1、2022年3月22日振动力学2实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连连续体是具有无限多自由度的系统续体是具有无限多自由度的系统连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，它是它是偏微分方程偏微分方程在物理本质上，连
2、续体系统和多自由度系统没有什么差别在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的是完全类似的2022年3月22日振动力学32022年3月22日振动力学4（1）线性弹性体，即虎克定律）线性弹性体，即虎克定律（2）材料均匀连续；各向同性）材料均匀连续；各向同性（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提 2022年3月22日振动力学5连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2022年3月22日振动力学6（1）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，
3、以张力 T0 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 建立坐标系建立坐标系xoy),(txy弦上距原点弦上距原点 x 处的横截面在处的横截面在 t 时刻的横向位移时刻的横向位移 ),(txp单位长度弦上分布的作用力单位长度弦上分布的作用力 单位长度弦的质量单位长度弦的质量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程0/aT令：令：xy并考虑到：并考虑到：222221( , )yyap x ttx弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度ayx0T0T),(txpxdx),(txyopdx22tydxdxxdx0T0T连续
4、系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程sin微振微振达朗贝尔达朗贝尔惯性力惯性力 弦的定义弦的定义: 很细长很细长振动中认为张力不变振动中认为张力不变 dxtxpTdxxTtydx),()(00222022年3月22日振动力学7（2）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩截面的极惯性矩 Jp材料密度材料密度切变模量切变模量 G),(txp：单位长度杆上分布的外力偶矩：单位长度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：),(tx为杆
5、上距离原点为杆上距离原点 x 处的截面在时刻处的截面在时刻 t 的角位移的角位移截面处的扭矩为截面处的扭矩为 M t微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxtMdxxMMtt22tdxJpdxJp：微段绕轴线的转动惯量：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程达朗贝尔达朗贝尔惯性力偶惯性力偶 2022年3月22日振动力学8微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxtMdxxMMtt22tdxJp达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：pdxMdxxMMtdxJtttp)(22材料力学：材料力学：xGJMpt),(22txpxMtJtp),()
6、(22txpxGJxtJpp圆截面杆的扭转振动强迫振动方程圆截面杆的扭转振动强迫振动方程等直杆，抗扭转刚度等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数为常数222221( , )pap x ttxJGa剪切弹性波的剪切弹性波的纵向传播速度纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2022年3月22日振动力学9（3）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 A材料密度材料密度弹性模量弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向
7、变形),(txplx0),(txp单位长度杆上分布的纵向作用力单位长度杆上分布的纵向作用力 杆参数：杆参数：连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2022年3月22日振动力学10),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移微段分析微段分析 ),(txplx0dxtxp),(dxudxxuu22xuAdxdxxNNN微段应变：微段应变： xudxudxxuu)(横截面上内力：横截面上内力：xuEAEAN达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： dxtxpNdxxNNtuAdx),()(22连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方
8、程xdx达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 2022年3月22日振动力学11),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在处截面在时刻时刻 t 的纵向位移的纵向位移横截面上的内力：横截面上的内力：xuEAEAN达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： dxtxpNdxxNNtuAdx),()(22),()(22txpxuEAxtuA杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 等直杆等直杆EA 为常数为常数 222221( , )uuap x ttxA/aE弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程),(txplx0 xdx2022年3月22日振
9、动力学12小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 222221( , )uuap x ttxA（2）弦的横向振动）弦的横向振动222221( , )yyap x ttx虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动222221( , )pap x ttxJ连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程2022年3月22日振动力学136.2 杆的纵向固有振动杆的纵向固有振动以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方
10、程：222221( , )uuap x ttxA纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：22222uuatx/aE假设杆的各点作同步运动：假设杆的各点作同步运动：)()(),(tTxUtxuT(t) 表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 )(xU杆上距原点杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅 )()()()(2xUxUatTtT ),(txplx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2022年3月22日振动力学14记：记：2 0)()()(0)()(22xUaxUtTtT )sin()(tbtTaxBaxBxUcossin)(21通解：通解：（
