1、第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 第第3 3节节 正方形的性质与判定（一）正方形的性质与判定（一）下图中的四边形都是特殊的平行四边形。观察这下图中的四边形都是特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形你能发现它们有什么样的共些特殊的平行四边形你能发现它们有什么样的共同特征？同特征？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。边形叫做正方形。议一议：（1 1）正方形）正方形是矩形吗？菱形是矩形吗？菱形吗吗? ?（2 2）你认为）你认为正方形具有正方形具有哪些性质哪些性质？与同伴交流。？与同伴交流。正方形既是正方形既是矩形，又是矩形
2、，又是菱形，它具有矩形和菱形菱形，它具有矩形和菱形的所有性质的所有性质. .定理定理 正方形正方形的对角线相等且互相垂直平分的对角线相等且互相垂直平分于是我们得到了正方形的两条定理：于是我们得到了正方形的两条定理：定理定理 正方形正方形的四个角都是直角，四条边都相等的四个角都是直角，四条边都相等请你完成这两个定理的证明。请你完成这两个定理的证明。想一想：想一想：正方形有几条对称轴正方形有几条对称轴解析：正方形有4条对称轴.经验层面：可通过折叠.分析层面：正方形具有矩形、菱形的所有性质，所以必然具有矩形过每组对边中点的对称轴和菱形过对角线的对称轴.解：BE=DF,且BEDF.理由如下：例例1 1
3、：如：如图，图，在正方形在正方形ABCDABCD中，中，E E为为CDCD上一点，上一点，F F为为BCBC边延长线上一点，且边延长线上一点，且CE=CF.BECE=CF.BE与与DFDF之间有怎样之间有怎样的关系？请说明理由的关系？请说明理由. .（1）四边形ABCD是正方形.BC=DC,BCE=90（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）DCF=180-BCE=180-90=90BCE=DCF又CE=CFBCEDCFBE=DF.(2)延长BE交DE于点M（如图）BCEDCFCBE=CDFDCF=90CDF+F=90CBE+F=90BMF=90BEDF.这是老师的，你的呢？平行四边形、菱形、
4、矩形、正方形之间有什么关平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流与同伴交流. .议一议议一议有一个角有一个角是直角是直角有一组邻边有一组邻边相等相等有一组邻边有一组邻边相等相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有有一组邻边相等且有一个角是直角一个角是直角各平行四边形关系再认识各平行四边形关系再认识平行四平行四边形边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平平行行四四边边形形矩矩形形菱菱形形正正方方形形对角线对角线相等相等对角线对角线垂直垂直对角线对角线相等相等对角线对角线垂直垂直对角线垂对角线垂
5、直且相等直且相等各平行四边形关系再认识各平行四边形关系再认识练习练习如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，图中有多少个等腰三角形？图中有多少个等腰三角形？图中共有8个等腰三角形.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，点中，点F F为对角线为对角线ACAC上一点，上一点，连接连接BF,DFBF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明其中一对进行证明. .图中的全等三角形共有3对， 分别是ADC与ABC, FCD与FCB, FAD与FAB.选择FADFAB证明，过程如下
6、：正方形ABCD,AD=AB,DAF=BAF,又AF=AFFADFAB.正方形正方形具有而菱形不一定具有的性质（具有而菱形不一定具有的性质（ ） A A、四边都相等、四边都相等 B B、对角线互相垂直且平分、对角线互相垂直且平分C C、对角线相等、对角线相等 DD、对角线平分一组、对角线平分一组对角对角C C正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ）A.对边平行且相等对边平行且相等 B.对角线互相垂直对角线互相垂直C.对角线相等对角线相等 D.四个角都是直角四个角都是直角B在在正方形正方形ABCD中，中，ADB= ，DAC= ，BOC= 。在在正方形正
7、方形ABCD中，中，AB=2，则，则AC= ， BD= ， OB= ， OD= 。 如如图，图，在在正方形正方形ABCD中，中，E是对角线是对角线AC上一点，上一点，且且AE=AB，则，则EBC的度数的度数是 。ABCDEFEDCBA在在正方形正方形ABCD的边的边BC的延长线上取一点的延长线上取一点E，使，使CE=AC，连结，连结AE交交CD于于F，求，求E 、 AFC的度数的度数。EABDC如如图，已知正方形图，已知正方形ABCD，以，以AB为边向正方形外作为边向正方形外作等边三角形等边三角形ABE，连结，连结DE 、 CE，求，求DEC的度数。的度数。 (2)(2)若若AC=4AC=4，
8、求正方形的，求正方形的边长和面积。边长和面积。四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,两条对角线相交于点两条对角线相交于点O O(1(1) )求求AOBAOB,OABOAB的度数。的度数。解解：（1 1）四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 ACACBDBDAOBAOB=90=900 0 BACBAC=DACDAC OABOAB=45=450 0 ABCDOEF（3）4(3)(3)正方形的面积正方形的面积64cm64cm，则对角线交点到正方形则对角线交点到正方形一边的距离一边的距离. 8222；）（ACAC为正方形为正方形ABCDABCD的对角线的对角线，E E为为ACAC上
9、一点，且上一点，且ABAB= =AEAE，EFEFACAC交交BCBC于于F F，求证：，求证：ECEC= =EFEF= =FBFBABCDEF证明：证明： 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 B=900 ACB=450 AEF=900 AB=AE ABF AFE（HL） BF=EF又又FEC=900 EFC=450 EC=EF（等角对等边）（等角对等边）BF=EF=EC如如图，四边形图，四边形ABCD是正方形，是正方形，CBE是等边三角形，是等边三角形，求求AEB的度数。的度数。如图，如图，A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上。仓库四个角上。仓
10、库P和和Q分别位于分别位于AD和和DC上，且上，且PD=QC.证明两条直路证明两条直路BP=AQ且且BPAQ.在在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）（至少说出三种） 过过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。部分。课堂小结课堂小结1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及对称性.2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系.3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分.布置作业课本 P22习题1.7 1、2、3、4题。 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
