1、第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型本章主要内容与重点本章主要内容与重点控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型控制系统的结构图控制系统的结构图本章本章主要内容主要内容本章重点本章重点 本章介绍了本章介绍了建立控制系统数建立控制系统数学模型和简化的学模型和简化的相关知识。包括相关知识。包括线性定常系统微线性定常系统微分方程的建立、分方程的建立、非线性系统的线非线性系统的线性化方法、传递性化方法、传递函数概念与应用、函数概念与应用、方框图及其等效方框图及其等效变换、梅逊公式变换、梅逊公式的应用等。的应用等。 通过本章学习，应着通过本
2、章学习，应着重了解控制系统数学模型重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅传递函数的基本概念和梅逊公式的应用逊公式的应用。2-1 2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1、系统的数学模型、系统的数学模型描述物理系统的物理模型的数学方程式描述物理系统的物理模型的数学方程式2、物理模型、物理模型一个理想化的物理系统一个理
3、想化的物理系统dttiCtututRidttiCdttdiLCr)(1)(),()()(1)(LCRCuru一、系统微分方程的方法)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC求质量求质量m在外力在外力F的作用下，质量的作用下，质量m的位移的位移x的运动。的运动。设系统已处于平衡状态，设系统已处于平衡状态，相对于初始状态位移、速度、加速度为零相对于初始状态位移、速度、加速度为零)()()()()()()(2122tKxdttdxftFtFtFtFdttxdm弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器（阻尼器（S-M-DS-M-D）机械位移系统机械位移系统k)(tFfm)(tx列写元件
4、微分方程的步骤：列写元件微分方程的步骤：（1 1）一定条件下简化系统为物理模型）一定条件下简化系统为物理模型（2 2）确定元件的输入量、输出量）确定元件的输入量、输出量（3 3）由物理或化学规律，列写微分方程；）由物理或化学规律，列写微分方程；（4 4）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程一般列写数学模型有分析法和实验法两种方法一般列写数学模型有分析法和实验法两种方法分析法：分析系统内部各部分运动机理，然后列写相应分析法：分析系统内部各部分运动机理，然后列写相应 的方程，的方程，最后求取系统的数学模型最后求取系统的数学模型实验法：人为加
5、入测试信号，记录输出用数学模型逼近。实验法：人为加入测试信号，记录输出用数学模型逼近。控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图或各元件的输入输出之间的）列写各方框图或各元件的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（齿轮系对电机的转元件对前级元件的负载效应（齿轮系对电机的转动惯量的影响）和信号传递的单向性。动惯量的影响）和信号传递的单向性。（3）消去中
6、间变量得到输入输出的数学方程）消去中间变量得到输入输出的数学方程速度控制系统的微分方程速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TGgufu1u2uau1R2RC2R1Rm运放2的数学模型物理模型ua=ub=0U1R1R2cU2R1abR2caU1U2i1i2i3tudticiRuiiiiRu0123221231111/系统输出 系统输入参考量gu控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放、运放2、功、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机121111,)(RRKuKuuKuefg12211122
7、,)(RRKCRudtduKu23uKuaCCammmmMKuKdtdT运放运放1运放运放2功放功放直流电动机直流电动机mi1减速器（齿轮系）减速器（齿轮系）i为传动比为传动比测速发电机测速发电机ttKu 消去中间变量消去中间变量matuuuu21控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为)()(321321tmtmmmKKKKKiKKKKKiTT)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdtt
8、xdmCCggggmMKuKdtduKdtdT)(321tmCCKKKKKiKK*比较比较 R-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。线性系统的性质：具有可叠加性、均匀线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）性（齐次性）两个或多个外作用加于系统产生的输出等于各个外作用分别作用于系统产生的输出之和。例如)()()()()()()()()()()()(),()()()()()()(112121221122tactctaftftctctftftftctftftctft
