1、主要内容主要内容n14.1控制系统的频域分析控制系统的频域分析n14.1.1频率特性概述频率特性概述n14.1.2频率特性的不同表示方法频率特性的不同表示方法n14.1.3MATLAB频域分析的相关函数频域分析的相关函数n14.1.4MATLAB频域分析实例频域分析实例n14.2基于频域法的控制系统稳定性能析基于频域法的控制系统稳定性能析n14.2.1频域法的稳定性判定和稳定裕度概述频域法的稳定性判定和稳定裕度概述n14.2.2频域法的控制系统稳定判定相关函数频域法的控制系统稳定判定相关函数n14.2.3MATLAB频域法稳定性判定实例频域法稳定性判定实例14.1控制系统的频域分析控制系统的频
2、域分析n14.1.1频率特性概述频率特性概述 频域法是一种工程上广为采用的分析和频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。它是一种图解分综合系统的间接方法。它是一种图解分析法，所依据的是频率特性数学模型，析法，所依据的是频率特性数学模型，对系统性能如稳定性、快速性和准确性对系统性能如稳定性、快速性和准确性进行分析。频域法因弥补了时域法的不进行分析。频域法因弥补了时域法的不足、使用方便、适用范围广且数学模型足、使用方便、适用范围广且数学模型容易获得而得到了广泛的应用。容易获得而得到了广泛的应用。n14.1.2频率特性的不同表示方法频率特性的不同表示方法n1. 对数坐标图对数坐标图 对
3、数坐标图即对数坐标图即Bode图，由对数幅频图，由对数幅频特性和对数相频特性曲线特性和对数相频特性曲线2张图组成。张图组成。 对数幅频特性幅度的对数值对数幅频特性幅度的对数值 与频率与频率 的关系曲线；对数相频特性是的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角频率特性的相角 与频率与频率 的关系曲的关系曲线。对数幅频特性的纵轴为线。对数幅频特性的纵轴为( )20lg( )()LAdB( ) ( )20lg( )()LAdB 采用线性分度；横坐标为角频率采用线性分度；横坐标为角频率 ，采用对数分度。对数相频特性的纵轴采用对数分度。对数相频特性的纵轴为为 ，单位为度，采用线性分度；横，单位为度，采用线
4、性分度；横坐标为角频率坐标为角频率 ，也采用对数分度。，也采用对数分度。横坐标采用对数分度，扩展了其表示的横坐标采用对数分度，扩展了其表示的频率范围。频率范围。( ) n2. 极坐标图极坐标图 极坐标图即极坐标图即Nyquist曲线。系统的频曲线。系统的频率特性表示为：率特性表示为： 频率特性频率特性 是输入信号频率是输入信号频率 的复变的复变函数，当频率从函数，当频率从 连续变化时，连续变化时， 端点的极坐标轨迹。端点的极坐标轨迹。MATLAB在绘制在绘制( )()( )( )( )jG jAepjq ()G j()G j0 Nyquist曲线时频率是从曲线时频率是从 连续变连续变化的。而在
5、自动控制原理的教材中一般化的。而在自动控制原理的教材中一般只绘制频率从只绘制频率从 部分曲线。可以分部分曲线。可以分析得出，曲线在范围析得出，曲线在范围 与与 内，内，是以横轴为镜像的。是以横轴为镜像的。 00 014.1.3MATLAB频域分析的相关函数频域分析的相关函数bode(G)bode(G,w)bode(G1,r-,G2,gx,)mag,phase,w = bode(G)mag,phase = bode(G,w)绘制系统绘制系统Bode图。系统自动选取频率范围图。系统自动选取频率范围绘制系统绘制系统Bode图。由用户指定选取频率范图。由用户指定选取频率范围围同时绘制多系统同时绘制多系
6、统Bode图。图形属性参数可图。图形属性参数可选选返回系统返回系统Bode图相应的幅值、相位和频率图相应的幅值、相位和频率向量。可使用向量。可使用magdb = 20*log10(mag)将幅值转换为分贝值将幅值转换为分贝值返回系统返回系统Bode图与指定图与指定w相应的幅值、相相应的幅值、相位。可使用位。可使用magdb = 20*log10(mag)将将幅值转换为分贝值幅值转换为分贝值表表14.1频域分析的相关函数用法及功能说明频域分析的相关函数用法及功能说明nyquist(sys) nyquist(sys,w) nyquist(G1,r-,G2,gx,)re,im,w = nyquist
7、(sys)re,im = nyquist(sys,w)绘制系统绘制系统Nyquist图。系统自动选取频率范围图。系统自动选取频率范围绘制系统绘制系统Nyquist图。由用户指定选取频率范围图。由用户指定选取频率范围同时绘制多系统同时绘制多系统Nyquist图。图形属性参数可选图。图形属性参数可选返回系统返回系统Nyquist图相应的实部、虚部和频率向量。图相应的实部、虚部和频率向量。返回系统返回系统Nyquist图与指定图与指定w相应的实部、虚部。相应的实部、虚部。n14.1.4MATLAB频域分析实例频域分析实例例例1：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为绘制系统的绘制系统的Bode图
8、。图。21000(1)( )(2)(174000)ksG ss sss s=tf(s); G=1000*(s+1)/(s*(s+2)*(s2+17*s+4000) Transfer function: 1000 s + 1000-s4 + 19 s3 + 4034 s2 + 8000 s bode(G) grid-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102103-270-225-180-135-90-45Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)图图14.1 例例1系统系统Bode图图-60-50-40-30-20
