1、等差数列的通项公式等差数列的通项公式： 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 1(1)naand11nnqaa 1 1、观察法、观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数的结构，纵向看各项与项数n n的内在联系。适的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。用于一些较简单、特殊的数列。 例例1 1 写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式（1 1） -1 -1，4 4，-9-9，1616，-25-25，3636， ；解：解： （如果数列是正负相间（如果数列是正负相间的，把相应的关于的，把相应的关于 的式子乘以的式子
2、乘以 或或 就可以了）就可以了） （2 2） 2 2， 3 3， 5 5， 9 9， 17 17， 33 33， ；解：解：na121nna21nannn111nn2 2、累加法、累加法 若数列若数列 , ,满足满足其中其中 是可求和数列，那么可用逐项作差后累加是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求的方法求 ，适用于差为特殊数列的数列。适用于差为特殊数列的数列。 na)(1Nnnfaann)(nfna 例例2 2 已知数列已知数列 , ,满足满足 ，求数列，求数列 的通项公式。的通项公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnnaaaaa
3、aaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得则则 121naann所以数列所以数列 的通项公式的通项公式na2nan3 3、累乘法、累乘法 若数列若数列 , ,满足满足其中数列其中数列 前前n n项积可求，则通项项积可求，则通项 可用可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。 )(1Nnnfaannna)(nfna例例3 3、已知、已知 ， , ,求通项公式求通项公式 31annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nnnnaa2)1(23nnna3342aa
4、13213423122222nnnaaaaaaaa4 4、 利用数列前利用数列前 项和项和 求通项公式：求通项公式：数列前数列前 项和项和 与与 之间有如下关系：之间有如下关系： n.,)2(111nnnnnaSnSSaSa求由此即可由nnSnSnna)(1(31*NnaSnnna2a1a例例 4 4、设数列、设数列 的前项的和的前项的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求证数列）、求证数列 为等比数列。为等比数列。 na) 1(31) 1(311) 2(11nnnnnaaSSan时，、当) 1(31nnaS解解(1)(1)、由由 ，得，得 ) 1(3111aa41),1(31) 1(312
5、12221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比数列，公比为是首项所以2121na变式题、已知数列变式题、已知数列 的前的前 项和项和 求证：求证： 为等比数列并求通项公式。为等比数列并求通项公式。nan12nnaSna1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比数列，公比为为首项即21na5 5、构造等差、等比数列法、构造等差、等比数列法 对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化
6、为前个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。面已解决的几种情形来处理。（1 1）构造等差列法）构造等差列法 pqaaqappaannnnn1111则若例例5 5、已知数列、已知数列 中，中， ，（1 1）、求证）、求证 是等差数列是等差数列（2 2）、求）、求 的通项公式的通项公式221nnnaaanana11a1na解：解：22)1 (1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首项为首项为1 1，公差为，公差为 的等差数列的等差数列1na212121)1(11)2(nnan、12nan即变式题：变式题： 已知数列已知数列aan n 中
7、，中，a a1 1=1,=1, a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：1113naa 是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)31(1)332nnaann 132nan （1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列aan n 为等差数列为等差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列aan n 为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若c c1 1且且d d0 0时，数列时，数列aan n 为线性
8、递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求. .方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c( a+m=c( an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m, +(c-1)m, 与题设与题设a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1) m=d/(c-1) 因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法,
9、 , 主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c =c a an n+d(c+d(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）6.6.辅助数列法辅助数列法方法2： 方法2： 1,nnacad 当当2 2时时1,nnnacad 两式相减，得：两式相减，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2数数列列是是以以为为首首项项，以以 为为公公比比的的等等比比数数列列1