11、确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态 ）,21BB由杆的边界条件确定由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值，表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 i（下面讲述）（下面讲述）连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动（杆的边界条件确定（杆的边界条件确定固有频率固有频率） )()()()(2xUxUatTtT 2022年3月22日振动力学15第第 i 阶主振动：阶主振动：)sin()(
12、tbtTaxBaxBxUcossin)(2122222xuatu)()(),(tTxUtxui)(xUi一一对应一一对应)2 , 1(),sin()(),()(itxbtxuiiiiiU U系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin(),(iiiiitUbtxu连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2022年3月22日振动力学16几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件： 0)()0(), 0(tTUtu0)()(),(tTlUtlu不能恒为零不能恒
13、为零 )(tT0)0(U0)(lU代入模态函数代入模态函数 02B0sinal频率方程频率方程无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：), 2 , 1 , 0(,ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数 ：( )siniii xU xBl), 2 , 1 , 0(ilx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动axBaxBxUcossin)(212022年3月22日振动力学17（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界
14、条件边界条件 ：0), 0(xtuEA0),(xtluEA)()(),(tTxUtxu0)0( U0)( lUlxiBxUiicos)(零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移axBaxBxUcossin)(21频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同), 2 , 1 , 0(i固有频率：固有频率：), 2 , 1 , 0(,ilaii模态函数：模态函数：01Bsin0laalx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程2022年3月22日振动力学18（3）一端固定，一端自由）一端
15、固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0),(xtluEA0)0(U0)( lU0cosal02B固有频率：固有频率：0), 0(tu模态函数：模态函数：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixliBxUiilx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixliBxUii频率方程频率方程)()(),(tTxUtxuaxBaxBxUcossin)(212022年3月22日振动力学19主振型
16、的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度即质量密度及截面积及截面积 A 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程 ：),()(22txpxuEAxtuA自由振动：自由振动：)(22xuEAxtuA主振动主振动 ：)sin()(),(tbxUtxuAUUEA2)(代入，得代入，得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2022年3月22日振动力学20乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 杆的简单边界杆的简单边界 ：固
17、定端固定端0)(xUx = 0 或或 l 0)( xUEA自由端自由端x = 0 或或 l 设：设：)(xUii)(xUjj代入：代入：iiiAUUEA2)()(xUjlljiiijdxUAUdxUEAU002)(利用分部积分：利用分部积分： dxUUEAUEAUdxUEAUjllilijij000)()(0U0U杆的任一端上总有杆的任一端上总有或者或者成立成立 ljiiljidxUAUdxUUEA020连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动AUUEA2)(jjjAUUEA2)(2022年3月22日振动力学21乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分： 乘乘 并沿杆长对并
18、沿杆长对 x 积分：积分： )(xUi同理同理)(xUj相减：相减：0)(022ljijidxUAUjiji 时时杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 00ljidxUAU)(ji lijljidxUEAUdxUUEA000)()(ji 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动iiiAUUEA2)(jjjAUUEA2)(lljiiijdxUAUdxUEAU002)(lljijjidxUAUdxUEAU002)(ljiiljidxUAUdxUUEA020ljijljidxUAUdxUUEA0202022年3月
19、22日振动力学22关于质量的正交性关于质量的正交性 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当ji 时时 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 200()()lliiipiEA UdxUEAUdxk 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 pipiimk/2 第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化： 102pilimdxAU正则振型正则振型 2ipik 则第则第 i 阶主刚度：阶主刚度：ijljidxUAU0ijijlidxUUEA20ijiljidxUEAU20)(合写为：合写为： jijiij01连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动00ljidxUAU)(
