x , x) =1，则称关系，则称关系 R 具有自反性；具有自反性； (2) 对称性对称性：对于：对于X 上的任意两个元素上的任意两个元素 x , y，若，若 x 与与y 有关系有关系R 时，则时，则 y 与
24、与 x 也有关系也有关系R，即若，即若R (x , y ) =1，则则R ( y , x ) = 1，那么称关系那么称关系R具有对称性具有对称性； (3) 传递性传递性：对于：对于X上的任意三个元素上的任意三个元素x, y, z，若若x 与与y 有关系有关系R，y 与与z 也有关系也有关系R 时，则时，则x与与z 也有关系也有关系R，即若即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则则R ( x , z ) = 1，那么那么称关系称关系R具有传递性具有传递性. 两类关系两类关系v定义定义2-8 设设R是非空集合是非空集合X上的关系，若上的关系，若R具有自反性具有自反性和对称
25、性，则称和对称性，则称R是集合是集合X上的上的“相似关系相似关系”。v定义定义2-9 设设R是非空集合是非空集合X上的关系，若上的关系，若R具有自反性，具有自反性，对称性和传递性，则称对称性和传递性，则称R是集合是集合X上的上的“等价关系等价关系”。 设设R是集合是集合X上的等价关系，对任意给定的上的等价关系，对任意给定的xX，由所有与由所有与x有关系的元素组成的集合称为有关系的元素组成的集合称为x的的“等价类等价类”，记为记为xR，即，即),( ,RyxXyyXR 2.1.4 映射映射v定义定义2-10 设设f是从集合是从集合X到集合到集合Y的一个关系，若对的一个关系，若对于任意于任意xX，
26、存在唯一的，存在唯一的yY，使得，使得（x，y) f f，则称关系则称关系f f是从集合是从集合X到集合到集合Y的一个的一个“映射映射”,记为记为f f: XY。v映射分类映射分类（1）单射）单射 （2）满射）满射 （3）1-1映射映射定义定义2-11 设设f: XY是是1-11-1对应的映射，则对应的映射，则f所构成所构成的逆关系称之为的逆关系称之为f f的的“逆映射逆映射”。记为。记为f-1:YX。注意注意：并非任何映射都有逆映射。：并非任何映射都有逆映射。2.2 2.2 模糊集合概念模糊集合概念v定义定义2-12 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1 确定了一个确定了一个
27、U上的模糊子集上的模糊子集A或或 ，映射，映射A(x)或或 称为称为A的隶属函数，它表示的隶属函数，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度.)(xAA说明：说明： （1）使）使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性. （2） 当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子集就是模可见经典子集就是模糊子集的特殊情形糊子集的特殊情形. （3） 模糊集合模糊集合A的每个元素的每个元素(x,A(x)都能都能明确的表现出明确的表现出x的隶属等级。的隶属等级。
28、 A(x)的值越大，的值越大，x的隶属程度就越高。的隶属程度就越高。 （4）模糊集合的分类：离散型，）模糊集合的分类：离散型，连续性连续性v定义定义2-13 由论域由论域U上所有模糊集合构成的集合上所有模糊集合构成的集合F(x)称为模糊幂集。称为模糊幂集。v模糊集合表示法模糊集合表示法v（1）序偶表示法（向量表示法）序偶表示法（向量表示法）v（2）扎德方法）扎德方法v（3）隶属函数方法）隶属函数方法经典集合与模糊集合的区别经典集合与模糊集合的区别经典集合经典集合模糊集合模糊集合表达概念表达概念外延外延内涵内涵函数表示函数表示特征函数特征函数隶属函数隶属函数自变量范围自变量范围0，10，1边界转
