1、Day 1:等差数列&等比数列morningmorning: :通项公式通项公式3/23/20222数列引入：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上通过画点发现了一连串具有规律的数，后人将这些按一定顺序排列的数称为数列。（1） （4） （9） （16） a1 a2 a3 a4上面就是著名的正方形数，通过观察可以得到它们可以表示为：这里的a1,a2,a3,.,an,.就是数列的一般形式,简记为：an从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相同的数列叫做常数列；而有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的叫做摆动数列。an=n3/23/2
2、0223数列an可以用一个式子来表示第n项和序号n之间的关系，这个式子就是数列的通项公式。观察下面几列数的通项公式：（1）1, 2, 3, 4, 5, 6，.，n,.（2）10,9,8，.，-1，-2，.（3）2, 22， 23 ，24，2 5，.（4）10,20,30，.,1000，.（5）1，-1, 1，-1，.（6）5，6,8,9,100，.-1，.2an=n (nN）an=11-n (nN)an=2n (nN）an=n*10 (nN）an= 1,n奇数-1，n属于偶数总结：（1）由第6个小题可以看到，并不是每一个数列都可以用一个通项公式来表示。 （2）若数列中被排列的数相同，但次序不同
3、，它们不是同一数列。如:数列（7）4，5，6，7，8，9，10。 数列（8）10，9，8，7，6，5，4 )()1(*Nnann总结：（3）有些数列的通项公式并不唯一。 例如上述的数列（5）也可以表示为 （4）数列并不都是无穷的，它可分为有限数列和无穷数列两种。Practice: （1） 1,3,5,7,. （2） 2,4,6,8,10，. （4） Key: an=2n-1; an=2n 22222 1 3 1 4 1 5 1;,;234511113,1 2 2 33 4 4 5（） 1( 1)(1)nnan n 2(1)11nnan等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
4、公差：每两项相差的常数,通常用d表示。等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时A就叫做a和b的等差中项。A=（a+b)/2推导过程：等差数列的通项公式可以表示为：an=a1+(n-1)d. 计算时也会用到：an=an-1+d. 例1:求等差数列8，5，2，的第20 项. -401 是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：由 a1 =8，d=5-8=-3，n=20，得 a20 = 8+(21-1) (-3) = -49 由 a1 =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为 a = -5 +(- 4)*(n 1) = 4n 1,
5、由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1 成立。解这个关于n 的方程，得n=100，即-401 是这个数列的第100 项。例2某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10 元，即最初的4km计费10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解: 令a1 =10，表示4km 处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km 处时，n=10，此时需要支付车费 a10 = 10+(14-4) 1.2=22 元 答：需要支付车费22 元。Practice: (1)已知a1=2,d=3,n=10,求an; (2)
6、已知a1=3,an=21,d=2,求n; (3)已知d=-3,a5=8,求a1; (4)已知a1=12,a6=27,求d。 （5）如果一个三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角度是多少度？等差数列的前n项和推导：【倒序相加法】等差数列的前n项和为：Sn=na1+n(n-1)*d/2 或Sn=n(a1+an)/2例1、2000 年11 月14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001 年起用10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元.为了保证工程的顺利实施，
7、计划每年投入的资金都比上一年增加50 万元.那么从2001 年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列 an ,表示从2001 年起各年投入的资金，其中a1= 500， d=50.那么，到2010 年（n=10），投入的资金总额为 Sn=10*500+10*(10-1)*50/2=7250（万元）答：从20012010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250 万元.Practice:（1）a1=20,an=54,Sn=999,求d及n;（2）d=2,n
8、=15,an=-10,求a1及Sn；（3）某同学给自己制订了七天的长跑计划，第一天跑500米，以后每一天比前一天多跑500米，求这七天他一共跑了多少米？等比数列：如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数。公比：后一项与前一项的比，通常用q表示。等比数列的通项公式：an=a1*qn-1 注意：等比数列公比 q 是任意常数,可正可负；首项a1和公比q均不为 0.等比数列的前n项和：Sn=na1, (q=1) Sn=a1(1-qn)/(1-q) ， (q1）例3 ：一个等比数列的第3 项和第4 项分别是12 和18,求它的第1 项和第2 项.解：由题意知a3=12,a4=18,得
