1、排队论课件1现实生活中的实例：进餐馆就餐到图书馆借书去售票处购票在车站等车等等排队论课件2一、排队系统的特征及排队论： 顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。排队论课件3排队的形式：顾客到达队列 服务台服务完成后离去 服务台1 服务台2 服务台s顾客到达队列服务完成后离去顾客到达队列1队列2队列s 服务台1 服务台2 服务台s服务完成后离去服务完成后离去服务完成后离去排队论课件4随机服务系统：输入来源队 列服务机构排队系统排队系统顾客服务完离开排队论课件5二、排对系统的描述系统由三个部分组成：输入过程排队和排队规则服务机制排队论课件
2、61、输入过程（1）顾客总数量：有限或者无限（2）到达方式：单个到达或成批到达（3）到达方式： 顾客相继到达时间间隔的分布，这是刻画输入过程的最主要内容。 令, 00TnT01,nTTTLL表示第n个顾客到达的时刻，则有：记), 2 , 1(1nTTXnnn假设：nX是独立同分布的，并记其分布函数为),(tA关于的分布，nX排队论中经常用到以下几种：排队论课件7 定长分布（D）： 顾客相继到达时间间隔为确定的常数，如产品通过传输带进入包装箱 最简流（或称poisson分布）（M）：顾客相继到达时间间隔nX000)(ttetat为独立， 同负指数分布，其密度函数为：排队论课件82、排队及排队规则
3、（1）排队分为有限和无限排队损失制排队系统： 排队空间为零的系统混合制排队系统： 等待制和损失制的结合，是指允许排队，但是不允许队列无限长下去，具体的又分三种情况：（）队长有限，即等待空间有限（）等待时间有限，即顾客在系统中等待时间不超过某一给定的长度T（）逗留时间（等待时间和服务时间之和）（系统只能容纳K个顾客）排队论课件9不难注意到损失制和等待制可以看成是混合制的特殊情况如记ssK 为系统中服务台的个数， 当时，混合制即为损失制当K时，即成为等待制。(2)排队规则：先来先服务（FCFS）排队论课件103、服务机制主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）；顾客是单个还是成批接受服务的
4、；服务时间的分布。记某服务台的服务时间为V， 其分布函数为B(t), 密度函数为b(t), 则常见的分布有： 定长分布（D）：每位顾客接受的服务的时间是常数； 负指数分布（M）： 每位顾客接受服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：排队论课件11000)(ttetbt0: )(kE其中为一常数。k阶爱尔朗分布密度函数为tkkektkktb)!1()()(1排队论课件12三、排队系统的符号表示为了方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛的使用的“Kendall记号”，一般形式为：X/Y/Z/A/B/C其中X表示顾客相继到达时间间隔的分布，Y表示服务时间分布，
5、Z表示服务台的个数； A表示系统的容纳，即可容纳最多顾客数B表示顾客源的数目；C表示服务规则；排队论课件13FCFSMM/1/表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布，服务时间为负指数分布、单个服务台、系统容量为无限、顾客量无限、 排队规则为先来先服务的排队模型。排队论课件14四、排队系统的主要数量指标和记号1、队长和排队长2、等待时间和逗留时间3、忙期和闲期排队论课件15下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：)(tTq时刻 t 系统中的顾客数，即队长)(tN)(tNq时刻 t 系统中排队的顾客数，即排队长)(tT时刻 t 到达系统的顾客在系统中的逗留时间时刻 t 到达系统的顾客在系
6、统中的等待时间上述数量指标与时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布非常困难。排队论课件16讨论系统处于平衡状态下的性质：记)(tpn,npT为时刻t时系统处于状态n概率，即系统的瞬时分布根据前面的约定，我们将主要分析系统的平衡分布，即当系统到达统计平衡时时所处状态 n 概率，记为又记：系统处于平衡状态时队长，其均值为L，称为平均队长,WNqN系统处于平衡状态时排队长，其均值为,qL称为平均排队长；系统处于平衡状态时顾客的逗留时间， 均值为称为逗留时间；排队论课件17n,qWsn系统处于平衡状态时顾客的等待时间， 其均值记为称为平均等待时间；;qTn当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率,（单位
7、时间内来到系统的平均顾客数）当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内完成的顾客数）当n为常数时， 记为当每个服务台的平均服务率为常数时，记为当sn 时，有：排队论课件181/ 期望到达间隔时间1/ 期望服务时间 服务强度， 或称使用因子, /(s)五、排队论原理0S01S1kS1knS1nSrnSk1rn1rnn1n1nrnrn2n1nkn1k12排队论课件19为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程： 对状态0S对状态0101PP1100PP:1S2211PP021102PP对状态:1nSnnnnPP11021110PPnnn0PCPnn,21110nnnC记则平稳状态分布：排
8、队论课件20则概率分布的要求：10nnP1101PCnn有：于是：0011nnCP排队论课件21六、M/M/S等待制排队模型), 2 , 1(nnNPpn/1/MM, 2 , 1 , 0,nn1、单服务台模型队长的分布记为系统到达平衡状态后队长N的概率分布，注意到, 1, 2 , 1,nn,记并设则：, 2 , 1nCnn, 2 , 10nppnn排队论课件221111010nnnnp因此：, 1 , 0)1 (npnn其中：排队论课件23几个主要数量指标平均队长：1)1 (00nnnnnnpL平均排队长：)(1)1 () 1(2201LpLpnLnnq排队论课件241)(TEW0)(tetT
9、Pt的负指数分布，关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数因此，平均逗留时间W为：顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：VTTq排队论课件25其中V为服务时间，故由：1)()()(qqWVETETEWqW)(1WWq可得平均等待时间为：平均队长与平均逗留时间具有的关系：平均排队长与平均等待时间的关系：qqWLWL称为little公式排队论课件262、多服务台模型记), 2 , 1(nnNPpn, 2 , 1 , 0,nnsnssnnn, 2 , 1为系统到达平衡状态后队长N的概率分布， 注意到对个数s个服务台系统，有：记sss并设, 1s则：snsssssnnCsnnsnsnn!
10、, 2 , 1!/sMM排队论课件270ppnn其中：1100)1 ( !snssnsnp排队论课件28几个主要数量指标平均排队长：201)1 ( !)(ssssnnqsppsnLqLLWL平均队长：Little公式：qqWL排队论课件29其他模型nM/M/c/K/Kn顾客来源是有限的服务系统. 例如： 一个饭店有 X 张桌子和 Y个服务生服务来源有限的顾客.nM/D/1n服务时间不变的服务系统.nD/M/1n确定性到达模式, 及指数分布服务时间. 例如：医生赴约治病的时间表.nM/E k/1n服务服从 Erlang 分布. 例如：用相同平均时间去完成一些程序。排队论课件30结束语n排队论是专门研究带有随机因素，产生拥挤现象的优化理论。也称为随机服务系统。n排队论应用十分广泛。