29、变边界转变从属于到不从属于到不属于转变是属于转变是突变的突变的从属于到不从属于到不属于转变是属于转变是逐渐的逐渐的v例例 以年龄作为论域，取以年龄作为论域，取U=0,200, Zadeh给出了给出了“年老年老”与与“年轻年轻” 这两个模糊集的隶属函数如下：这两个模糊集的隶属函数如下： 20050,)550(1 500, 0)(12uuuuo 20025,)525(1250, 1)(12uuuuY2.3 2.3 隶属函数构造隶属函数构造v2.3.1 2.3.1 概概 述述v构造隶属函数的常用方法构造隶属函数的常用方法v（1 1）例证法）例证法v主要思想：从已知的有限个隶属值主要思想：从已知的有限
30、个隶属值A(x)中来估计论中来估计论域域U U上的模糊集合上的模糊集合A的隶属函数。的隶属函数。v（2 2）模糊统计法）模糊统计法v（3 3）蕴含解析定义法）蕴含解析定义法v它是根据微积分的理论来确定隶属函数。它是根据微积分的理论来确定隶属函数。v（4 4）二元对比法）二元对比法 采用对比的方法确定隶属值。采用对比的方法确定隶属值。v（5 5）三分法）三分法v（6 6）模糊分布法）模糊分布法 从给定的一系列模糊函数解析从给定的一系列模糊函数解析式选择出合适的函数作为自己的模糊函数。式选择出合适的函数作为自己的模糊函数。 （7 7）经验方法）经验方法 请若干专家对论域中的每个元素给出一个请若干专
31、家对论域中的每个元素给出一个隶属度的方法。隶属度的方法。2.3.2 2.3.2 模糊统计模糊统计v模糊统计试验的基本原理（模糊统计试验的基本原理（4 4个要素）：个要素）：v（1 1）论域）论域Uv（2 2）U U中的一个元素中的一个元素U0v（3 3）U U中的一个边界可变的普通集合中的一个边界可变的普通集合A* *，它联系于，它联系于一个模糊集合一个模糊集合A及相应的模糊概念及相应的模糊概念av（4 4）条件）条件S S，它联系着按概念，它联系着按概念a所进行的所进行的 划分过程的全部主客观因素，它制约划分过程的全部主客观因素，它制约 着着A 的边界的改变。的边界的改变。 v说明：说明：1
32、、模糊统计方法体现了用确定的手段去把、模糊统计方法体现了用确定的手段去把握和研究模糊性。握和研究模糊性。v 2、通过部分人评分的方法来确定隶属度是、通过部分人评分的方法来确定隶属度是一种广泛使用的方法。一种广泛使用的方法。v例：为在年龄论域中建立年轻人的模糊集合的隶属例：为在年龄论域中建立年轻人的模糊集合的隶属函数，现进行抽样调查。被查人先认真考虑年轻人函数，现进行抽样调查。被查人先认真考虑年轻人的含义后，提出自己认为符合年轻人这一概念的最的含义后，提出自己认为符合年轻人这一概念的最合适的年龄区间。这样实质上是随机地将年轻人这合适的年龄区间。这样实质上是随机地将年轻人这个模糊概念明确化。个模糊
33、概念明确化。v下表列出了对下表列出了对130人进行调查的结果：人进行调查的结果：数据数据隶属频率隶属频率2.3.3 2.3.3 模糊分布模糊分布v常用类型常用类型（1 1）降半矩形分布）降半矩形分布 （2 2）降半）降半形分布形分布（3 3）降半正态分布）降半正态分布 （4 4）降半柯西分布）降半柯西分布（5 5）降半梯形分布）降半梯形分布 （6 6）降岭形分布）降岭形分布1 1）升半矩形分布）升半矩形分布 （2 2）升半）升半形分布形分布（3 3）升半正态分布）升半正态分布 （4 4）升半柯西分布）升半柯西分布（5 5）升半梯形分布）升半梯形分布 （6 6）升岭形分布）升岭形分布1 1）矩形
34、分布）矩形分布 （2 2）形分布形分布（3 3）正态分布）正态分布 （4 4）柯西分布）柯西分布（5 5）梯形分布）梯形分布 （6 6）形分布）形分布2.3.4 2.3.4 模糊二元对比法模糊二元对比法v将论域中元素两两进行比较时，能够较客观的比出将论域中元素两两进行比较时，能够较客观的比出两者到底谁隶属于该模糊集的程度高。将这种模糊两者到底谁隶属于该模糊集的程度高。将这种模糊认识数量化，最后进行总体排序，再决定隶属函数认识数量化，最后进行总体排序，再决定隶属函数的方法，统称为模糊二元对比法。的方法，统称为模糊二元对比法。v择优比较法择优比较法v例：论域为例：论域为5个国家构成的集合，要通过比
