1、数学美学欣赏 建德电大 徐 军数学美学教育研究一、数学与美学二、数学美的简洁性三、数学美的和谐性四、数学美的奇异性五、美的扭曲六、数学美学教育研究的意义“美学”其英文为Aesthetic，希腊文原义是“感性、感受”。这种解释特别适合数学美，数学中的美是靠体会出来的，是一种感受，是在实践的基础上产生的。不懂数学的人他会说数学美吗？肯定不会，他看到的都是些杂乱无章的符号，繁琐冗长的计算和复杂图形的描绘。美是使人心情愉悦的，而美又是难以捉摸，微妙即逝的；美是世界上最有力量的东西，数学美便是如此。大数学家克莱因曾说过“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改
2、善物质生活，但数学却能提供以上一切。”数学的美不 知使多少有识之士孜孜不倦，苦心孤诣地为她献身。当代美学家们认为,美应包含下列各项:美审美对象审美性质审美本质自然美社会美科学美艺术美数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。 从
3、学科分类来看，数学是理论自然科学中的重要分支素有“科学之王”之美誉；从数学的起源来看，她是对客观事物的一种量的抽象从客观存在的有限性演变为认识领域的无限性；从人文环境来看，数学有着无与伦比的美学情趣古希腊有一句名言：“哪里有数，哪里就有美”。 面对以上种种美誉，那数学为何如此美丽？又该怎样从美学的角度，来观察、分析、理解、并感受数学的魅力？”事实上，数学美的表现形式是多种多样的从数学的外在形象上观赏：她有体系之美、概念之美、公式之美；从数学的思维方式上分析：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上探讨：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽
4、象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。数学美的特征是什么?概括起来讲有简洁性、和谐性和奇异性.具体地有:数 学 美简洁性奇异性和谐性符号美抽象美统一美和谐美对称美形式美奇异美有限美神秘美(朦胧美)常数美扭曲的美有位学者曾说过“若要把感性的人变成理性的人，唯一的路径是使他成为审美的人”。青少年阶段，世界观、人生观初步形成，自我约束和控制意识不强，存在许多不稳定的因素，尤其需要用美的规律来改造他们的主观世界。数学美的概念提出以后，国内的相关文章层出不穷，但多数文章只停留在对数学美的描述上，却忽视了对美学对象的教育，导致现在有许多中学生还不知道什么是“数学美”，因此在课堂上展现数学美是何等重
5、要。在教学中教师应充分利用数学中的美的内容、形式，运用美的教学手段，培养学生的数学审美能力，真正发挥数学美的作用，激发学生学习数学的兴趣。 数学美的简洁性华罗庚教授说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁、无不可用数学表述。著名科学家伽利略也硕果：“数学是上帝用来数学宇宙的文字”。数学之所以用途之广，系由其自身的特点决定。简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁数学家L.J.。莫德尔说：在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了。数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元就是以可简单的
6、制服任何数目的款项；简单的这样一个图形：以代表世上一切方形的物体，它给人们简洁、大方，但它并不仅是为了简洁而简洁，还极大地给人以方便，给人以联想； 又正如没有人愿把一亿写成l00000000，而要写成l08，把千万分之一写成1/100000000，而是乐于写成10-7更没有多少人身上带着几万元甚至几百万的钞票在大街上走来走去，而是带着一张银行卡，只需记着由0，1，2，9中几个数字组成密码就可敲定，就这么几个数字，就这么简单。 化繁为简，化难为简，力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算上，论证也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。 数学的简洁性系指其抽象性、概括性和同意性，正是因为数
