1、第三讲第三讲 质点运动学质点运动学本讲导读本讲导读 质点、参照系、坐标系、质点位矢质点、参照系、坐标系、质点位矢 运动学方程、轨道运动学方程、轨道 位移、速度、加速度位移、速度、加速度 自然坐标系，切向、法向加速度自然坐标系，切向、法向加速度 相对运动相对运动, 绝对绝对(加加)速度、相对速度、相对(加加)速速度、牵连度、牵连(加加)速度速度.1 1 质点质点具有一定质量的几何点具有一定质量的几何点自由质点自由质点：可以在空间自由移动的质点可以在空间自由移动的质点. . 确确定它在空间的位置需要三个独立变量定它在空间的位置需要三个独立变量. .2 2 参考系参考系 坐标系坐标系参考系：为描述物
2、体的运动而选取的参考物体参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体用以标定物体的空间位置而设置的用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统坐标系统坐标系：坐标系：一、质点运动的描述一、质点运动的描述位置矢量（位矢）位置矢量（位矢）从坐标原点从坐标原点o o出发，指向质出发，指向质点所在位置点所在位置P P的一有向线段的一有向线段rzryrXcoscoscosrxyP(x,y)位矢用坐标值表示为位矢用坐标值表示为：r =xi+yj运动方程运动方程参数形式参数形式x=x(t)y=y(t)3 3 位置矢量与运动方程位置矢量与运动方程自然坐标法自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定以点的轨迹作
3、为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫动点的位置的方法叫自然坐标法自然坐标法。 一、弧坐标一、弧坐标, ,自然轴系自然轴系1. .弧坐标的运动方程弧坐标的运动方程S=f (t)自然坐标法自然坐标法2. .自然轴系自然轴系设质点作曲线运动设质点作曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢rAt+ t时刻位于时刻位于B点，位矢点，位矢rBArBr 在在 t时间内，位矢的变化量（即时间内，位矢的变化量（即A到到B的有向线段）称为的有向线段）称为位移。位移。zyxorABrBArr = rB - rA =AB4 4 位移位移速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量速度是反映质点运动的快慢和方
4、向的物理量单位时间内质点所发生的位移单位时间内质点所发生的位移(2) (2) 瞬时速度瞬时速度速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。(1)(1)平均速度平均速度V=V= r r t t(m/s)(m/s)rABrBArV=V=drdrdtdt5 5 速度速度(3) (3) 速率速率V= =d dsd dt(4) (4) 直角坐标表示法直角坐标表示法jvivvyx+ + (5) (5) 自然坐标表示法自然坐标表示法dsdsdtdtv t t沿切线方向沿切线方向加速度是反映速度变化的物理量加速度是反映速度变化的物理量xoyv1v2v1v2va=a= v v
5、 t t(m/s(m/s2 2) )a=a=dvdvdtdt6 6 加速度加速度表示法表示法vanr2ttvadd(1) (1) 直角坐标表示法直角坐标表示法jaiaayx+ + (2) (2) 自然坐标表示法自然坐标表示法anaat tn+ + 例题例题1已知质点的运动方程已知质点的运动方程t=2t=2秒时质点的位置、速度以及加速度秒时质点的位置、速度以及加速度()jtir22192t-+2219,2tytx-dtjtirdv42 -()m/s822jivt-()jijirt11422192222+-+jdtvda4-方向沿方向沿y轴的负方向轴的负方向vyvx22-8-8例题2一质点沿半径为
6、一质点沿半径为R的圆周运动，其路程的圆周运动，其路程s随时间随时间t的变的变化规律为化规律为 S=bt-1/2ct2，式中，式中b，c为大于零的常数，且为大于零的常数，且b2Rc。求质点的切向加速度和法向加速度。求质点的切向加速度和法向加速度。ctbdtdsv-cdtdva-tRctbRvan22)( -例例题题3. 在半径在半径R为为10cm的铁圈上套一小环的铁圈上套一小环M,有有杆杆OA穿过环穿过环M并绕铁圈上一点并绕铁圈上一点O转动转动,其角速度相其角速度相当于当于 5s内转一直角内转一直角. 求小环速度求小环速度v和加速度和加速度a的大的大小小.OAMROAMRD s = 2R 21
7、. 0svsa tr2van22/4 .0scma 过过O点作水平线与园环交点作水平线与园环交于于D并取为自然坐标的原点并取为自然坐标的原点.解解:(1)自然坐标法自然坐标法scm /221.0R2 R20Rs2()222/4 . 0102scmsOAMR(2)直角直角坐坐标标法法Dxy取坐标如图取坐标如图.x = Rcos2 y = Rsin2 1 . 0-2sin2Rx2cos2RyscmRyxv/21 . 02222+-2cos42sin22 RRx-2sin42 Ry22222/4 . 04scmRyxa+ -2cos42R刚体运动刚体运动一、刚体运动一、刚体运动形状和大小都不变的物体
8、形状和大小都不变的物体任意两质点之间的距离保持不变的质点系任意两质点之间的距离保持不变的质点系刚体：刚体：平动平动: 刚体在运动过程中刚体在运动过程中, 其上任意两点的连线始终其上任意两点的连线始终保持平行保持平行. 可以用一个质点可以用一个质点的运动来描述刚体的平动的运动来描述刚体的平动.刚体的平动刚体的平动ABABB”A”转动转动: 刚体上所有质点都绕同一刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动直线作圆周运动. 这条直线称为这条直线称为转轴转轴.转轴固定不动的转动转轴固定不动的转动.转轴上的质点不动转轴上的质点不动. 只需一个量描述刚体绕该只需一个量描述刚体绕该轴转动的角度轴转动的角度, 就确