35、较确定个国家构成的集合，要通过比较确定各个国家属于各个国家属于“经济发达经济发达”这个模糊概念的隶属度。这个模糊概念的隶属度。v选选1000名懂经济的人逐次对每两个国家作对比，并名懂经济的人逐次对每两个国家作对比，并赋予优胜者赋予优胜者1分，失败者分，失败者0分，每人需做分，每人需做10次对比，次对比，则有结果：则有结果：u1u2u3u4u5和和 u110102 u200101 u311103 u400000 u511114u1u2u3u4u5和和隶属度隶属度次序次序 u1054560064049922840.22841 u2455037735055017320.17324 u34006230
36、3293116630.16635 u4360650671036020410.20413 u5501450689640022800.228022.4 2.4 模糊集合代数运算模糊集合代数运算).()(,3).()(,2. 1)(; 0)(1,162xxBAxxBAxUAxAxUUBABABAAA 当当且且仅仅当当相相等等与与）（当当且且仅仅当当内内包包含含于于）（当当且且仅仅当当当当且且仅仅当当）（中中的的元元素素意意中中的的模模糊糊集集合合，对对于于任任为为论论域域令令定定义义v模糊集合的关系模糊集合的关系0)(:3)()(:2)()(:1 xAxxBAxxBAABABA ）空集）空集（）包含
37、）包含（）相等）相等（)(1:4_xAAA ）补集）补集（)(),(min(:7)(),(max(:61)(:5xxBACxxBACxABACBACA ）交交集集（）并并集集（）全全集集（:4,:3,:2:1AAAAACACBBABAABBAAA 、幂幂等等律律、传传递递律律、反反对对称称律律、自自反反律律模糊集运算的基本性质模糊集运算的基本性质)()(:6,:5CBACBAABBAABBA 、结合律、结合律、交换律、交换律)()()(:8)( ,)(:7CABACBAAABAAABA 、分配律、分配律、吸收律、吸收律ccccccBAABAAAAAAAAAAAAAABB12,:11,:10:9
38、 ）（）（、对对偶偶律律：、互互补补律律、定定常常律律、双双重重否否定定律律（德（德莫根定律）莫根定律）Av 模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即排中律以外，即v AAc U， AAc .v 模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，这正是模的特点，这正是模糊性带来的本质特征糊性带来的本质特征.v例：设论域例：设论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6为一商品集，在为一商品集，在U上定上定义两个模糊集义两个模糊集A=“商品质量好商品质量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，且设且设 =(0.80,.55,0.0,0.3
39、0,0.60,1)， =(0.10,0.21,0.86,0.60,0.0,0.50),则则“商品质量不好商品质量不好”的模糊集是的模糊集是 =(0.20,0.45,1.0,0.70,0.40,0.0) 易得：易得：AB_A,AAAABA 2.5 2.5 截集截集定义定义2-14 设设A为论域为论域X中的模糊集合，中的模糊集合， 0,1，定义定义A的的“ 截集截集”为集合为集合(A) = A = x | A(x) ，实数实数 称为阈值或为该截集的显著性水平。称为阈值或为该截集的显著性水平。说明：说明：模糊集的模糊集的 -截集截集A 是一个经典集合，由隶属度是一个经典集合，由隶属度不小于不小于 的