9、-10Magnitude (dB)100101102-270-225-180-135-90-45Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)图图14.2例例1系统的系统的Bode图图(指定频率范围指定频率范围)例例2：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为 绘制系统的绘制系统的Bode图。图。 25( )(2)(21)kG ssssnum=5;den=conv(1 2,1 2 1);w=logspace(-2,3,100); %指定频率范围指定频率范围mag,phase,w=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag); %
10、进行幅值的单位转换进行幅值的单位转换subplot(2,1,1);semilogx(w,magdB); %绘制对数幅频特性图绘制对数幅频特性图grid;title(系统系统Bode图图);xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Gain dB);subplot(2,1,2);semilogx(w,phase); %绘制对数绘制对数相频特性图相频特性图grid;xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Phase deg);10-210-1100101102103-200-1000100系 统 Bode图Frequency(rad/sec)Gai
11、n dB10-210-1100101102103-300-200-1000Frequency(rad/sec)Phase deg图图14.3 例例2系统的系统的Bode图图例例3：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为绘制绘制K取不同值时系统的取不同值时系统的Bode图。图。%K分别取分别取10，50,1000k=10 500 1000;for ii=1:32( )(10500)kKG sss G(ii)=tf(k(ii),1 10 500);endbode(G(1),r:,G(2),b-,G(3)title(系统K/(s2+10s+500)Bode图,K=10,500,1000,font
12、size,16);grid-100-80-60-40-20020Magnitude (dB)100101102103-180-135-90-450Phase (deg)系统K/(s2+10s+500)Bode图,K=10,500,1000Frequency (rad/sec)K=500K=1000K=10图图14.4 例例3K分别取分别取10，50,1000的系统的系统Bode图图n例例4：单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为 绘制系统绘制系统Nyquist曲线。曲线。22202010( )()(10)kssG sss snum=20 20 10;den=conv(1
13、 1 0,1 10);nyquist(num,den)-1-0.500.511.52-20-15-10-505101520Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis图图14.5 例例4系统的系统的Nyquist曲线曲线n 对于图对于图14.5，如果想要看清某部分细节，如果想要看清某部分细节，也可通过设置坐标范围进行局部放大，也可通过设置坐标范围进行局部放大，从而得到更清晰的局部图像，如图从而得到更清晰的局部图像，如图14.6。num=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);Nyquist(num,den)axis(-2 2 -5 5)-2-
14、1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis图图14.6 例例4局部放大的系统局部放大的系统Nyquist曲线曲线n同样，还可通过设置同样，还可通过设置 范围得到局部的范围得到局部的Nyquist曲线。如只绘制系统位于曲线。如只绘制系统位于 的的Nyquist曲线，如图曲线，如图14.7。num =20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);w=0.1:0.1:100;re,im=nyquist(num,den,w);0plot(re,im)axis(-2 2 -5 5);gri
15、d;title(系统系统(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist图图(omega0),fontsize,12);-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345系统(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist图(0)0)图图14.7 例例4系统系统Nyquist曲线曲线( )14.2基于频域法的控制系统稳基于频域法的控制系统稳定性能分析定性能分析n14.2.1频域法的稳定性判定和稳定裕频域法的稳定性判定和稳定裕度概述度概述 n1. Nyquist稳定判据稳定判据 如果开环模型含有如果开环模型含有m个正极点，则单位负反个正