9、定了刚体的位置就确定了刚体的位置(一个变量一个变量). 刚体不受任何约束，可以在空间任意运刚体不受任何约束，可以在空间任意运动动. 可分解为质心的平动与绕通过质心的某可分解为质心的平动与绕通过质心的某轴轴线线的的定定轴轴转转动动角位移角位移:角速度大小：角速度大小：由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定. P点线速度与角速度的关系：点线速度与角速度的关系：角坐标角坐标:ddtdww角速度角速度 的方向：的方向：ww vPzkdtdrrwrvwPxzrvwP点线加速度与角量的关系：点线加速度与角量的关系：对于定轴转动对于定轴转动刚体各质元的角量相同刚体各质元的角量相同, 线量一般不同线量一般不同.
10、w vPz2wtrarandtdw(定轴定轴)kdtdkdtdrr22w rdtddtvdarrrrw)(rrrrwrarrtvan例如例如: 半径为半径为R的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知轮心的速度轮心的速度V V0 0，试求圆轮的角速度，试求圆轮的角速度及角加速度及角加速度 POOO= S=R PORS=R V0=RS=R a0=R 定轴转动例题定轴转动例题1直径直径d=32cm的飞轮以匀转速的飞轮以匀转速n=1500r/min转动。转动。求轮缘上一点的速度和加速度。求轮缘上一点的速度和加速度。解：轮缘上任上点解：轮缘上任上点M的速度大小为的速度大小为rvw2d
11、30n8m/sv沿轮缘上沿轮缘上M点的切线，点的切线，其指向与轮子的转向相对应其指向与轮子的转向相对应又由题知又由题知 =0=0，故，故a a=0=0，则，则M M点的加速度大小为点的加速度大小为2wrana=a沿过沿过M点的半径而指向轴心点的半径而指向轴心2d230n（）4002m/s2例例题题2. 图示为卷筒提取重图示为卷筒提取重物装置物装置 , 卷筒卷筒 O 的半径的半径r=0.2m,B为定滑轮为定滑轮.卷筒卷筒在制动阶段在制动阶段,转动方向如图转动方向如图示示,其转动方程为其转动方程为 = 3t t 2.式中式中 以以 rad度计度计, t以以s计计. 求求t=1s时卷筒边缘上时卷筒边
12、缘上任一点任一点M的速度和加速度的速度和加速度,以及重物以及重物A的速度和加速的速度和加速度度.不计钢丝绳的伸长不计钢丝绳的伸长.OrBMAw wvAOrBMAw wvA解解:取卷筒为研究对象取卷筒为研究对象.wdtd= 3 - 2 t2-wdtd当当t =1s时时, w w =1rad/s = -2 rad/s2vM = rw w aMt t= r aMn = rw w2 ()()22222/447. 02 . 04 . 0smaaaMnMM+-+tvMaMt taMnaM = 0.21= 0.2 m/s=0.2(-2)=-0.4 m/s2= 0.212= 0.2 m/s2OrBMAw wv
13、AvMaMt taMnaM 取重物取重物A为研究为研究对对象象. 选取重物选取重物A的坐标的坐标x,取取 =0时时A的位置为的位置为x轴轴的原点的原点,卷筒作逆时针转卷筒作逆时针转动时动时A的运动方向为的运动方向为x轴轴的正向的正向.xOxAaAsA = xAvM = vA = 0.2m/saMt t = aA = - 0.4m/s2 81 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 82 点的速度合成定理点的速度合成定理 83 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 84 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 习题课习题课第八章第八章
14、点的合成运动点的合成运动点的合成运动的概念点的合成运动的概念1. 问题的提出问题的提出OABMw w例例10-1.一水平放置的园板绕一水平放置的园板绕过中心过中心 O的铅直轴以角速度的铅直轴以角速度w w旋转旋转,在园板上有一光滑直在园板上有一光滑直槽槽AB,槽内放一小球槽内放一小球 M.若以若以园板为参考系园板为参考系,小球小球M将如何将如何运动运动? 若以地面为参考系若以地面为参考系,小小球球M将如何运动将如何运动?8-18-1点的合成运动的概念点的合成运动的概念 一坐标系：一坐标系：1.静坐标系静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。简
15、称静系。2.动坐标系动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。机的运动等，坐在行驶的火车内看下
16、雨的雨点是向后斜落的等。为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。来介绍有关的概念。三三种运动及三种速度与三种加速度。三三种运动及三种速度与三种加速度。绝对运动绝对运动：动点对静系的运动。：动点对静系的运动。相对运动相对运动：动点对动系的运动。：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。例如：人在行驶的
17、汽车里走动。牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。 绝对运动中绝对运动中,动点的速度与加速度称为动点的速度与加速度称为绝对速度绝对速度 与与绝对加速度绝对加速度 相对运动中相对运动中,动点的速度和加速度称为动点的速度和加速度称为相对速度相对速度 与与相对加速度相对加速度 牵连运动中牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连点的速度和加速度称为牵连速度牵连速度与与牵连加速度牵连加速度aaevearvraav牵连点牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也
18、就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。该点叫牵连点。点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动二动点：所研究的点（运动着的点）。二动点：所研究的点（运动着的点）。下面举例说明以上各概念：下面举例说明以上各概念： 四动点的选择原则：四动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。 五动系的选择原则五动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上相对运动相对运动：牵连运动牵连
