1、1.1 1.1 离离 散散 时时 间间 信信 号号1 1 几种常用的典型序列几种常用的典型序列0, 00, 1)(nnn（）单位脉冲序列（）单位脉冲序列（）单位阶跃序列（）单位阶跃序列0, 00, 1)(nnnu（）矩形序列（）矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(（）实指数序列（）实指数序列)()(nuanxn（）正弦序列（）正弦序列0( )sin()x nn（6）复指数序列）复指数序列0()00( )(cossin)jnnx nAeAenjn 当当时时x(n)的实部和虚部的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。分别是余弦和正弦序列。0 x(n) =e (0.65 + j0.5)nu(
2、n). 序列的运算序列的运算 1) 1) 序列的相加序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 2) 2) 序列的相乘序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 3) 3) 序列的移位序列的移位 y(n)=x(n-n0)4) 4) 序列的能量序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列平方可和序列nnx)(绝对可和序列绝对可和序列xBnx )(有界序列有界序列 )()()(mnmxnxm)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo回章首回章首)()(nnx6) 序列的单位脉冲序列表示序列的单位脉冲序列表示5) 实序列的偶部和奇部实序列的偶部和奇部1.
3、2 1.2 采采 样样1) 奈奎斯特采样定理：奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。于信号最高频率的两倍。 s2max实际工作中，考虑到有实际工作中，考虑到有噪声，噪声，为避免频谱混淆，采样为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率频率总是选得比两倍信号最高频率 max更大些，更大些， 如如s =(35) max。2） 归一化数字角频率归一化数字角频率 =T=/fs s=sT=2 回章首回章首1.3 1.3 离散信号的傅里叶变换离散信号的傅里叶变换(DTFT)(DTFT)与与z z变换变换 离
4、散信号的离散时间傅里叶变换（离散信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）离散信号的离散信号的DTFT(Discrete Time Fourier Transform)定义定义nnjjenxeX)()(离散序列的离散序列的逆傅里叶变换逆傅里叶变换(IDTFT)为为 jj n-1x (n ) =X (e)ed 2 DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该绝对可和，则该级数绝对收敛级数绝对收敛(充分条件充分条件)。平方可和序列的平方可和序列的DTFT也存在，平方可和序列不一定绝对可和。也存在，平方可和序列不一定绝对可和。（1）由于）由于 ，所以，所以
5、 是以是以2为周期的周期函数。为周期的周期函数。)2(jjee)(jeX注意：注意：（2）DTFTnjnjenxeX)()(正是周期函数正是周期函数 的傅里叶级数展开，而的傅里叶级数展开，而x(n)是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。这一概念在以后滤波器设计中有用。)(jeX 变换变换nnznxzX)()(z平面上使上述级数收敛的区域称为平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域收敛域”。z变换收敛域的特点：变换收敛域的特点：1） 收敛域是一个圆环，或向内收缩到原点，或向外扩展到收敛域是一个圆环，或向内收缩到原点，或向外扩展到，只有，只有x（n）=（n）的收敛域
6、是整个）的收敛域是整个 z 平面。平面。2 2） 在收敛域内没有极点，在收敛域内没有极点，X X（z z）在收敛域内每一点上都是解析函数）在收敛域内每一点上都是解析函数（有意义）。（有意义）。逆逆z变换变换),(xxRRc逆逆z变换是一个对变换是一个对X（z）zn-1进行的围线积分，积分路径进行的围线积分，积分路径C是一条是一条在在X（z）收敛环域（）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。）以内反时针方向绕原点一周的单围线。cndzzzXjnx1)(21)(Im jzRe zxRxR0c 直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求