10、1nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 方法四：归纳、猜想、证明方法四：归纳、猜想、证明. .1. 1. 先计算出先计算出a a1 1,a ,a2 2,a ,a3 3; ;2.2. 再猜想出通项再猜想出通项a an n; ;3.3. 最后用数学归纳法证明最后用数学归纳法证明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacad c cadd c ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc ad
11、c cc = =1()11nddaccc 方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 递推式递推式直接迭代得直接迭代得例例6:6:已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求求数列的通项公式数列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n
12、=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1) )2 2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-a
13、n-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-a-an-2n-2)+ )+ +(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)2*110(),6263.23nnna xaxnNa 变变式式题题：设设二二次次方方程程有有两两根根满满足足求求证证：是是等等比比数数列列。n+1+ =1nnaaa 证证：依依题题意意，由由韦韦达达定定理理可可知知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa 又又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa 是是以以 为为公公比比的的等
14、等比比数数列列例例7.7.已知已知，111,1nnanana 求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式. .解解：11,nnanan 11,nnanan （1）（1）11(1),nnan a 又又11a 即即110a 10na 由由得得：，11(1)1nnana 故故由由累累乘乘法法，得得：1321122111111(1)1111nnnnnaaaaaaaaaa 1(1)! (1)1nana 1(1) (2) (3)2 1 (1)nnna 7.7.逐差法逐差法 形如形如a an+1n+1+a+an n=f(n)=f(n)的数列的数列. .（1 1）若）若a an+1n+1+a+an n=
15、d=d （d d为常数），则数列为常数），则数列 a an n 为为“等和数列等和数列”，它是一个周期数列，周期为，它是一个周期数列，周期为2 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论其通项分奇数项和偶数项来讨论; ;（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数（非常数）时，可通过构的函数（非常数）时，可通过构造转化为造转化为a an+1n+1-a-an n=f(n)=f(n) 型，通过累加来求出通项型，通过累加来求出通项; ;或用逐差法或用逐差法( (两式相减两式相减) )转化为转化为a an+1n+1-a-an-1n-1=f(n)-f(n-1),=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项分奇
16、偶项来分求通项. .例例8. 8. 数列数列aan n 满足满足a a1 1=0, a=0, an+1n+1+a+an n=2n, =2n, 求求数列数列aan n 的通项公式的通项公式.分析1.构造转化为型分析1.构造转化为型1( )nnaaf n 解解法法1 1：令令( 1)nnnba 则则111111( 1)( 1)( 1)() ( 1)2nnnnnnnnnnbbaaaan 时时111222111( 1) 2(1)( 1)2(2)2 ,( 1) 2 10nnnnnnbbnbbnnbbba 1322 ( 1) (1) ( 1) (2)( 1) 2 ( 1) 1nnnbnn 各式相加得：各式
17、相加得：当当 为为偶偶数数时时，22 (1)( 1)2nnnbnn 此此时时，nnabn 当当 为为奇奇数数时时，12()12nnnbn 此时，此时，nnba 1nan为为奇奇数数故故为为偶偶数数1,.nnnan n 解解法法2 2：12nnaan 当当2 2时时1,2(1)nnnaan 两式相减，得：两式相减，得：112nnaa构构成成以以 为为首首项项，以以2 2为为公公差差的的等等差差数数列列1351,a a aa211(1)22kaakdk 22(1)2kaakdk 为为奇奇数数为为偶偶数数1,.nnnan n . 2 24 46 62 2构构成成以以 为为首首项项，以以2 2为为公公
18、差差的的等等差差数数列列,a a aa课时小结课时小结 这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法，这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法，大家需要注意以下几点大家需要注意以下几点: :1 1、若数列、若数列 满足满足 可用累加法可用累加法来求通项公式；若数列来求通项公式；若数列 满足满足 可用累乘法来求通项公式可用累乘法来求通项公式; ;若数列若数列 满足满足 可用构造等差数列来求通项公式；若数列可用构造等差数列来求通项公式；若数列 满足，满足， 可用构造等比数列来求通项公式；若数列可用构造等比数列来求通项公式；若数列已知前已知前 项项 和和 的关系可用的关系可用)(1Nnnfaannnan
19、ana)(1NnnfaannnSnanannnqappaa1qpaann1nan.1,)2(2111要单独讨论时注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn课后作业课后作业nnnanaaa求，、已知,21) 1 (11式并证明写出这个数列的通项公，中，、已知数列)( ,211)2(*11Nnaaaaannnnnnnnanaaaa求满足、已知数列, 52212121)3(221.,3 , 2 , 1,S311Sn)4(432n11n的通项公式的值及数列求，且项和为的前、数列nnnaaaanaaa 111,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasn
20、sanNabaabacc (5)(5)、数数列列中中是是它它的的前前 和和 并并且且满满足足设设求求证证是是等等比比数数列列设设求求证证数数列列是是等等差差数数列列 11(6)3,2(2).nnnnnnnaaansassna 、已已知知数数列列的的首首项项通通项项与与前前 项项和和 之之间间满满足足求求数数列列的的通通项项公公式式n有关的数学名言有关的数学名言n数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