9、： q=18/12=3/2 a2=a3/q=12/(3/2)=8 a1=8/(3/2)=16/3Practice: (1)如果一个等比数列前5项和等于10，前10项和为50，那么它的前15项和为多少？ (2)某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始以每年10%速度增长，这个城市近十年的国内生产总值一共多少？Day 1:等差数列&等比数列afternoonafternoon: :求和总结求和总结求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：直接法倒序相加法错位相减法分组转化法裂项相消法“an ”法(公式法)一、公式法求和：一、公式法求和：1（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母是一定要
10、讨论11()(1)22nnn aan nSnad) 10(11)1 () 1(111qqqqaaqqaqnaSnnn且 （2）利用公式法求和 6) 12)(1(12nnnknk2132) 1(nnknk2) 1(1nnknk例:求下列各和:1+3+5+(2n1)1+2+4+8+2n12+23+34+n(n+1)运用公式 求和2:(1 21)2nnn解 原式1:11 221 21nn解 原式注意项数正确怎么求?1(2)(1)3nnn2错位相减法求和错位相减法求和： 例例已知数列 求前n项和。 )0()12( ,5 ,3 , 112aanaan错位相减法错位相减法尝试尝试! !214123nxxn
11、xn例 、求和：S当当aan n 是等差数列，是等差数列，bbn n 是等比数列，是等比数列，求数列求数列aan nb bn n 的前的前n n项和适用错位相减法项和适用错位相减法. .三裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 111) 1(1nnnn)121121(21) 12)(12(1nnnn)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnnnnnn11111 11()(2)22n nnn1111()(3)33n nnn分析 : 裂项后使得中间一些项互相抵消从而容易求和, 这种方法叫做裂项相消法
12、 .例 . 求数列裂项公式是：关键是变形!11131 33 52121nnn例 、求和：S（）（）) 12)(12()2(534312222nnnSn裂项相消法求和裂项相消法求和(1)求和 nnSn11.231121(2)求和nnaan如果一个数列可以拆成几个数列的和，而拆分出来的数列又都是很容易求和的数列，将拆分得到的数列分别求和，再将这些和加起来便得到数列的前 项和方法四分组法拆开重新组合拆开重新组合 再求和再求和1:212nn答案为分析 : 拆项分组后构成两个等比数列的和的问题, 这样问题就变得容易解决了 .解：原式=(x+x2+x3+xn)+( )方法五合并求和：例：222222129
13、79899100 解：原式=（100-99）（100+99）+（98- 97）（98+97) +（2-1)(2+1） =100+99+98+97+2+1 =5050 2nnaann如果一个数列与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和（一般情况下，首末两项之和为一常数），则可以采用“正着写和”与“倒着写和”的两式相加，便得到一个常数数列，再两边同除以 可得数列的前 项和（例如等差数列的前 项和）方法六倒序相加法7其它求和方法其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例. 设数列an 的前n项和为sn ， 若an =(-1)n-1(2n-1), 则 s17 + s23 + s50 的值
14、是多少？解：sn =1-3+5-7+9-11+ (-1)n-1(2n-1)=(-2)+(-2)+(-2)+当n为偶数2k时 S2k=(-2) k当n为奇数2k+1时 S2k+1= S2k +a2k+1S17 =（-2)8+33 = 17 S23 =（-2)11+45=23 S50 =(-2)25 =-50所以s17 + s23 + s50 =-10分析 : 通项中含有(-1)n或 (-1)n-1的数列求和问题,常需要对n的奇偶情况进行讨论， 这种方法就称之为奇偶讨论法 .三、小结三、小结1掌握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时注意分 讨论。11qq或 直接求和直接求和（公式法）（公式法
15、）等差、或等比数列用求和公等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算式，常数列直接运算.倒序求和倒序求和等差数列的求和方法等差数列的求和方法错项相减错项相减数列数列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列是等比数列.裂项相消裂项相消分解转化法分解转化法把通项分解成几项，从而出现把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行几个等差数列或等比数列进行求和求和. 常见求和方法常见求和方法适用范围及方法适用范围及方法数列数列1/f(n)g(n)的求和，其中的求和，其中 f(n),g(n)是关于是关于n的一次函数的一次函数.*Thank you!Do you have any questions?
