1、第第9.19.1节节 定积分概念定积分概念 (Conceptions of definite Integrals) 问题的提出问题的提出 定积分的定义定积分的定义 定积分的几何意义定积分的几何意义abxyo? A实例实例1 1 曲边梯形的面积问题曲边梯形的面积问题(Area Problem)一、问题的提出一、问题的提出（Introduction)(xfy 要解决两个问题要解决两个问题:一个是给出面积的定义一个是给出面积的定义; ;一个是找一个是找出计算面积的方法出计算面积的方法. .微积分的最大功绩在于，用干微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方净利索的方法解决
2、了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算法解决了相当复杂的图形的面积的计算. .曲边梯形：曲边梯形：( )( ( )0)0yf xf xxaxby 由由连连续续曲曲线线及及直直线线、所所围围图图形形，称称为为曲曲边边梯梯形形. .abxyoabxyo用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路解决问题的基本思路：局部以局部以“直直”代代 “曲曲”，即即 观察下列演示过程，注意当分
3、割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放2( )3,0,1,0f xxxxyabxyoi ix1x1 ix1 nx()iifx (i)分割分割0111 , 1,1,2, .nniiiiia bnaxxxbnxxinxxx 在在内内插插入入个个分分点点，得得 个个小小区区间间记记1,1,2,iiixx ini 任任取取得得第第 个个小小曲曲边边梯梯形形面面积积的的近近似似值值(ii)作积作积(iii)求和求和iniixfA )(1 曲边梯形面积曲边梯形面积的近似值为的近似值为(iv)取极限取极限101max,lim()nn
4、iiTiTxxAfx 令令，则则曲曲边边梯梯形形面面积积积分和或积分和或黎曼和黎曼和分割的模分割的模实例实例2 2 变速直线运动的路程问题变速直线运动的路程问题 把整段时间分割成若干小段；每小段上速把整段时间分割成若干小段；每小段上速度看作不变，求出各小段的路程近似值；相加度看作不变，求出各小段的路程近似值；相加得到路程的近似值；最后通过对时间的无限细得到路程的近似值；最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值对于匀速运动对于匀速运动：路程路程= =速度速度 时间时间解决该问题的思路解决该问题的思路：局部以局部以“匀速匀速”代替代替“非匀速非匀速”(i)分割分割2121
5、01TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (iii)求和求和iinitvs )(1 (iv)取极限取极限12max,nTttt 令令01lim()niiTisvt (ii)作积作积iit ,R.fa bJ设设是是定定义义在在上上的的函函数数， 001:,nT axxxb00,若若，对对任任意意分分割割 ,fa b则称在上则称在上可积可积，并称并称 J 为为 f 在在 a, ,b上的上的1,1,2, ,iiixxin 及任意及任意01( )dlim().nbaTiJf xxfxii 定积分定积分, ,记作记作maxiTx 当当时时, ,必必有有1(),niiifxJ 二、定积分
6、的定义二、定积分的定义(Definition of Definite Integral)定义定义被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分上限积分上限积分下限积分下限黎曼和黎曼和a,b积分区间积分区间01( )lim( )nbiiaTif x dxJfx Y注意注意(i)1()( ) , ( )( )( )niiibbbaaafxJf xa bf x dxf t dtf u du 当当和和的的极极限限存存在在时时, ,其其极极限限 仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关, ,而而与与积积分分变变量量的的记记法法无无关关, ,即即(ii)(iii)(iv)( )baA
7、f x dx 21( )TTsv t dt 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程 , a b并并非非每每个个函函数数在在上上都都可可积积. .在在近近似似过过程程中中, ,我们把小曲边梯形近似看作矩形时我们把小曲边梯形近似看作矩形时, ,显然要求显然要求f (x)在每个小区间在每个小区间 xi1, xi 上变化不大上变化不大, 这相当于这相当于要求要求 f (x) 有某种程度上的连续性有某种程度上的连续性.(v)a, b上的一致连续性上的一致连续性, 可证可证f (x)在在a, b上上可积可积. 以后将知道以后将知道f (x)在在a, b 上连续时上连续时, 利用利
8、用f (x)在在, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值abxyooyabx三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义 1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba ( ):( )baf x dxxf xxaxb 介于 轴、函数的图形及两条直线介于 轴、函数的图形及两条直线、之间的各部分面积的代数和。、之间的各部分面积的代数和。例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分11200.xx dxe dx及及解解1220(1) ( )0,1f xxx dx 在在上上连连续续，故故存存在在。为方
9、便起见为方便起见, ,0 1n将将 ， 等等分分, ,即即令令, 2 , 1, 11210: nnnnnTn11max 0,nii nTxnn 1,1,2, ,iiiiinnnn 取取则则于是于是122000111lim( )limnnnniiiTTiix dxfxn 2231111lim( )limnnnniiiinnn 31(1)(21)1lim63nn nnn Y解解10100011111111(2) ( )0,1101,(1,2, ),1lim( )lim11limlim11 1 ()lim(1)lim111ixxiinnxiiTTiiiinnnnnniinnnnnnnf xee dx
10、inxinnne dxfxeneenneneeneee 在在上上连连续续，故故存存在在. .将将 ， 等等分分，则则取取有有例例2 21201x dx计算积分计算积分由由定定积积分分的的几几何何意意义义知知，该该积积分分值值等等于于21,01yxxxx 曲曲线线轴轴，及及所所围围图图形形的的面面积积（见见下下图图）x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4112014x dx所以所以解解证证nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limln12limnnnfffnnn试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质利用对数的性质, ,得得 nifnnine1ln1limnni
11、fnine1lnlim1 分点为分点为nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序极限运算与对数运算换序, ,得得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim 10)(lndxxfe因为因为)(xf在区间在区间 1 , 0上连续，且上连续，且0)( xf所所以以)(lnxf在在1 , 0上上有有意意义义且且可可积积 ,解答解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 思考题思考题 将和式极限表
12、示成定积分将和式极限表示成定积分. . nnnnnn)1(sin2sinsin1lim小结小结. 定积分的实质定积分的实质 ：和式的极限：和式的极限.定积分的思想方法定积分的思想方法：求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限取点、求和取点、求和积零为整积零为整分割分割化整为零化整为零取极限取极限精确值精确值定积分定积分A.与区间及被积函数有关；与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关；与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关与被积函数的形式无关 )(xfy 在在 ba,上连续，则定积分上连
13、续，则定积分 badxxf)(的值的值4.4.223sin tdt中，积分上限是中，积分上限是 积分下限是积分下限是 积分区间是积分区间是2.2. 及及x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形 的面积，用定积分表示为的面积，用定积分表示为 12 xy与直线与直线 3, 1xx1.1.由曲线由曲线举例举例 dxx) 1(2312 2-2-2-2,2-2,20 0A A222) 1(dxx3.3.定积分定积分 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意
14、当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形
15、面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程
16、，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系返回返回 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系