7、z反变换，求解逆反变换，求解逆z变换的常用方法有：变换的常用方法有：2 2部分分式法部分分式法 幂级数幂级数3 3留数定理法留数定理法留数定理法留数定理法由留数定理可知：由留数定理可知：11111( )Re ( )21( )Re ( )2kmnnz zcknnz zcmX z zdzs X z zjX z zdzs X z zj 为为c内的第内的第k个极点，个极点， 为为c外的第外的第m个极点，个极点， Res 表示极点处的留数。表示极点处的留数。mzkzRe ( )Re ( )kmz zz zkms F zs F z F(z)的分母的分母z阶次比分子阶次高二阶和二阶以上。阶次比分子阶次高二阶
8、和二阶以上。Re ( ),()( )kkkz zkz zs F z zzzF z111Re ( ),()( )1 !kkmmkz zkz zmds F z zzzF zmdz留数的求法：留数的求法：单极点留数求法：单极点留数求法：m重极点留数求法：重极点留数求法：例例 已知已知1）当）当n-1-1时时, ,不会构成极点，所以这不会构成极点，所以这时时c c内只有一个一阶极点内只有一个一阶极点因此因此21( ),414(4)()4zX zzz z11( )1(4)()4nnzX zzz z1nz14rz 11411( )Re /(4)()41()144,111544nznnx ns zzzn 求
9、z反变换。解解:2）当）当n-2时，时，X(z)zn-1中的中的zn+1构成构成-(n+1)阶极点。因此围线阶极点。因此围线c内有一阶极点：内有一阶极点：z=1/4, - (n+1)阶极点阶极点z=0为；而在为；而在c外仅有外仅有 z=4(一阶一阶)这个极点这个极点:14121( )Re /(4)()41(4)4,211544nznnx ns zzzn 214 ,115( )14,215nnnx nn 因此3 DTFT与与z变换的关系变换的关系njnezjenxzXeXj)()()(4 Parseval定理定理若有两序列若有两序列 x（n），），y（n），且），且 X(z)=Z x(n) Rx
10、-|z| Rx+ Y(z)=Z y(n) Ry-|z| Ry+收敛域满足条件：收敛域满足条件： Rx- Ry-1ncdvvvYvXjnynx1*)/1 (*)(21)(*)(则则序列能量计算：序列能量计算：deXeXnxnxnxjjnn*2)(21*)()()(deXj2| )(|21即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。回章首回章首1.4 离散时间系统离散时间系统y(n)= Tx(n) 离散时间系统：将输入序列离散时间系统：将输入序列x(n)x(n)映射成输出序列映射成输出序列y(n)y(n)的变换或运算。的变换或运算。 T x(n)x (n
11、)y(n)1 线性系统线性系统既满足齐次性又满足叠加性的系统既满足齐次性又满足叠加性的系统Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) =ay1(n)+by2(n)判断判断y(n)=7x2(n-1)是否是线性系统是否是线性系统2 时不变系统时不变系统如果如果 Tx(n)=y(n)Tx(n)=y(n)， Tx(n-nTx(n-n0 0)=y(n-n)=y(n-n0 0) )，即在，即在n n时刻输入时刻输入x(n-nx(n-n0 0 ) )输出亦为输出亦为y(n-ny(n-n0 0) )则称系统是时不变系统。即系统的特性不随时间而变化则称系统是时不变系统。即系统的特性不随时间而变
12、化判断判断y(n)=12x(n-1)+11x(n-2)是否是时不变系统？是否是时不变系统？ 判断判断y(n)=12nx(n-1)+11x(n-2)是否是时不变系统？是否是时不变系统？ 3 线性时不变系统（线性时不变系统（LTI, Linear Time Invariant）既满足线性要求又具有时不变性的系统。既满足线性要求又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应线性时不变系统可以用单位脉冲响应h(n)来表示。来表示。问题：问题：LTI系统输入任意的序列系统输入任意的序列x(n), 输出如何？输出如何？mmnmxnx)()()()()(nhn)()()()(mnhmxmnmxmmm
13、nhmxmnmx)()()()(离散卷积（线性卷积或直接卷积）离散卷积（线性卷积或直接卷积）(n) h(n)T(n)(n)h(n)()(mnhmn)(nh)(*)()(nhnxny)(nh)(nx)(nx)(ny)()()()()(nhnxmnhmxnymx(n)可表示为可表示为卷积过程：卷积过程：(图示方法图示方法) 对对 h（ m）绕纵轴折叠，得）绕纵轴折叠，得h（-m）；）； 对对 h（-m）移位得）移位得 h（n-m）；）； 将将 x(m)和和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。）。4 系统的稳定性和因果性系统的稳定性和
