1、1.1 引言引言第一章第一章 引引 论论定义定义1.1 随机过程随机过程就是一族随机变量 其中t是参数,它属于某个指标集T, T称为参数集参数集.),(TttX一般地, t表示时间. 当T=0,1,2,时称随机过程为随机序列随机序列.对对X(t)可以这样看可以这样看:随机变量是定义在空间上的,所以是随 t与而变化的.于是可以记为X(t,).当固定一次随机试验,即取定0时, X(t,0)就是一条样本路径.它是t的函数; 另一方面,固定时间t = t0, X(t0,)就是一个随机变量, 其取值随着随机试验的结果而变化, 变化有一定的规律,用概率分布来描述.随机过程在t时刻的值称为过程所处的状态,状
2、态的全体称为状态空间状态空间.依照状态空间不同可分为连续状态连续状态和离散状态离散状态; 依照参数集T,当T为有限集或可数集则称为离散离散参数过程参数过程,否则称为连续参数过程连续参数过程.当T是高维向量时称X(t)为随机场随机场.例例1.1 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行不规则的运动,这种运动叫做Brown运动运动.它是一个随机过程.Brown运动是分子大量随机碰撞的结果. 若记(xt,yt)为粒子在平面坐标上的位置,则它是平面上的Brown运动.例例1.2 若某人在一个直线格子点上, 从原点出发进行行走, 规则如下: 掷一枚硬币, 若正面向上则前进一个格子; 若
3、反面向上则后退一个格子. 以X(t)表示他在t时刻所在的位置, 则X(t)就是一种直线上的随机游动随机游动.-2 -1 0 1 2 3例例1.3 到达总机交换台的呼叫次数为Poisson过程.每次呼叫是相互独立的,而间隔时间服从指数分布.交换台在同一时间只能接通K个呼叫.人们常要了解在某一时刻的排队长度以及呼叫的平均等待时间.这是一种排队模型排队模型.该模型可以应用于对超市、公交车站的管理或服务研究。例例1.4 流行病学的研究中有如下模型: 在时刻0时易感人群大小为X(0), Y(0)是已受传染的人数.假定易感人群被传染的概率为p, 则经过一段传染周期后(记为单位时间)X(0)中有X(1)没有
4、染上病而Y(1)却受到传染.传染过程一直蔓延到再没有人会染上这种流行病时停止.于是 且当时 有 X(t), t=1,2,就是以上式为状态转移概率的Markov过程过程.) 1()() 1(tYtXtXij jjijiippCitXjtXP)1 ()(|) 1(例例1.5 记X(t)为时刻t的商品价格.若X(t)适合线性模型 其中 为实参数, Z(t)为独立同分布的不可观测的随机变量,则X(t)服从ARMA模型自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型. 这是在经济预测中十分有用的时间序列模型.)() 1()()()2() 1()(121qtZtZtZptXtXtXtXqpkk, 有限维分布和数字特征
5、有限维分布和数字特征对于随机过程 , TttX),(过程的一维均值函数均值函数为)()(tXEtX过程的方差函数方差函数为)t (XVar) t (2X过程的一维分布一维分布为)()(xtXPxFt过程的自相关函数自相关函数为)()(),(2121tXtXEttrX过程的协方差函数协方差函数为)()()()()(),(),(22112121ttXttXEtXtXCovttRXXX)(,)(),(221121,21xtXxtXPxxFtt对于随机过程 , 其中随机变量 与 的关系有X(t1)与X(t2)的联合分布为TttX),()(1tX)(2tX即过程在t1, t2两个不同时刻值的联合二维分布
6、联合二维分布.自相关函数和协方差函数性质:1. 对称性对称性, 即对任何s, t有),(),(strtsrXX),(),(stRtsRXX2. 非负定性非负定性, 即对任何t1, t2,tnT及任意系数b1, b2,bn有0),(11jiXninjjittrbb0),(11jiXninjjittRbb)(,)(,)(),(221121,21nnntttxtXxtXxtXPxxxFn对于随机过程 , 其有限维分布族有限维分布族为TttX),( 有限维分布的性质:1. 对称性对称性),(),(21,212121ntttiiitttxxxFxxxFnnniii2. 相容性相容性),(),(21,1,
7、2111mtttmttttxxxFxxFmnmm例例1.6 记Xn为第n次独立地扔一枚骰子的结果,则Xn, n1为一随机过程.参数集T为1,2,而状态空间为1,2,3,4,5,6.5 . 31XEXEn均值函数为:nmnmnmRX,0,1235),(协方差函数为:任何有限维分布:)()()(),(2121,21kknnnxFxFxFxxxFk其中F(x)为X1的分布函数. 平稳过程和独立增量过程平稳过程和独立增量过程如果一个随机向量 与另一个随机向量 有相同的联合分布函数,则称这两个随机向量是同分布同分布的,记为 .),(1nXXX),(1nYYYYXd定义定义1.2 如果随机过程X(t)对任
8、意的t1,tnT和任何h 有 则称X(t)为严格平稳的严格平稳的.)(,),()(,),(11ndntXtXhtXhtX定义定义1.3 如果随机过程X(t)的所有二阶矩存在,并且EX(t)=m及协方差函数RX(t,s)只与时间差t-s有关,则称X(t)为宽平稳的宽平稳的或二阶矩平稳的二阶矩平稳的.对于宽平稳过程,由于对-s, t+, RX(t,s)=RX(0,t-s)所以可以记之为RX(t-s).显然对所有t, RX(t)=RX(-t), 即为偶函数.定义定义1.4 对任意的t1t2tn且t1,tnT,如果随机变量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1
9、), 是相互独立的,则称X(t)为独立增量过程独立增量过程.如果进一步有对任意的t1, t2,则称X(t)为平稳独立增量过程平稳独立增量过程.)()()()(2211tXhtXtXhtXd例例1.7 设Zi, i=0,1,2, 是一串独立同分布的随机变量, 定义 则Xn, n0就是独立增量过程.一般称Xn为独立和独立和.niinZX0练习练习: 证明平稳独立增量过程的均值函数一定是t的线性函数.证明提示:1. 2.3.4.)0()1 ()(XEXnEnXE)1 (1)1(XEmmXE)0()1 ()(XEXEmnmnXE)0()1 ()(XEXtEtXE课外作业：课外作业：1. Page 11 Ex12. Page 12 Ex2，3，4