19、运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动绝对运动： 直线evrvav绝对速度绝对速度 ：相对速度相对速度 ：牵连速度牵连速度 ：绝对加速度：绝对加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：aaeara动点：动点：A（在圆盘上（在圆盘上)动系：动系：OA摆杆摆杆静系：机架静系：机架绝对运动：曲线（圆周）绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线相对运动：直线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动动点：动点：A1（在（在OA1 摆杆上摆杆上)动系：圆盘动系：圆盘静系：机架静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线相对运动：曲线牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴转动 若动点若动
20、点A在偏心轮上时在偏心轮上时动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动注注 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。例题曲柄导杆机构的运动由滑块 A带动,已知OA= r且转动的角速度为w.试分析滑块 A的运动.wOABCD 说明：va动点的绝对速度；vr动点的相对速度；ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相
21、对速度的即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv+点的速度合成定理点的速度合成定理:由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为： 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。 根据速度合成定理作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。, reavvv+动点、动系和静系的选择原则动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动 动点相
22、对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。二解题步骤二解题步骤1. 选择动点、动系、静系。选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析作速度分析, 画出速度平行四边形画出速度平行四边形,在坐标轴上投影在坐标轴上投影, 求出有关未知量求出有关未知量 (速度速度,角速度）。角速度）。4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，在坐标轴上投影作加速度分析，画出加速度矢量图，在坐标轴上投影, 求出有关的加速度、角加速度未知量。求出有关的加速度、角加速度未知量。点的速度合成定理是瞬时
23、矢量式，共包括大小方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二应用举例二应用举例例题1. 曲柄导杆机构如图所示.已知OA=r,曲杆BCD的速度vD的大小为v. 求该瞬时杆 OA转动的角速度w. wOABCDvD wOABCDvD 解:取滑块A为动点.xyxyva= ve + vrvavevr建立静系Oxy和动系BxyA的绝对运动以O为园心r为半径的园运动.A的相对运动沿 y 轴的直线运动.动系的牵连运动沿x轴的直线平动.va = rwve = vD= v解得:wsinsinrvvva例例2 桥式吊车 已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度
24、。作出速度平四边形作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为222 + + + + vvvvvvreaA2平平vv-1tg解解：选取动点动点: 物块A动系动系: 小车静系静系: 地面相对运动: 直线;相对速度vr =v 方向牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向绝对运动: 曲线;绝对速度va 的大小,方向待求由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv+解解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。绝对速度va = r w 方向 OA相对速度vr = ? 方向/O1B牵连速度ve = ? 方向O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrA
25、OvAOvlrrvvlrreeae+wwwww又（ ）例例2 曲柄摆杆机构已知已知：OA= r , w, OO1=l图示瞬时OAOO1 求求：摆杆O1B角速度w1由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。由速度合成定理 va= vr+ ve ，作出速度平行四边形 如图示。解：解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向/AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OAw=2ew, 方向 OA)(332 332300wwevetgvvABea例例3 圆盘凸轮机构已知：已知：OCe , , w（匀角速度）图