14、因果性稳定系统：对于每一个稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统的系统为稳定系统kkhs)(稳定性的充要条件：稳定性的充要条件：因果系统：因果系统： 系统的输出系统的输出y（n）只取决于当前以及过去的输入，）只取决于当前以及过去的输入， 即即x（n），）， x（n-1），），x（n-2）。因果性的充要条件：因果性的充要条件：h（n）0，n0非因果系统：非因果系统： 如果系统的输出如果系统的输出y（n）取决于）取决于x（n+1），），x（n+2），），即系，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统统的输出取决于未来的输入，则是非
15、因果系统，也即不现实的系统（不可实现，对时间系统而言）（不可实现，对时间系统而言）例：分析单位脉冲响应为例：分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时不变系统的因果性）的线性时不变系统的因果性和稳定性。和稳定性。稳定的因果系统：稳定的因果系统： 既满足稳定性又满足因果性的系统。既满足稳定性又满足因果性的系统。 这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即nnhnnnhnh| )(|000)()(5 5 系统的差分方程描述系统的差分方程描述差分方程差分方程描述系统输入输出之间的运算关系描述系统输入输出之间的运算关系N N阶线性常系
16、数差分方程的一般形式阶线性常系数差分方程的一般形式MiNiiiinybinxany01)()()(离散系统差分方程表示法有离散系统差分方程表示法有两个主要用途：两个主要用途： 由差分方程得到系统结构；由差分方程得到系统结构； 求解系统的瞬态响应；求解系统的瞬态响应；Ta 网络结构网络结构例：由一阶差分方程例：由一阶差分方程 y（n）=ay（n-1）+x（n）画网络结构）画网络结构. x（n）y（n）由此得到它的网络结构如图由此得到它的网络结构如图在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解一阶差分方程系统：一阶差分方程系统：)1(21
17、)(5.1)(nynxny输入为输入为0001)()(nnnnx解：解： 设初始条件为设初始条件为n0，y（n）=0差分方程写为差分方程写为1215 . 1)0(5 . 1)0(2) 1(xyy-21(-2)2(-1)-1.5 (-1)-1.52yyx) 1(215 . 1)()(nunhnyn非因果的、不稳定系统非因果的、不稳定系统、种情况所表示的是两个不同的单位脉冲响应。可以看出，种情况所表示的是两个不同的单位脉冲响应。可以看出， 同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统， 即即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，
18、用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件， 才能唯一地确才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系，即系统的性能。定一个系统的输入和输出关系，即系统的性能。回章首0) 1 (5 . 1) 1 (2)0(xyy)(5 . 1)(2) 1(nxnyny1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数1 定义定义 LTI系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)可用来表示该系统的特性可用来表示该系统的特性线性时不变离散系统线性时不变离散系统:两边取两边取z变换变换:)()()(zXzYzH得得:H(z)称为称为LTI系统的系统的系统函数系统函数)()()(zHzXzY)()()(nhnxn
19、y注：注：1）H（z）是单位脉冲响应）是单位脉冲响应h(n)的的z变换。所以可以用单变换。所以可以用单位脉冲响应的位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。变换来描述线性时不变离散系统。2）z平面单位圆平面单位圆 上的系统函数就是系统的频率响上的系统函数就是系统的频率响应应)()()(jjjeXeYeHjez 即单位脉冲响应即单位脉冲响应h(n)的的DTFT。几种常用系统的收敛域几种常用系统的收敛域1 因果系统：因果系统： 单位脉冲响应单位脉冲响应 h（n）是因果序列的系统，其系统函）是因果序列的系统，其系统函数数H(z)的收敛域包括的收敛域包括点，即点，即 Rx- |Z| 2 稳定系统：稳
20、定系统： 单位脉冲响应单位脉冲响应h（n）满足绝对可和的系统即）满足绝对可和的系统即nnh)(稳定系统的稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛）必在单位圆上收敛jeH即即存在存在3 因果稳定系统：因果稳定系统：1 Z|H H（z z）的）的全部极点必在全部极点必在单位圆以内单位圆以内2 差分方程与系统函数差分方程与系统函数考虑考虑N阶差分方程阶差分方程NiMiiiinxainyb00)()(两边取两边取z变换：变换：NiMiiiiizXzazYzb00)()( NiiiMiiizbzazXzYzH00)()()(NiiMiizdzcAzH1111)1 ()1 ()(式中式中ci、 d i是是H（z