9、ftftcdttdcdttcd时输出输出为输出为输出为例题：机械系统如下阻尼器系数及输入输出如图列写数学模型 输入为xi输出为x0初态为零 c1c2xix0mbafc1fc2211002011020201202)()()()()()()(ccmscsxsxssxcssxcssxcsxmsdtdxcdtxxdcdtxdmiii方程拉氏变换得二、非线性元件微分方程的线性化二、非线性元件微分方程的线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数弹簧系数 是位移的函数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电
10、动本身的摩擦、死区电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数)(xfy平衡状态A为工作点yyyxxxxfy 0000, )(在平衡状态点运用台劳级数展开为)(xfy )(xKAf(x)x x0202200)()(! 21)()()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxfxfyxx)()()()(0000 xxdxxdfxfxfyyxxKy 具有两个自变量的非线性函数的线性化具有两个自变量的非线性函数的线性化)(),()(),(),(),(202),(221101),(12120102120102010 xxxxxfxxxxxfxxfxxfyxxxx2211xK
11、xKy 增量线性方程增量线性方程缺点只能列写平衡点方程三、拉氏变换及应用 1、定义 如 为复变量存在称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）记作F(s)=或F(s)=Lf(t)称F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。2、积分限问题正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的 0)(jsdtetfst其中0)(jsdtetfst其中的积分下限为 例如单位脉冲函数表达式如下积分限不同相应的积分值不同实际应用中 意味着外作用未作用于系统系统状态可知一般为零 1)(000)(dttftttf0000)(1)(tfdttf00+则外作用已加上系统状态变化初态不确定3、拉氏反变换定义如下
12、拉氏变换的性质(1)线性性质 已知 a,b为常数 jjsttfdsesFjsFL)()(21)(11122( )( )( )( )F sL f tF sL f t则他们的组合为2、微分性质1212( )( )( )( )L af tbf taF sbF s)0()0()0()()()0()()() 1(212nnnnnnffsfssFsdttfdLfssFdttdfL积分性质（参见相关教材）初值定理如函数f(t)及一阶导数是可以拉氏变换的终值定理（用于计算误差）0(0 )lim ( )lim( )tsff tsF s0lim( )lim( )tsftsFs 位移定理卷积定理拉氏反变换（部分分式
13、展开法）121212120( ) ( )() ( ) () ( )( )( )tF s F sLf tfdf tff tf t 00()()sLfteFs1011111( )( )( )mmmmnnnnB sb sb sbsbF sA ssa sasa系数均为常数mT13、积分环节其数学模型为G(s)=/TsK=1/T是积分常数响应特点如图惯性延滞输出线形增长快慢由积分时间常数T决定。t1tXi(t)t2X0(t) tt1t2记忆功能t1和t2间输入为零但输出不变例如旋转机械轴近似为积分环节、微分环节G(S)=S其中为微分时间常数响应如图该环节动态过程起作用输出量反映输入量的变化趋势t2t1X
14、i(t)t1t2X0(t)物理系统中无纯微分环节只能近似实现应用中一般结合比例环节使用5、振荡环节当 时其阶跃响应如图为自然频率nnnnsssG2222)(10输出量时间响应是衰减振荡过程，称为振荡环节他励直流电动机一定条件下近似为振荡环节tXi(t)X0(t)t6、纯滞后环节输出滞后输入时间 ，不失真反映输入输入环节。其数学模型如下 当 较小时sesG)(sssssG11! 3/ 1! 2/ 111)(3322时滞环节近似为一个惯性环节。阶跃响应如图带式运输机就是一个时滞环节复杂系统看作典型环节的组合。典型环节按数学共性建立不一定与实际元件一一对应。Xi（t）Xo(t)一个物理系统数学模型由
15、若干个典型环节数学模型组合而成，掌握典型环节的特性为系统设计提供良好的基础。典型环节的概念适用于线形定常系统。 2-3 2-3 控制系统的结构图控制系统的结构图控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。信号传递过程给出了一种直观的描述。一、系统结构图的组成与绘制一、系统结构图的组成与绘制系统结构图一般有四个基本单元组成：（1）信号线； （2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（