20、ji lijljidxUEAUdxUUEA000)()(ji pilimdxAU022022年3月22日振动力学236.3 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 ),()(22txpxuEAxtuA强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2, 1 i（iU已经得出已经得出令：令：)()(),(1txUtxuiii)(ti正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：),()(11txpUEAUAiiiii 两边乘两边乘jU并沿杆长对并沿杆长对 x 积分积分 ： ljilijiljiiidx
21、UtxpdxUEAUdxUAU01001),()( 利用正交性条件：利用正交性条件：)(2tqjjjj ljjdxUtxptq0),()(第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动j jj22022年3月22日振动力学24求得求得 后后),()(22txpxuEAxtuA)()0 ,(1xfxu)(|20 xftutljjdxUtxptq0),()(模态初始条件的求解模态初始条件的求解12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiixUxftuxUxfxu乘乘)(xAUj并沿杆长对并沿杆长对 x 积分，由正交性条件，
22、知有：积分，由正交性条件，知有： ljjljjdxxUxAfdxxUxAf0201)()()0()()()0(ljjjjjjjjjdttqttt0)(sin)(1sin)0(cos)0()()(tj可得可得),(txu连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动)()(),(1txUtxuiii)(2tqjjjj 2022年3月22日振动力学25),()(22txpxuEAxtuA)()0 ,(1xfxu)(|20 xftut如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：)()(),( xtPtxp正则坐标的
23、广义力：正则坐标的广义力： ljjdxxUxtPtq0)()()()(前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力lx0)(tP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动)()(jUtPljjdxUtxptq0),()()()(),(1txUtxuiii)(2tqjjjj 2022年3月22日振动力学26例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有： tPtPsin)(0 为常数为常数0P求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 lx0)(tP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动2022年3月22日振动力学27解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边
24、界条件：边界条件：固有频率：固有频率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)(ilxiBxUii模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入归一化条件： 102dxAUli12)2sin(220iliBAldxlxiBAAlBi2), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0itiPBtqii)()()(iiUtPtq模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程 ：tiPBttiiiisin2sin)()(02 正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应 ：tiPBtiiisin2sin1)(022杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动 ：)()(),(5,
25、3, 1txUtxuiii当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 lx0)(tP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动lxiiAltPii2sin2sin1sin23, 12202022年3月22日振动力学286.5 6.5 梁的横向固有振动梁的横向固有振动动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切
26、变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） p(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量A 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯
27、曲振动2022年3月22日振动力学29动力学方程动力学方程),(txp),(txmyx0p(x,t): 单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t): 距原点距原点 x 处的截面在处的截面在 t 时刻时刻 的横向位移的横向位移 ),(txyxdxdxtxp),(dx22tyAdxdxxMMdxxQQMQdxtxm),(:,MQ截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力 :22tyAdx:),(dxtxp微段所受的外力微段所受的外力 :),(dxtxm微段所受的外力
28、矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学30力平衡方程力平衡方程 ：0),()(22dxtxpQdxxQQtyAdx22),(tyAtxpxQ即即 ：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： 0),(22),()22dxtxmdxtyAdxdxdxtxpQdxMdxxMM（略去高阶小量：略去高阶小量：),(txmxMQ材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：22),(),(xtxyEJtxM),(),(),(),(222222txmxtxpttxyAxtxyEJ
29、x变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动dxtxp),(dx22tyAdxdxxMMdxxQQMQdxtxm),(2022年3月22日振动力学31变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：),(),(2244txmxtxptyAxyEJ连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动),(),(),(),(222222txmxtxpttxyAxtxyEJx2022年3月22日振动力学32固有频率和模态函数固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：讨论梁的自