21、）在在z平面上的零点和极平面上的零点和极点，点， A为比例常数。为比例常数。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。求系统频率响应的几何方法。111111()1( )1MMiiiiNNiiiiMNc zzcHzAAd zzdAAz系统的频响为系统的频响为: 11MjijiNjiiecHeAed 可用一根由零点可用一根由零点ci指向单指向单位圆上位圆上ej点的向量点的向量 来来表示，表示，ic可用由极点可用由极点di
22、指向指向ej的的向量向量 表示表示idNiiNiijdcAeH11)()(jjeeH频响的模函数由从各零、极点指向频响的模函数由从各零、极点指向ej点的向量点的向量幅度来确定幅度来确定.频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定。频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定。当频率当频率由由02时，这些向量的终点沿单位圆时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。的频响。 当单位圆上的当单位圆上的 ej 点在极点点在极点 d i附近时，分母向量最短，附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点出现极小值，频响在这
23、附近可能出现峰值，且极点 di 越靠越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐; 当当 di 处处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现，这相，这相当于在该频率处出现无耗（当于在该频率处出现无耗（Q=）谐振，当极点超出单位）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。的。 对于零点位置，频响将正好相反，对于零点位置，频响将正好相反，ej点越接近某零点点越接近某零点 ci ，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越，频响
24、越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点为零，即在零点所在频率上出现传输零点, 零点可以位于零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。单位圆以外，不受稳定性约束。azazzzH,)(例：例：0*xRezaejdici)(jeH02例例有限长单位脉冲响应有限长单位脉冲响应其他010)(Mnanhn0a1求其频率响应特性。求其频率响应特性。)(11)(1101azzazazzazazHMMMMnMMnn解：解：如果如果a为正实数，为正实数，H（z）的零点为）的零点
25、为1, 1 , 0,2MkaezkMjk这些零点分布在这些零点分布在|z|=a的圆周上，对圆周进行的圆周上，对圆周进行M等分，它的等分，它的第一个零点第一个零点k=0，恰好与分母上的极点（，恰好与分母上的极点（z=a）抵消，因）抵消，因此，整个函数此，整个函数H（z）共有）共有20(1)1 ,2,3, ,1(1)0jkMkMzaekMMz个 零 点阶 极 点 均 集 中 在 原 点 处给出给出 M=8，0a1时的系统特性。幅频时的系统特性。幅频的峰值出现在的峰值出现在=0，因为该处无零点（被因为该处无零点（被极点对消），每一零极点对消），每一零点附近的频率响应均点附近的频率响应均有陷落，呈现出
26、有陷落，呈现出M次次起伏，当起伏，当M无限增大无限增大时，波纹趋于平滑。时，波纹趋于平滑。单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为“有限有限长单位脉冲响应系统长单位脉冲响应系统”，简写为，简写为FIR系统系统(Finite Impulse Response)。 当单位脉冲响应长度无限时，则称为当单位脉冲响应长度无限时，则称为“无限长单位脉冲无限长单位脉冲响应系统响应系统”， 简写为简写为IIR系统系统(Infinite Impulse Response) 。IIR、FIR构成数字滤波器的两大类。结构不同，设计方法构成数字滤波器的两大类。结构不同，设计方法也不同。也不同。回章首理想采样信号及其频谱特点、采样定理理想采样信号及其频谱特点、采样定理Z变换定义、变换定义、 Z变换收敛域、变换收敛域、 Z变换性质变换性质逆逆Z变换、常用序列变换、常用序列Z变换变换因果稳定系统因果稳定系统线性时不变系统输入、输出的关系线性时不变系统输入、输出的关系系统函数、系统频响及其几何确定方法系统函数、系统频响及其几何确定方法小结小结