16、或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。输出等于输入和传函的乘积。)(1sE)(sE)(sLAKMCsC11Ksfm2sJmr)(2sE)(sUa)(sMm)(sMs)(sm电压测量系统结构图电压测量系统结构图AK) 1(sTsKmmr1K11RCs1R2R)(1sI)(2sI)(sUC)(sUr)(sI无源网络的方框结构图（结构图画法实例）无源网络的方框结构图（结构图画法实例）)()()(11sURsIsUCrruCu1RC2R)()()(21sIsIsI2)()(RsIsUC112)(1)(RsICssI结构图过程如下，用信号线按信号流向把各结构图连接起来得到系统的结
17、构图1/R1R2R1Cs(b)UoI1UoIUiI2I1I1I2I(a)(c)(d)结构图的绘制方法（1）列写各元件的微分方程或传递函数用方块图表示（2）根据各信号的流向用信号线依次连接得到系统的结构图。实质：系统原理图和数学方程式的结合，利用结构图可以求取系统的传递函数。注意：结构图不唯一，方框与元件可以不是一一对应的二、结构图的等效变换和简化二、结构图的等效变换和简化任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，
18、进行方框运算后，过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。将串联、并联和反馈连接的方框合并。等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变（1）串联等效）串联等效)(sR)(1sG)(2sG)(sU)(sC)()(21sGsG)(sR)(sC)()()()()()(122sRsGsGsUsGsC)()()()()(21sGsGsRsCsG（2）并联）并联)()()(21sGsGsG)(1sC)(1sG)(2sG)(sR)(2sC)(sC)()()()()()()()(2121sRsGsGsRsGsRsGsC
19、)()(21sGsG)(sR)(sC（3）反馈）反馈)()()()()()()()()()()(sCsHsGsRsGsBsRsGsEsGsC)(sH)(sG)(sR)(sB)(sE)(sC)()(1)(sHsGsG)(sR)(sC)()()()()(1)()(sRssRsHsGsGsC)()(1)()(sHsGsGs闭环传递函数：闭环传递函数：前向通道传递函数：输入端对应比较器输出前向通道传递函数：输入端对应比较器输出 E(s) 到输到输出端输出出端输出 C(s) 所有传递函数的乘积，记为所有传递函数的乘积，记为 G(s) 反馈通道传递函数：输出反馈通道传递函数：输出 C(s) 到到 输入端比
20、较器的反馈输入端比较器的反馈信号信号 B(s) 之间的所有传递函数之乘积，记为之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出输出 E(s) 到输入端对应的比较器的反馈信号到输入端对应的比较器的反馈信号 B(s) 之间之间所有传递函数的乘积，记为所有传递函数的乘积，记为GK(s), GK(s)=G(s)H(s)(sH)(sG)(sR)(sB)(sE)(sC（4）比较点和引出点的移动比较点和引出点的移动移动前后保持信号的等效性G(s)x1x2x0 x1G(s)x0G(s)x2比较点前移，G(s)x1x2x
21、0G(s)1/G(s)x1x2x0引出点前移X1G(s) x3=x1x0G(s) x0 x11/G(s)X3引出点前移x1G(s) x2x3G(s) G(s)x3x1x2实例求系统闭环传函简化过程：简化过程：（1）G3(s) 和G4(s)之间的引出点后移，由G3(s) 、G4(s) 和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：)()()(1)()()(3434334sHsGsGsGsGsGG1G2G3G4H2H3H1R(s)C(s)a第一，G1G2G3G4H3H1H2/G4（2）将G2(s) 、G34(s) 和H2(s)*1/ G4(s)组成的内反馈回路简化，计算等效传递函数)()()()(
22、)()(1)()()()(23234343223sHsGsGsHsGsGsGsGsGsG（3）将G1(s) 、G23(s) 和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数)()()()()()()()()()()(1)()()()()()()(1)()()()()(2323431432143211231231sHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsGsGsHsGsGsGsGsRsCs第二，G1G2H1H2/G4G3G4/（1+G3G4H3）试简化图示系统结构图，并求系统闭环传递函数和开环传函。试简化图示系统结构图，并求系统闭环传递函数和开环传函。 )(sC)(sR)(1sG
23、)(2sG)(1sH)()()()()(1)()()()()(1212121sHsGsGsGsGsGsGsRsCs过程图示化简过程如图，)(sC)(sR)(1sG)(2sG)(1sH)(/ 12sG第二步，)(1sGG2/(1+G2)H1+(1+1/G2)两个主反馈是并联的先化简局部内环然后与G1串联，最后2211GGG12121211HGGGGGGGB三、闭环系统的传递函数三、闭环系统的传递函数输入信号作用下的闭环传递函数输入信号作用下的闭环传递函数)(sE)(1sG)(2sG)(sR)(sH)(sB)(sC)(sN0)( sN)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGs
24、RsCs)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssC扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数0)( sR)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsnN)(2sG)(sH)(sC)(sN)(1sG)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNssCNn)()()()()()()()(11)()()(22121sNsGsRsGsGsHsGsGsCsCsCnr输入和扰动共同作用式，系统输出响应为闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数1)()()(21sHsGsG1)()(1sHsG ，)()(1)(sRsHsC则
25、有以 为输出量时的传递函数 误差传递函数)(sE)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsE)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsEN若并且G1G2HR(s)E(s)求取此系统的开环传函根究开环传函的定义：有开环传函为 Gk(s)=G1G2H上述各种闭环传函分母形式一致均为 =1+ 称为系统的特征方程，或信号流图的特征式系统的结论：系统结构、参数不变系统的特征方程不变（可见开环传函重要）)(sGkHGG211系统的开环传递函数实例：开环传递函数等效于主反馈断开偏差作为输入到主反馈输出的传递函数（例）G2G1H1G3XiX0B（s）E(s)断开主反馈后
26、如图偏差作为输入量主反馈B(s)为输出开环传函为特征方程为 1211G G H G2G1H1B(s)E(s)121( )KGsG G H2-4系统的信号流图一、信号流图的绘制：由结构图绘制信号流图 典型的信号流图如下与结构图类似由信号和结构两部分组成。x1x2x3x4x51abc-1-1节点代表信号，分为源节点(只有输入)，汇(阱)（只有输出）节点，混合节点（既有输入又有输出）。支路带箭头的线段代表结构，线段上表增益。例题 G1G2G3xixox1x2x3x4x5x61、结构图上前向通道上的每个线段可以认为是一个信号（节点）共8个，同一点的引出线用一个节点表示。2、按信号的传递关系用支路把节点
27、连接好,标出相应的传函。x2x1xix4x3x6x5x0-11-1-11-111G11G21G3二、MASON增益公式nkkkpP11Pnkp从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第从源点到阱点的第k k条前向通路总增益条前向通路总增益fedcbaLLLLLL1流图特征式aLcbLLfedLLLk所有单独回路之和(起点和终点是同一节点的回路)两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和流图余因子1、前向通路数n=42、前向通路增益分别为3、四个独立回路分别为1123213323412
28、3pGGGpGGpGGpGGGfedcbaLLLLLL1流图特征式132121234LGLGLGLGG单独回路增益和为-(G1+G2+G3+G1G2)单独回路中所有任意两个不接触单独回路增益积之和。同理 所有任意3个不接触单独回路中互不接触单独回路 增益乘积之和1 21 32 31 2 3b cl lG GG GG GG G Gfedlll321GGGlllfed第k条前向通道的特征式余因子 中去掉与 第K条前向通道相接触各回路增益（可令相接触各回路增益为0），剩余项。kkp321323121321213212311324332211)1 ()1 ()(1111GGGGGGGGGGGGGGGG
29、GGGGGGGsGGGB结构图简化系统实例已知结构图图下求取，开环传函，系统传函，误差传函，扰动传函G2G3G4G1EBRCN对输入的传递函数令N(s)=0G2G4G1BRG3RG3比较器后移，RG2+G4G2G1G3C比较器前移，(G2+G4)G3G2G1/ (G2+G4)rc34232142)(1)(GGGGGGGGGB扰动的传函另r(t)=0G2+G4G3NcG3NG2+G4c)(14233GGGGGBN误差传函N=0RG2+G4G2G1G3CaEb比较器前移顺反馈通道与a合并，G1G2G3（G2+G4）G3rE342321)(1)1 (GGGGGGGBE开环传函和特征方程为开环传函=（G2+G4）G3特征方程D（S）=1+ （G2+G4）G3=0 =1+开环传函=0本章小结一、四种数学模型微分方程、传递函数、系统结构图、信号流图二、基本概念系统的物理模型、数学模型、线形化、传递函数、传递函数的零点、极点，典型环节、系统的结构图、信号流图、系统的闭环传递函数及开环传递函数三、四个方法 建立系统微分方程的一般方法、绘制系统结构图的方法、由结构图求取闭环传函和开环传函的方法、绘制信号流图及应用梅孙公式求取闭环传函。