40、成员构成的成员构成. 定理定理2-22-2 设设A, B(U ) (A, B是论域是论域U 的两个模糊子的两个模糊子集集)， , ,0,1，于是有，于是有 - -截集的性质：截集的性质：(1) A B A B ；(2) A A ；(3) (AB) = A B ， (AB) = A B .定义定义2-15 设设A为论域为论域X中的模糊集合，定义中的模糊集合，定义vA的的“核核”为为KerA=X A(x)=1vA的的“支集支集”为为SuppA=X A(x)0v若若KerA，则称则称A为为“正规模糊集正规模糊集”说明：说明： KerA=A1 SuppA=A02.6 2.6 分解定理分解定理定理定理2
41、-5（分解定理）（分解定理） 设设A(U )， x A，则，则A(x) = 0,1，x A 定理定理2-6令令A为论域为论域U中的模糊集合，则中的模糊集合，则)()()(,(min(max)(1 , 01 , 0 xxAxxAAA 记记作作2.7 2.7 模糊集合度量模糊集合度量).,(,2).,(,1)()(),(,841121BAdpBAdpBAxBxABAdpUBAxxxUEHpnkpkkMn记记为为为为“欧欧几几里里德德距距离离”时时，明明可可夫夫斯斯基基距距离离称称当当记记为为称称“线线性性距距离离”称称为为“海海明明距距离离”又又时时，明明可可夫夫斯斯基基距距离离又又当当离离”。之
42、之间间的的“明明可可夫夫斯斯基基距距与与为为模模糊糊集集合合为为正正实实数数，则则定定义义模模糊糊集集合合，中中的的为为设设集集合合定定义义 2.7.1 2.7.1 模糊集合间的距离模糊集合间的距离2.7.2 2.7.2 模糊度模糊度v两类常用的模糊度两类常用的模糊度v1 1、距离模糊度、距离模糊度模模糊糊度度）（模模糊糊度度）（ RL21 2、模糊熵、模糊熵2.7.3 2.7.3 贴近度贴近度的“贴近度”。的“贴近度”。与与为为则称则称或或）（）（）（具有性质：具有性质：中的模糊集合，若映射中的模糊集合，若映射为论域为论域和和令令定义定义BABACABACBAABCABBAAAUFUFUCB
43、A),(),(),(3),(),(21),(11 , 0)()(,124 说明：说明：1、性质（、性质（1）说明两相同的模糊集合的贴近）说明两相同的模糊集合的贴近度最大度最大;2、性质（、性质（2）要求贴近度映射具有对称性）要求贴近度映射具有对称性;3、性质（、性质（3）描述了两个较）描述了两个较“接近接近”的模糊的模糊集合的贴近度也较大集合的贴近度也较大. baHniiiHdxxBxAabBAxBxAnBA)()(11),()()(11),(11或或、海明贴近度、海明贴近度2122112)()(11),()()(11),(2 baEniiiEdxxBxAabBAxBxAnBA或或、欧几里得贴
44、近度、欧几里得贴近度 niiiniiixBxAxBxABA11)(),(max()(),(min(),(:3、最大（最小）贴近度、最大（最小）贴近度)()(:)()(:2)1()(),()1()(),(),(,)()(4iiXxiiXxxBxABABABAxBxABABABABABABABABABAXGBAXGXSuppSKerSSXGX 的“外积”的“外积”与与称为称为的“内积”的“内积”与与称为称为其中其中或或则则令令的元素均为模糊集合，的元素均为模糊集合，且且上定义集合上定义集合在论域在论域、格贴近度、格贴近度模糊集合度量公式的一般选用方法模糊集合度量公式的一般选用方法v（1 1）选用距