7、学具有抽象性和同意性，因而其形式应当是简单的。实现数学的简单性（抽象、统一）的重要手段是使用了数学符号。1。符 号 美符号就是某种事物的代号，人们总是探索哟内个简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。符号对与数学的发展来将更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力。数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言也难以发展一样。几乎每一个数学分支都是靠一中符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。数学符号的产生（发明）、使用和流传（传播）却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美
8、。如古代的埃及、巴比伦、阿拉伯和我国的各种记数方法的演变。著名的“六人相识问题”（它是拉姆赛定理的特例）：任何6个人中必可从中找出3个人，使得他们要么彼此都相识，要么彼此都不相识。把“人”用“点”表示，人与人的“关系”用“红、蓝两色线”表示：红线表示他们彼此相识，蓝线表示他们彼此不相识。这样六个人A、B、C、D、E、F中的某个人比如A，他与其他5位的关系由于只用两种颜色表示，其中必有一种颜色的线不少于3条，无妨设AB、AC、AD三条，且他们为红色（图中用实线表示）。把这个抽象的问题演化成“点”与“染色直线”，从而巧妙地解答它，这不能说是“符号”的一大功劳。ABCDEF接下去考虑B、C、D三点间
9、的连线，若它们全为兰色（图中用虚线表示），那好，B，C，D三点为所求（它们代表的三个人彼此都不相识）；若三点间连线至少有一条为红色，设它为BC，这时A，B，C三点为所求（它们代表的三个人彼此都相识）。其实我们还可以有进一步的结论：上述（彼此都相识或都不相识的）“三人组”六个人中至少存在两组。上面的事实，再次证明了数学符号的威力，没有它至少问题的叙述会变得复杂而困难。ABCDABCD又关于“” ，九章算术 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整
10、数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin、 等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致 。又比如：函数y=f(x)这一简单的表达式把两个变量X和Y的关系通过对应规则F并且用等号连接在一起，深刻地表现了数学的符号美和简单美 。2。 抽 象 美数学的简洁性在很大的程度上源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。“抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有两种含义： （1）我们不容易想象（或意想不到）的； （2）我们无法体验
11、到（或与现实较脱节）的。对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与魅力。对于前者，我们看下例：下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？d1d2d3d乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了：设大圆直径为d，三个小半圆直径分别为d1,d2，d3。因d1+d2+d3=d,有（d1+d2+d3）=d，即d1+d2+d3=d此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。又比如提到原子，人们都会觉得它小，从数据上讲它的直径约为10-10m ，这看上去很抽象，它到底有多小？如果作个比方：“一个原子与一滴水
12、之比”，就如“一滴水与整个地球之比”一样，你就会觉得形象了。如此的问题很多，如多米诺骨牌问题，苍蝇的繁殖问题， 象棋棋盘摆麦子问题等等都反映了数学中的抽象美。数学的抽象还在于：它不仅能描述现实生活中的某些必然事物，同时它还能描述某些偶然时间；它不仅能描写某些精确现象，同时还能描述大量的模糊现象。又比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张照片也不是哪一个具体的数，分不清是0 ？是1？或者说100？“知道”中蕴含着“不知道”，“具体”中充满了“不具体”，它就是这样一个抽象的数！3。统 一 美“统一性”，表现为各种数学结构的调和一致，各种数学方法的融会贯通，各种数学分支之间的互相渗透和促进