26、示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：求：从动杆AB的速度。eR3例题4. 半径为r偏心距为e的凸轮,以匀角速度w绕O轴转动,AB杆长l , A端置于凸轮上, B端用铰链支承.在图示瞬时AB杆处于水平位置. 试求该瞬时AB杆的角速度wAB .BAreOClw ww wABBAreOClw ww wAB解解:取取AB杆的杆的A点为动点点为动点.建立静系Oxy和 动系OxyA的绝对运动以B为中心 l 为半径的园运动.A的相对运动沿凸轮O边缘的曲线运动.牵连运动动系随凸轮O且角速度为w的定轴转动.牵连点凸轮O上被AB杆的A端盖住的A点且随凸轮 O作角速度为w的定轴转动.va= ve + v
27、rva = l wAB xyxyvavevr(A )ve = rwsin解得:wwleABreaaaa+ 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。与相对加速度的矢量和。naaa+t nrrneenaaaaaaaa+ttt一般式可写为：一般式可写为：8-38-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理解解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。例例1 已知：凸轮半径 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。ooavR,
28、绝对速度va = ? , 方向AB ；绝对加速度aa=?, 方向AB，待求。相对速度vr = ? , 方向CA; 相对加速度art =? 方向CA , 方向沿CA指向C牵连速度ve=v0 , 方向 ; 牵连加速度 ae=a0 , 方向由速度合成定理,reavvv+做出速度平行四边形,如图示。003260sinsinvvvvoerRvarnr/2因牵连运动为平动牵连运动为平动，故有nreaaaaar+tRvRvRvarnr34/)32(/ 20202其中作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得nreaaaa-cossin60sin/ )3460cos(sin/ )cos(200Rvaaaan
29、rea-整理得)38(33200RvaaaaAB-注加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影，与 静平衡方程的投影关系 不同n例题2. 具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来使滑道 BC获得间歇的往复运动.已知曲柄以匀角速度w =10 rad/s 绕O轴转动, OA=10cm ,园弧道的半径 r = 7.5cm. 当曲柄转到图示位置sin = 0.6 时,求滑道BC的速度和加速度.OABCr wOABCr w解:取滑块A为动点. 建立静系Oxy和动系Cxy A的绝对运动以O为中心OA为半径的园运动.A的相对运动沿弧形滑道的曲线运动.牵连运动动系沿 x 轴的直线平动.va= ve + vr (1)xy
30、x y vavevrDrsin = OAsinva =OA wve = vBC把(1)式向AD方向投影得:va cos90o-(+) = ve cos(90o-)ve = vBC = 1.6 m/svr = 2.2 m/sOABCr w取滑块A为动点.aanaeart arnaa = ae+ ar (2)aa = aan+ aataat=0aan=OAw2=10m/s2ae = aBC把(2)式向AD方向投影得: ar = arn+ art taancos180o-(+)=aecos+arnae = aBC = -123.5 m/s222/5 .64smrvarrnD已知已知: OAl , =
31、 45o 时，w, ; 求求：小车的速度与加速度解解： 动点：动点：OA杆上杆上 A点点; 动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动， 牵连运动：平动；牵连运动：平动；)( OAlva方向w)( ),( 2OAOlaOAlanaa指向沿方向wt铅直方向 ? ?rrav., ? ?待求量水平方向eeav例例3 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构请看动画请看动画小车的速度小车的速度：evv 根据速度合成定理根据速度合成定理 做出速度平行四边形做出速度平行四边形, 如图示如图示reavvv
32、+)(coscos wwllvvae2245投至x轴：enaaaaa-tsincos45452sincoswllae- - ，方向如图示l )(222w-小车的加速度小车的加速度：eaa 根据牵连平动的加速度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理renaaaaaa+t做出速度矢量图如图示做出速度矢量图如图示。 91 刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述 92 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程 93 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度 94 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 加速度瞬心的概念加速度瞬心的概念 习题课习题课第九章
33、第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式9-1 刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述一平面运动的定义一平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动具有这种特点的运动称为刚体的平面运动例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线运动点作直线
34、运动，因此，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动9-2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程ABAB AB”平面运动方程平面运动方程)(1tfxA)(2tfyA)(3tf对于每一瞬时对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的，都可以求出对应的 ， 图形图形S在该瞬时的位置也就确定了。在该瞬时的位置也就确定了。,AAyx例如车轮的运动例如车轮的运动 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动相对