30、由振动讨论梁的自由振动 0),(),(222222ttxyAxtxyEJx自由振动方程：自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： )sin()()()(),(tbxYtxYtxy代入自由振动方程：代入自由振动方程：0)(2 AYYEJ对于等截面梁：对于等截面梁：0)()(4)4(xYxY224aAEJa2xCxCxCxCxYsinhcoshsincos)(4321通解：通解：)41( iCi和和应满足的频率方程由梁的边界条件确定应满足的频率方程由梁的边界条件确定 连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动),(),
31、(),(),(222222txmxtxpttxyAxtxyEJx2022年3月22日振动力学33和和 由系统的初始条件确定由系统的初始条件确定 等截面梁的自由振动方程：等截面梁的自由振动方程： 梁的主振动：梁的主振动： 0)()(4)4(xYxYxCxCxCxCxYsinhcoshsincos)(4321通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶主振动：阶主振动： )(xYii无穷多个无穷多个)sin()(),()(iiiiitxYbtxyibi系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin()(),(iiiiitxYbtxy连续系统的振动连续系统的
32、振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动0),(),(222222ttxyAxtxyEJx)sin()()()(),(tbxYtxYtxy2022年3月22日振动力学34常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 0),(xtxy0)(xY0)( xYlx 0 或（1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零0),(txy（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零0),(22xtxyEJM0),(txy0)( xY0)(xYlx 0 或（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零0),(22xtxyEJM0 xMQ0)( xY0)( xYlx 0 或)()(),(txYtx
33、y连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学35例：例：求悬臂梁的固有频率和模态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数x0y解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件0)0(Y0)0(Y固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)( lY0)( lYxCxCxCxCxYsinhcoshsincos)(4321得：得：4231,CCCC 以及：以及： 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossi
34、nhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解条件：非零解条件：224aAEJa2连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学360coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll简化后，得：简化后，得：01coshcos ll频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：), 2 , 1(,)(42iAlEJlii对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中
35、：), 2, 1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxYiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动224aAEJa22022年3月22日振动力学37铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学38例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端
36、圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰0)0(Y0)0( Y固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零0)(lY0)( lY得：得：031 CC以及：以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClClCyx004 C0sin l频率方程：频率方程：), 2, 1(, iili固有频率：固有频率：), 2, 1(,)(2iAEJlii连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动xCxCxCxCxYsinhcoshsincos)(4321224aAEJa22022年3月22日振动力学390sin l频率方程
37、：频率方程：固有频率：固有频率：), 2, 1(,)(2iAEJlii0431 CCC模态函数：模态函数：), 2 , 1(,sin)(ixliCxYii), 2, 1(, iilixCxCxCxCxYsinhcoshsincos)(4321第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置yx0无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学40例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导
38、弹飞行yx0系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学41yx0频率方程：频率方程：1coshcos ll模态函数：模态函数：其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxYiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii当当 i=1,2,3时时解得：解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i当当 时时), 4 , 3
39、(,)21( iili自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)0( Y0)0( Y0 i当当 时时00 l对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动0)( lY0)( lY224aAEJa2xCxCxCxCxYsinhcoshsincos)(43212022年3月22日振动力学42第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学43分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考
40、虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍以上）倍以上）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学446.6 梁的横向强迫振动梁的横向强迫振动0),(),(2244ttxyAxtxyEJ梁若为等截面，则：梁若为等截面，则： 0),(),(222222ttxyAxtxyEJx变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程：主振动：主振