13、，等等。 万能置换公式： xsin212uuxcos2211uu212uutgx(u=2xtg)，台劳公式)(xf10)1(20 )()!1()()(!2)()()(nnxxncfxxxfxfxf这些公式使得各种形式达到了高度的统一简化。 世界的统一性在于它的物质性，宇宙的统一性表现为宇宙的统一美，因而能揭示宇宙统一的理论，即被称为是美的科学理论。31万能计算公式V=（S+S）SS整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在实数内，而复数又包含着实数与虚数。在这些数系之中，1是最简单的数，但同时可以说一切又起源于1。由1演变为所有自然数2，3，4，后来又有它的相反数1， 2，3，之后又加进0，
14、再就是两个整数所表示的分数，这样就构成有理数系，而南北朝时期，祖冲之就已经在计算的值，无理数也早就出现了。i在几百年前就有，i可表示成0+1。i，而它正好有实数中具有代表性的数1和0来表示的。实数、虚数中的1，0，i都有其独特的地位，超越无理数中，和e又是相当独特的，这5个数1，0，i，e都融合在一个奇妙式子中，e+1二0，这就是种统一美。 从上面可以看到，统一不仅是数学美的重要特征，同时它也是数学本质的一种反映。数学美的和谐性在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，“世界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”。美与和谐是他们最求数学美（如果他们意识到了的话）的准则，也是他们建立数学
15、理论的依据。“对称”最初源于几何，但对称也是一种和谐美。毕达哥拉斯、柏拉图所认为的宇宙结构最简单的基元正多面体是对称的；他们喜欢的图案五角星也是对称的；圆也是一种对称图形（诗人坦丁曾感叹到：圆是最美的图形）；形式美也是为数学家们所关注的，无论是毕达哥拉斯学派对与多角数的研究；还是数千年一直为人们所称奇的“幻方”的制作，都是人们对数学形式美的追求。1，和谐美美是和谐的。和谐性也是数学美的特征之一。和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。所谓“数学的和谐”不仅是宇宙的特点，原子的特点，也是生命的特点，人的特点（高尔泰语）。数学的严谨自然流露出它的和谐，为了追求严谨、追求和谐，数学家们一直在努力，以消
16、除其中的不和谐东西比如悖论，它是指一个自相矛盾、对广泛认同的见解的一个反例、一种误解，或看似正确的错误命题及看似错误的正确命题。和谐美看一看1、2、3、4、5、6、7这几个数字，代表不同的音阶，就能谱出优美动人和谐的曲调，让世人在音乐中陶醉。 再看看越来越复杂的数系吧，它们同样是和谐的。整数和分数统一为有理数，有理数和无理数统一在实数内，而复数又包含着实数与虚数。在这些数系之中，1是最简单的数，但同时可以说一切又起源于1。由1演变为所有自然数2，3，4，后来又有它的相反数1， 2，3，之后又加进0，再就是两个整数所表示的分数，这样就构成有理数系，而南北朝时期，祖冲之就已经在计算的值，无理数也早
17、就出现了。i在几百年前就有，i可表示成0+1。i，而它正好有实数中具有代表性的数1和0来表示的。实数、虚数中的1，0，i都有其独特的地位，超越无理数中，和e又是相当独特的，这5个数1，0，i，e都融合在一个奇妙式子中，e+1二0， 几何中的和谐美也到处体现，它们也使人赏心悦目。简单的点、线段、三角形、矩形、正方形，就能构造出美丽的图案，平面的，立体的，让人美不胜收。再看一看黄金分割律这个奇妙的规律吧。符合这个分割律的物体和几何图形，无不使人们感到和谐与美。我们的人体本身就是黄金分割律的一个杰出的样本，T型台上迈着款款细步的女模，她们姣好的面容，魔鬼般的身材，无一不是黄金分割律的体现，样本中之典
18、型。现实生活中让人叹为观止的一些伟大、精彩的建筑杰作，正是由于它们高、宽、柱间距离比例符合着黄金分割律，而让人欣赏、品味，影响甚深。 2，对称美对称美毕达哥拉斯有句名言：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形小最美的是圆形”。而圆和球形正是几何中对称美的杰出体现，圆是关于圆心对称的，也是关于圆心的任一条直线对称的。球形既是点对称，又是线对称，还是面对称的。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。 对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小形状和排列上具有一一对应关系。在数学中，对