45、离公式时，应考虑选用简单实用的海明）选用距离公式时，应考虑选用简单实用的海明距离公式，距离公式，v（2 2）手工计算时，应优先选用格贴近度。）手工计算时，应优先选用格贴近度。v（3 3）使用计算机时，应优先选用海明公式。）使用计算机时，应优先选用海明公式。v（4 4）当隶属函数具有多峰曲线时，可先将其切分为）当隶属函数具有多峰曲线时，可先将其切分为若干个单峰区间后再进行处理。若干个单峰区间后再进行处理。2.7.4 2.7.4 模糊模式识别模糊模式识别v一、最大隶属原则一、最大隶属原则.)()(, 2 , 1,000010002121ikmkimnAxxAxAmiUxmAAAmxxxU相对隶属于
46、相对隶属于则认为则认为，使得，使得有有一一标准模型库，若对任意标准模型库，若对任意个模型），构成了一个个模型），构成了一个（即（即个模糊子集个模糊子集上有上有设论域设论域 w1、最大隶属原则、最大隶属原则.)()(,12121kinikknnxxAxAxUxxxnAxxxU则则应应优优先先录录取取，满满足足某某个个如如果果有有个个，待待识识别别的的对对象象有有，上上有有一一个个标标准准模模型型设设论论域域 2、最大隶属原则、最大隶属原则v二、择近原则二、择近原则类类。归归并并到到最最贴贴近近，或或者者说说把把与与则则称称，使使得得在在为为待待识识别别的的模模型型，若若存存，模模型型库库，构构成
47、成一一个个标标准准上上有有个个模模糊糊子子集集设设论论域域00001002121),(),(,2 , 1,iikmkimmABABBABAmiBU AAAAAAv多个特性的择近原则多个特性的择近原则),(=),(),(=),(=31=2121iininnBABABABBBBAAAAU的贴近度定义为的贴近度定义为与与则则族，族，上有两个模糊向量集合上有两个模糊向量集合：设论域：设论域定义定义第三章第三章 模糊关系模糊关系(fuzzy relation)3.1 模糊关系的基本概念模糊关系的基本概念3.2 模糊矩阵与截矩阵模糊矩阵与截矩阵3.3 模糊关系的合成模糊关系的合成3.4 几种重要的模糊关系
48、几种重要的模糊关系3.1 3.1 模糊关系的基本概念模糊关系的基本概念.),(),(,1 , 0:13VURyxyxVURVURVURRR 关系可记作关系可记作的程度，这个模糊的程度，这个模糊具有关系具有关系表示表示的隶属函数为的隶属函数为个模糊关系，模糊关系个模糊关系，模糊关系的一的一到到为从为从的一个模糊关系的一个模糊关系称称定义定义v由于模糊关系是笛卡尔乘积集合中的模糊集合，由于模糊关系是笛卡尔乘积集合中的模糊集合，所以模糊集和运算定义和性质也完全适用于模所以模糊集和运算定义和性质也完全适用于模糊关系，即：糊关系，即：),(),(),(),(),(1),(),(),(),(),(),()
49、,(yxyxSRyxyxSRyxyxyxyxyxyxyxyxSRSRRRSRSRSRSR 相等：相等：包含：包含：补：补：交：交：并：并： yxyxyxRRVUyxRUU01),(:),(,23的的隶隶属属函函数数为为，对对任任意意糊糊关关系系上上的的模模的的“恒恒等等模模糊糊关关系系”为为定定义义集集合合定定义义0),(33 yxOOVU，其隶属函数为，其隶属函数为糊关系糊关系为模为模的“零模糊关系”定义的“零模糊关系”定义到到集合集合定义定义1),(43 yxEEVU，其隶属函数为，其隶属函数为糊关系糊关系义为模义为模的“全称模糊关系”定的“全称模糊关系”定到到集合集合定义定义该该矩矩阵阵
50、称称作作模模糊糊矩矩阵阵。，显显然然有有其其中中表表示示，即即用用矩矩阵阵可可以以关关系系都都是是有有限限论论域域时时，模模糊糊当当论论域域定定义义),1(10),(),(,53njiryxrrRRRVUijjiRijij 3.2 模糊矩阵与截矩阵模糊矩阵与截矩阵3.2.1 模糊矩阵及其运算模糊矩阵及其运算.1)(2;)(101模模糊糊自自反反矩矩阵阵为为时时，称称都都为为的的对对角角线线上上的的元元素素、当当矩矩阵阵为为布布尔尔时时，称称和和只只取取、当当说说明明：RrrRBooleRrijnnijij 身高的关系。身高的关系。来描述正常人的体重与来描述正常人的体重与）身高（身高（）：体重（