16、极点，则单位负反馈下单变量闭环系统稳定的充要条件是开环馈下单变量闭环系统稳定的充要条件是开环系统的系统的Nyquist图逆时针围绕图逆时针围绕(-1,j0)点点m周周n2. 系统相对稳定性的判定（稳定裕度）系统相对稳定性的判定（稳定裕度） 系统的稳定性固然重要，但它不是唯一系统的稳定性固然重要，但它不是唯一刻画系统性能的准则，因为有的系统即使稳刻画系统性能的准则，因为有的系统即使稳定，使其动态性能表现为很强的振荡，也是定，使其动态性能表现为很强的振荡，也是没有用途的。因为这样的系统如果出现小的没有用途的。因为这样的系统如果出现小的变化就可能使系统不稳定。此时还应该考虑变化就可能使系统不稳定。此
17、时还应该考虑对频率响应裕度的定量分析，使系统具有一对频率响应裕度的定量分析，使系统具有一定的稳定裕度。定的稳定裕度。 相角稳定裕度相角稳定裕度 系统极坐标图上系统极坐标图上 模值等于模值等于1的矢量与负的矢量与负 轴的夹角：轴的夹角： 相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时 ，系统所允许的最大相位滞后。系统所允许的最大相位滞后。 ()G j( ) ( 180) 180( )cc 幅值稳定裕度幅值稳定裕度 系统极坐标图上系统极坐标图上 与负实轴交点（与负实轴交点（ ）的模值的模值 倒数：倒数：在对数坐标图上，采用在对数坐标图上，采用 表示表示 的分的分贝值，
18、有贝值，有()G jg()gG1()ggKGgLgK20lg20lg ()gggLKA 幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统增益所允许的最大增大倍数。态时，系统增益所允许的最大增大倍数。n3. 闭环系统频率特性性能指标闭环系统频率特性性能指标 通常，描述闭环系统频率特性的性能通常，描述闭环系统频率特性的性能指标主要有谐振峰值指标主要有谐振峰值 、谐振频、谐振频率率 、带宽和带宽频率、带宽和带宽频率 。其中：。其中：pMpb谐振峰值谐振峰值 指系统闭环频率特性幅值的指系统闭环频率特性幅值的最大值。最大值。谐振频率谐振频率 指系统闭环频率特性幅值出指系统闭
19、环频率特性幅值出现最大值时的频率。现最大值时的频率。带宽频率带宽频率 指当系统指当系统 的幅频特性的幅频特性 下降到下降到 时所对应的频率。时所对应的频率。系统带宽指频率范围系统带宽指频率范围 。pMpb()G j()G j2()2Gj0,b14.2.2基于频域法的控制系统稳定判定基于频域法的控制系统稳定判定相关相关MATLAB函数函数 除上节给出的函数可用于绘制频率响除上节给出的函数可用于绘制频率响应图形并用于判定系统稳定性之外，应图形并用于判定系统稳定性之外，MATLAB还提供了相关函数直接用于进还提供了相关函数直接用于进一步判定系统的稳定程度，见表一步判定系统的稳定程度，见表14.2。m
20、argin(G)Gm,Pm,Wg,Wp = margin(G)Gm,Pm,Wg,Wp = margin(mag,phase,w) 绘制系统绘制系统Bode图图, ,带有裕量及相应频率显示带有裕量及相应频率显示 给出系统相对稳定参数。分别为幅值裕度、给出系统相对稳定参数。分别为幅值裕度、相角裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率相角裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率 给出系统相对稳定参数。由给出系统相对稳定参数。由Bode函数得到函数得到的幅值、相角和频率向量计算。返回参数分别的幅值、相角和频率向量计算。返回参数分别为幅值裕度、相角裕度、幅值穿越频率、相角为幅值裕度、相角裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率
21、穿越频率S = allmargin(G) 返回相对稳定参数组成的结构体。包含幅值返回相对稳定参数组成的结构体。包含幅值裕度、相角裕度及其相应频率，时滞幅值裕度裕度、相角裕度及其相应频率，时滞幅值裕度和频率，是否稳定的标识符和频率，是否稳定的标识符表表14.2 基于频域法的控制系统稳定判定相关基于频域法的控制系统稳定判定相关MATLAB函数函数%用于求取谐振峰值用于求取谐振峰值 ,谐振频率谐振频率 ，带宽和带宽频率，带宽和带宽频率 mag,phase,w=bode(H,w);Mp,k=max(mag);resonantPeak=20*log10(Mp);resonantFreq=w(k);n=1
22、;while 20*log10(mag(n)=-3 n=n+1;endbandwidth=w(n);%根据闭环根据闭环Bode图求参数图求参数%求取谐振峰值求取谐振峰值%进行谐振峰值单位转换进行谐振峰值单位转换%求取谐振频率求取谐振频率%求取带宽和带宽频率求取带宽和带宽频率pMpb 对系统闭环频率特性的求取，对系统闭环频率特性的求取，MATLAB没有提没有提供相应的函数。可根据其定义，编写程序求取：供相应的函数。可根据其定义，编写程序求取：14.2.3MATLAB频域法稳定性判定实例频域法稳定性判定实例例例7：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。绘制其极坐标