19、称的概念略有拓广，这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，同时也为人们研究数学提供了某些启示。是不是只有几何中才有对称美呢?sin(+)=sincos+cossin就已经体现出 对称美。下列是对称的杨辉三角。美吗?当然！ 1 1 1 2 1 l 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1 新奇美平淡中见新奇、新奇中才有艺术。未曾料到才能引人人胜，峰回路转，柳暗花明，也这正是数学的魅力、数学的美。 无论代数中的某些“对称”（如代数多项式中变动一些文字的排列），还是几何中的“对称”，人们总可以从中抽取某些本质的共同的属性，加以抽象，从而产生新的概念，比如 “群”的概念产生正是如此
20、。3，形式美艺术家们追求的美中，形式是特别重要。比如艺术家注意到：泰山的雄伟、华山的险峻、黄山的奇特、娥眉的修理、青海的幽深、滇池的开阔，艺术家们渲染他们的美时，常常运用不同的形式。数学家们也十分注重数学的形式美，尽管有时他们含义更加深邃，比如整齐简练的数学方程可以看成一种形式美，这是与自然规律的外在表述有关的一种形式美。寻求一种最适合表现自然规律的方法是对科学理论形式美的追求。毕达哥拉斯学派的人们非常注意数的形象美，他们把数按照可用石子摆成的形象分类，比如“三角数”：1 3 6 10 n(n+1)/2四角数（又称正方形数）：1 4 9 16 n2此外，他们还定义了“五角数”、 “六角数”、（
21、它们统称多角数）。毕氏学派及其崇拜者还研究了多角数的美妙性质，比如他们发现： 每个四角数是两个相继三角数之和：第n-1个三角数与第n个k角数之和为第n个k+1角数；尔后的数学家们，也一直注意着这种数学形式美，且从中有所发现。数学美的奇异性奇异性数学美的一个重要特性。奇异性包括两个方面内容：一是奇妙，二是变异。变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇。数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学起义性探讨的结果。在数学发展史上，往往正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索，弄它个
22、水落石出！弗朗西斯.哈奇逊指出：“凡是新的不平常的东西都能在想象中引起一种乐趣，因为这种东西令人的心灵感到一种过去从未有过的新的观念”。“奇异”的特点是“新”，这种“新”当然是美的，正如英国美学家哈奇逊所说 “美在于独特而令人惊讶。”寻觅奇异对学生的独创能力的培养有着巨大的作用，中国缺乏的就是“创新能力”，“四书五经”，“之乎者也”已完全与新社会格格不入了。 下面举一例。 例：已知例：已知x , y, z都为正数，且满足169312531222222zxzxyzyxyx求zxyzxy32的值分析：按正常的思路先把x, y, z的值先求出再计算是相当困难的，可以把原方程视为 ）（）（）（3 41
23、20cos22 3)3(1 5150cos32)3(20222222022xzxzzyyxyx（1）式可看作x, 3y为两边且夹角为150，第三边为5的一个三角形。显然是ABDABD90的直角三角形从而64321SABD又341120sin21321150sin321SSSS00BCDABCACDABDxyzxzyyx32434632)32(34143321所以zxyzxyzxyzxyzxyz3y，z为直角边，斜边为3的一个直角三角形。（2）式可看作以第三边为4的一个三角形。由于324252（3）式可看作以x ，z为两边且夹角为120又根据上述3个三角形的边角关系及其相关性。构造三角形如图评价
24、：此种解法的奇异特征在于依题设条件构造出一个三角形从而把代数问题通过“奇异”的桥梁转化为几何问题，直观易懂，达到简化的效果。它让学生得到创新的喜悦，同时也使思维经济化，把问题进行抽象、转换。人的潜能借助于抽象能得到最大限度的发挥。 数学的模糊美在于它的即此即彼，因此便有广阔的空间去想象。朦胧插上自由幻想的翅膀，便可飞翔在最优的可能上，捕捉到美的方法，创造美的境界。罗素、康托凭着这份朦胧走出了世俗的框架，带来了数学的再一次繁荣。在教学中教师应用模糊美来激励、锻炼学生。其中“悖论”是模糊美的很大一个方面，“流水不腐，户枢不蠹”，脑子是经常要用的。悖论是一种迷人逗趣的逻辑游戏，是威严的数学中的点缀小
25、花，它不仅为广大数学家所重用，而且也常使许多文学家为之铺纸泼墨。它对增强学生的数学兴趣是很有帮助的，教师在教授任务之余，给学生出点有关悖论的题目，动动学生的大脑，这对学生思维能力的提高是很有裨益的。 美的扭曲雕塑、绘画是创造具体的或显示的艺术形象以反映现实事物的艺术，而雕塑出的对象是真正占有空间位置的试题，这是任何别的艺术所不能及的。“断臂女神”维纳斯的雕像，是古希腊艺术家的杰作，自从1820年从希腊弥罗岛一座倒塌的神庙里发掘出来时，已经 残缺，而且任何将雕像复原的方案（皆凭想象与推测），都未能被人们所接受时，而这残缺的艺术佳作、希世珍品，不仅以其优雅造型显示女性的丰腴典雅、专注宁静的美，也同
