1、 条件分布律条件分布律 条件分布函数条件分布函数 条件概率密度条件概率密度第三章 随机变量及其分布3 条件分布返回主目录一一 、离散型随机变量的条件分布律、离散型随机变量的条件分布律 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j=1,2,., 2 , 1,1ippxXPjjiii, 2 , 1,1jppyYPijijj(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录 由条件概率公式自然地引出如下定义：定义：定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j ,
2、 若PY= yj 0, 则称, 2 , 1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。第三章 随机变量及其分布3条件分布条件分布律具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0；1110. 11|2ijjiiijjjijjippppppyYxXP返回主目录同样对于固定的 i, 若PX= xi0, 则称, 2 , 1,|jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。第三章 随机变量及其分布3条件分布一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击中目标两次为止。设以 X 表
3、示首次击 中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 例例 1并且，的取值是；，的取值是YXXY21432解解：返回主目录, 2 , 1,1,1121221221mpqqqpqpqpnYmXPmXPmmmnnmnnmn第三章 随机变量及其分布3条件分布nYmXP，次，并且共射击次射击时首次击中目标第nmP标次射击时第二次命中目，且第次射击时首次击中目标第nmP由独立性，可得pq1其中1213, 2nmn，；，pqpqnYmXPmnm11，22pqn的边缘分布律为X的联合分布律为YX, 3 , 2,) 1(,22112211nqpnq
4、pnYmXPnYPnnmnnm在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为; 1, 2 , 1,11) 1(|2222nmnqpnqpnYmXPnn当 n=2,3, 时，第三章 随机变量及其分布3条件分布的边缘分布律为Y1213, 2nmn，；，pqpqnYmXPmnm11，22pqn返回主目录, 2, 1,|1122mmnpqpqqpmXPnYmXPmXnYPmnmn在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为当m=1,2,3, 时，第三章 随机变量及其分布3条件分布1213, 2nmn，；，pqpqnYmXPmnm11，22pqn返回主目录二、条件分布函数设 ( X ,Y ) 是二维连续
5、型随机变量，由于 PX= xi=0, PY= yj =0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。定义：定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， Py-0, 若对于任意实数 x，极限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P X x |Y= y ，或记为 FX|Y(x|y).第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录第三章 随机变量及其分布3条件分布)(),()(),(2/)()(lim2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)|(0000|yfdudvvufyyFdydyyxFy
6、FyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYyxYYYYYYX ,)(),(yfduyufYx返回主目录,)(),()|(|yfduyufyxFYxYX,)(),()|(|xYYXduyfyufyxF.)(),()|(|yfyxfyxfYYX第三章 随机变量及其分布3条件分布称为在条件Y= y下X的条件分布函数，数。的条件下的条件密度函在称为随机变量yYX三、连续型随机变量的条件密度函数，其联合密度函数为是二维连续型随机变量，设YX的边缘密度函数为：又随机变量 Xyxf， dyyxfxfX，的边缘密度函数为：随机变量Y dxyxfyfY，第三章 随机变量及其分布3条件分布
7、返回主目录 为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量当xXYxfX 0 为条件下的条件密度函数的在时，可得随机变量则当yYXyfY 0 yfyxfyxfYYX， xfyxfxyfXXY，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录条件密度函数的性质也有类似的性质对于条件密度函数xyfXY0yxfYX，有对任意的性质x1dxyxfYX性质是密度函数简言之，yxfYX第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录例 2解：服从圆域：，设二维随机变量YX122 yx件密度函数上的均匀分布，试求条yxfYX的联合密度函数为，二维随机变量YX其它，01122yxyxf第三章 随机变量及其分布3条件分布x
8、y122 yx返回主目录例 2（续）的密度函数为所以，随机变量Y时，由此得，当11y dxyxfyfY，22111yydx212y 其它011122yyyfY 0yfY第三章 随机变量及其分布3条件分布xy122 yx时，由此得，当11y返回主目录例 2（续）时，因此当11y yfyxfyxfYYX，2121y2121y所以，其它011121222yxyyyxfYX上的均匀分布下的条件分布是区间在时，即当221111yyyYXy第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录例 3服从二元正态分布：，设二维随机变量YX的联合密度函数为，则YXrNYX，22212122222121212122212
9、121exp121yyxrxrryxf，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录例 3（续）的边缘密度函数为又随机变量Y yeyfyY22222221 ，因此，对任意的0yfyY，有所以，对任意的 y第三章 随机变量及其分布3条件分布xyrxr22211221121exp yfyxfyxfYYX，221121r返回主目录例 3（续）分布：的条件分布是一元正态这表明，二元正态分布22122111ryrN，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录例 4解：函数的密度机变量上的均匀分布试求随，间的条件下服从区在时，随机变量上的均匀分布，当，服从区间设随机变量YxxXYxX11010的密度函数
10、为随机变量 X 其它0101xxfX第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录例 4（续）其它0111yxxxyfXY下的条件密度函数为在条件时，随机变量又由题设，知当xXYx10所以，由公式 xfyxfxyfXXY，第三章 随机变量及其分布3条件分布返回主目录时，所以，当10 y其它01011yxx xyfxfyxfXYX， dxyxfyfY，ydxx011y1ln的密度函数为所以，随机变量Y 其它0101lnyyyfY第三章 随机变量及其分布3条件分布例 4（续）xy011返回主目录第三章 随机变量及其分布3条件分布例 5的概率密度为设随机变量),(YX., 0, 10,| , 1),(
11、其它xxyyxf;)|(),|()2(;)(),(1|xyfyxfyfxfXYYXYX）（试求：.0|21) 3(YXP解：. , 0, 10,2),()() 1 (其它xxXxxdydyyxfxfxy01xy xy返回主目录第三章 随机变量及其分布3条件分布. , 0, 01,1, 10,1),()(11其它yyYyydxyydxdxyxfyf. , 01|,|1其它yy其它。当, 01|,|11)(),()|(, 1|)2(|xyyyfyxfyxfyYYX例 5（续）xy01xy xy返回主目录第三章 随机变量及其分布3条件分布其它。当, 0|,21)(),()|(, 10|xyxxfyxfyxfxXXY431121221)211 (00,210|21).3(YPYXPYXP例 5（续）21xxy01xy xy返回主目录