23、图，并判定系统稳定性。10(5)(1)Gssnum=10;den=conv(1 5,1 -1);G=tf(num,den);nyquist(G)-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8Nyquist DiagramReal AxisImaginary AxisPole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.50-1.5-1-0.500.511.5System: untitled1Pole : -2 + 1iDamping: 0.894Overshoo
24、t (%): 0.187Frequency (rad/sec): 2.24System: untitled1Pole : -2 - 1iDamping: 0.894Overshoot (%): 0.187Frequency (rad/sec): 2.24例例7系统的系统的Nyquist曲线，曲线，结合开环极点和绕行圈数，可以看结合开环极点和绕行圈数，可以看出系统稳定出系统稳定 例例7系统的闭环零极点分布图系统的闭环零极点分布图也可以得出相同的结论也可以得出相同的结论 例例8：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。25(2)(2
25、5)Gsssnum=5;den=conv(1 2,1 2 5);G=tf(num,den);nyquist(G)-1-0.500.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis012345678900.050.10.150.20.250.30.350.40.45Step ResponseTime (sec)Amplitude图图14.15 例例8系统的系统的Nyquist曲线曲线 图图14.16 例例8系统的阶跃响应曲线系统的阶跃响应曲线 例例9：分别判定系统：分别判定系统 和和 的稳定性。
26、如果系统的稳定性。如果系统稳稳定，进一步给出系统相对稳定参数。定，进一步给出系统相对稳定参数。15(2)(5)Gs ss2200(2)(5)Gs ssnum1=5;den1=conv(1 2,1 5 0);G1=tf(num1,den1);margin(G1)figure(2)num2=200;den2=conv(1 2,1 5 0);G2=tf(num2,den2);margin(G2)-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 22.9 dB (at 3.16
27、 rad/sec) , Pm = 70.9 deg (at 0.484 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.17 例例9系统系统 的的Bode图图1G-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = -9.12 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = -24.2 deg (at 5.1 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.18 例例9系统系统 的的Bode图图2G例例10：单位负反馈系统的开环传递函数为：单
28、位负反馈系统的开环传递函数为 绘制闭环系统的绘制闭环系统的Bode图，并给出闭环频图，并给出闭环频率特性性能指标：谐振峰值、谐振频率率特性性能指标：谐振峰值、谐振频率和系统带宽。和系统带宽。1(0.51)(1)Gssss=tf(s);G=1/s/(0.5*s+1)/(s+1);H=feedback(G,1); %闭环系统传递函数w=logspace(-1,1); %给出从 共50个（默认）频率值 mag,phase,w=bode(H,w); %返回闭环系统bode图参数Mp,k=max(mag); %谐振峰值resonantPeak=20*log10(Mp) %谐振峰值单位转换resonant
29、Freq=w(k) %谐振频率n=1;while 20*log10(mag(n)=-3 n=n+1;endbandwidth=w(n) %系统带宽bode(H,w),grid; %系统bode图 1110 1010-1100101-270-180-900Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-60-40-20020System: GPeak gain (dB): 5.24At frequency (rad/sec): 0.791Magnitude (dB)图14.21 例10系统bode图运行结果：resonantPeak = 5.2388resonantFreq = 0.7906bandwidth = 1.2649精品课件精品课件！精品课件精品课件！练习nk=8,绘制Bode图和Nyquist图，判断其稳定性。如果稳定，求其幅值裕度和相角裕度。找到每个环节的转折频率，和手绘近似的Bode图进行比较，观察转折频率处的误差。n编程调整k的值，通过Bode图的相对稳定性，找到临界稳定时的k值，思考用幅值裕度和相角裕度来求解是否有区别？2541) 1 . 0()(22ssssssksG