26、时给人留下另一种美感缺憾的美，这其实是美的一种扭曲。康德关于美的命题是：美并不等于完善！数学的美自然也不会完善，除了缺憾之外，还有一种扭曲的美这往往是有悖于通常审美观点的反态，比如在数学中规则的并不一定是最好的（当然这仅仅是某个意义上讲，比如从节省、最优等意义上考虑）。数学美学教育研究的意义我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力。”数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中美的因素。在笔者给刚入学的学生讲到数学美的时候，绝大多数学生都不能把数学与美联系在一起，这在一定程度上说明我们数学美育教学的欠缺。因此
27、，数学教师在教学中充分挖掘数学教学的美育功能，不仅可以使学生得到美的享受，还可以获取知识，开发智力，促进“德”、“智”的协调发展。 在数学教学中实施美育应体现以下几个方面。 揭示数学美的内涵揭示数学美的内涵追求数学美的本质追求数学美的本质 掌握数学美的规律掌握数学美的规律 揭示数学美的内涵揭示数学美的内涵人们常说：“成功的教学给人以一种美的享受”。数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且是在教师指导下的一种特殊审美过程。因此数学教师在教学中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来，从而使学生认识到数学的内容是美的。事实上，数学中有大量的美学内容，比如：函数y=f(x
28、)这一简单的表达式把两个变量X和Y的关系通过对应规则F并且用等号连接在一起，深刻地表现了数学的符号美和简单美；圆锥曲线图形的对称、杨辉三角的对称等反映了数学的对称美；方程的曲线和曲线的方程的关系静中有动，动中有静，深刻地反映了数学的静态美与动态美在数学教学中，教师要把数学中的这些美学本质挖掘出来，揭示出来，通过数学教学，可以激发学生对数学美的体验，培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣。 追求数学美的本质追求数学美的本质数学不但体现了科学美，也体现了艺术美，教师在数学教学中要不断地学习，加强美学修养，在教学中追求艺术美的本质。数学教学中的艺术美体现在以下几个方面：一是结构美，数学教学内容的组织应该
29、有严谨、合理的结构，教学环节之间应详略得当，重点突出，应体现对双基、能力和非智力品质的培养。教学内容的顺序、方式都要符合学生的认知规律等等。二是形式美，数学的教学内容虽然有很大的相同性，但教学方法的形式却是千变万化。教师在教学中可以根据教材的内容和学生的特点而采用不同的方法，比如数学实验、数学模型、数学CAI课件的制作等等。教学方法和手段的多样化，构成了数学教学方法的形式美。三是机智美，在数学教学中，会发生一些意想不到的意外情况，教师的随机应变，因势力导，巧妙地化解矛盾，体现一位教师的机智的课堂调控能力，这样会赢得学生的好评，使教学魅力平添，美不胜收。 掌握数学美的规律掌握数学美的规律在数学教
30、学中，通过对数学美的内容、本质、思想的渗透，使学生掌握数学的规律。一是增强学生认识数学美的兴趣。通过数学的历史故事、数学解题方式等使学生认识到数学美的兴趣，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，使学生从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它。二是培养学生的数学美感.从表面上看，数学符号是单调的，数学公式是枯燥的，数学内容是无味的，但正是这些内容构成了数学大厦的美丽与壮观，同时也蕴含了一种哲学的美，一种朴素的美，一种理性的美。数学教师可以通过讲解、剖析、演示、图形、图像、多媒体、幻灯片等形式，使数学的内容活起来，动起来，从而赋予数学内容以美的生命、美的内涵，使学生从数学的显性美提高对数学隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，进而形成数学美感。三是使学生养成用数学美的思想解决问题的习惯。我们知道，一名学生掌握的数学知识的多少并不是第一位的，最重要的是学生是否掌握了数学的精神。 数学的精神是学习数学、发展数学和应用数学的根源所在，而这种数学精神的培养过程就是数学美的创造过程，数学美的创造是数学美的升华。因此，在数学教学中要经常采用“实践认识再实践”的认识规律去审美，去欣赏美，去发现美，形成对数学美的规律性认识，再用这些规律去猜想、去探索、去发现、去分析解决数学问题，从而达到数学审美的最高境界应用数学美和创造数学美。