41、动： )sin()()()(),(tbxYtxYtxy代入，得：代入，得：0)(2 AYYEI设：设：)(xYii)(xYjj jjjiiiAYYEIAYYEI22)()(有：有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动1 主振型的正交性主振型的正交性2022年3月22日振动力学45 lljijjidxYAYdxYYEJ002(2)式两边乘式两边乘 (1)式两边乘式两边乘 jY并沿梁长对并沿梁长对 x 积分：积分：利用分部积分利用分部积分 ： lljilijlijijdxYYEJYEJYYEJYdxYEJY0000)()()(在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯
42、矩中的一在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零个同时为零 lljiijidxYAYdxYYEJ002 ljiilijdxYAYdxYEJY020)(3)代入（代入（3）式，有）式，有 ：iY并沿梁长积分可得：并沿梁长积分可得：同理，同理，ljijidxYAY0220)(相减得相减得 ：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动 jjjiiiAYYEIAYYEI22)()( lljiijdxYYEJdxYEJY00)(2)(1)2022年3月22日振动力学46jidxYAYlji, 00ji ji如果如果时，时，则有：则有：主振型关于质量的正交性主振
43、型关于质量的正交性 由（由（4）、（）、（5）式，得）式，得 ：主振型关于刚度的正交性主振型关于刚度的正交性 ljijidxYAY0220)(jidxYYEJdxYEJYlljiij ,0)(00如果如果 i = jlpjjmdxAY02第第 j 阶主质量阶主质量 pjlljjjkdxYEJdxYEJY 002)()(第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率pjpjjmk/ 主振型中的常数按下列归一化条件确定主振型中的常数按下列归一化条件确定 ：102pjljmdxAY正则振型正则振型 lijjidxYAY0200)(jijlljiijdxYYEJdxYEJY 正则振型的正交
44、性：正则振型的正交性：2022年3月22日振动力学47两边乘两边乘 2、梁横向振动的强迫响应、梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程梁的横向强迫振动方程 ：),(),()(222222txmxtxPtyAxyEJx1)()(),(iiitxYtxy令令 ： 11),(),()(iiiiiitxmxtxPYAYEJ 代入代入 ：jY并沿梁长对并沿梁长对 x 积分：积分： ljililjiiijidxYtxmxtxPdxYAYdxYEJY01010),(),()( 由正交性条件，得：由正交性条件，得：)(2tqjjji 第第 j 个正则坐标方程个正则坐标方程 ljjdxxYtxmxtxptq0)
45、(),(),()(第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 由分部积分由分部积分 ：dxYtxmYtxptqljjj0),(),()(连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学48得到得到 后，即可得到梁的响应后，即可得到梁的响应梁初始条件的处理梁初始条件的处理)()0 ,(1xfxy)(20 xftyt假定梁的初始条件为：假定梁的初始条件为： 1)()(),(iiitxYtxy代入：代入：11)0()()()0 ,(iiixYxfxy两式乘两式乘)(xAYj并沿梁长积分，由正交性条件可得：并沿梁长积分，由正交性条件可得： ljjdxxYxAf
46、01)()()0(tjjjjjjjjjdtqttt0)(sin)(1sin)0(cos)0()(120)0()()(iiitxYxftyljjdxxYxAf02)()()0(第第 j 个正则坐标方程：个正则坐标方程： 第第 j 个正则模态响应：个正则模态响应： )(tj),(txy连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动)(2tqjjji 2022年3月22日振动力学49如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用利用)(t函数，可以表示为函数，可以表示为: )()(),()()(),(2010 xtMtx
47、mxtptxpdxxYxtMxYxtptqljjj02010)()()()()()()()()()()(2010jjYtMYtpdxYtxmYtxptqljjj),(),()(0有：有：tfdtttf0)()()()(0tp12x0)(0tM连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学50中点受常力中点受常力 P 作用产生静变形作用产生静变形例：简支梁例：简支梁求：当求：当 P 突然移出时梁的响应突然移出时梁的响应yx2/l2/l0P解：解：由材力得初始条件由材力得初始条件: lxllxlxxlylxlxlxyxfxystst2 ,)(4)(320 ,
48、)(4)(3)()0 ,(331EIPlyst483 梁中点的静挠度梁中点的静挠度0)(20 xftyt连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学51梁两端简支梁两端简支 固有频率：固有频率：422SlEIiilxiCYiisin振型函数：振型函数：, 3 , 2 , 1i代入归一化条件：代入归一化条件： liiCAldxlxiCA02212)sin(AlCi2EIiAPldxlxiClxllxlAydxlxiClxlxAyllistlisti444232033 sin)(4)( 3sin)(4)( 3)0(0)0(i模态初始条件：模态初始条件：,
49、5 , 3 , 1iyx2/l2/l0PljjdxxYxAf01)()()0(ljjdxxYxAf02)()()0(连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学52模态初始条件：模态初始条件：21444232033) 1( sin)(4)(3sin)(4)(3)0(iillistlistiCEIiAPldxlxiClxllxlAydxlxiClxlxAy没有激振力，正则广义力为零没有激振力，正则广义力为零正则广义力正则广义力ttiiicos)0()(模态响应：模态响应：15, 3, 142143cossin) 1(2)()(),(iiiiiitlxii
50、EJPltxYtxy因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动dxYtxmYtxptqljjj),(),()(00)0(i, 5 , 3 , 1i2022年3月22日振动力学53例：简支梁例：简支梁求：梁的稳态响求：梁的稳态响应应中点受力矩中点受力矩 作用作用tMsin0yx2/l2/l0tMsin0连续系统的振动连续系统的振动 / 梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022年3月22日振动力学54解：解：由上例知：由上例知： 固有频率：固有频率：422SlEIiilxiCYiisin振型函数：振型函数：AlCi2tiliCMtqiisin2cos)(0正则广义力：正则广