35、静系的平动 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 我们称动系上的原点为基点基点，于是车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A的平动的平动绕基点绕基点A的转动的转动刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动分解为随基点的平动和绕基点的转动和绕基点的转动平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关关，而绕基点转动的规律与基点选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,w都是相同的）基点的选取是任意的基点的选取是任意的。(通常选取
36、运动情况已知的点作为基点)9-3平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度根据速度合成定理,reavvv+则点速度为：BAABvvv+ 一基点法（合成法）一基点法（合成法）取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成, ABAB方向大小w ,vv ;vv ;vvBArAeBa已知：图形S内一点A的速度，图形角速度w求：指向与w 转向一致取A为基点, 将动系固结于A点,动系作平动。AvBv 由于A, B点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系由于恒有 ，因此将上式在AB上投影，有BAABvvv+ABvBA ABAABBvv速度投影定理速度投影定理即 平面图形上
37、任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等等这种求解速度的方法称为 速度投影法速度投影法即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和基点转动的速度的矢量和这种求解速度的方法称为基点法基点法，也称为合成法合成法它是求解平面图形内一点速度的基本方法二速度投影法二速度投影法 三瞬时速度中心法（速度瞬心法）三瞬时速度中心法（速度瞬心法） 1. 问题的提出问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？
38、如果存在的话，该点如何确定？所以反向恰与方向 . , , AAPAvPAvAPvw0Pv 速度瞬心的概念速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 , 图形角速度w，沿 方向取半直线AL, 然后顺w 的转向转90o至AL的位置,在AL上取长度 则：w/AvAPAvAvPAAPvvv+ 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法已知图形上一点的速度 和图形角速度w， 可以确定速度瞬心的位置（P点）且在
39、顺w转向绕A点 转90的方向一侧, , AAvAPvAPwAvAv 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心 ABvvvvaBABA-w , )(同向与ABvvvvbBABA+w , )(反向与 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且BAvv ,ABvABvBA ,(b)(a) 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心.BAvv ,BAvv 不平行BAvv ,另：对种(a)的情况，若vAvB， 则是瞬时平动 已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直 此时, 图
40、形的瞬心在无穷远处,图形的角速度w =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动瞬时平动. (此时各点的加速度不相等) 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动此时连杆BC的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等设匀w，则)(2wABaanBB而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同cacBaa 0BCw. 速度瞬心法速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法. 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度方向AP，指向与w 一致
41、。 w APvA. 注意的问题注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的。不同于刚体作平动。解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。, wlvAwwwwwwwllABvllvvllvvBAABABAAB/45tgtg)(245cos/ cos/（）例例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀w 转动。 求：当 =45时, 滑块B的速度及AB杆的角速度根据,BAABvvv+在点做 速度平行四边形，如图示。)(2/,wwwwwwlBPvllAPvlAPlvABBAABA（）试比较上述三种方法的特点。 ABAABBvv根据速度投影定理cosBAvv )(245cos/ cos/wwllvvAB不能求出ABw 速度投影法 研究AB, ,方向OA, 方向沿BO直线wlvABv 速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可确定出P点为速度瞬心BAvv ,
