1、第 3 章作业参考解答3-1 试作附图中各圆杆的扭矩图。习题 3-1 附图解答 各杆的轴力图分别见解答附图(a)、(b)、(c)、(d)。2T10 T3T(a) Mx1004T(c) M /Nmx52 1.5312.5(b) M /kNmx(d) M /kNmx3-2 一传动轴以每分钟 200 转的角速度转动，轴上装有4 个轮子，如附图，主动轮 2 输入功率 60kW，从动轮 1，3，4 依次输出功率 15kW，15kW 和 30kW。（1）作轴的扭矩图。（2）将 2，3 轮的位置对调，扭矩图有何变化？解答 (1)各轮上作用的力偶矩为T4T3T2T1T115103 60= = 0.716kN
2、m2p 200习题 3-2 附图2.149T260103 60= = 2.865kN m ， 2p 2001.432T315103 60= = 0.716kN m2p 200(a) M /kNmx0.7161.432T430103 60= =1.432kN m2p 2000.716 = 2.149kN m 。 1.432扭矩图见附图(a)，最大扭矩为Mxmax(b) M /kNmx= 1.432kN m。 (2) 2，3 轮的位置对调后扭矩图见附图(b)，最大扭矩为Mxmax13-3 一直径d=60mm 的圆杆，其两端受T=2kNm 的外力偶矩作用而发生扭转，如附图示。设轴的切变模量G=80G
3、Pa。试求横截面上1，2，3 点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。解答 1，2，3 点处的切应力分别为t = 0.02T 2000t= = = 47.2 MPa3.140.06 /163W3pt= 2t /3 = 31.4 MPa13习题 3-3 附图切应力方向见附图(1)。最大切应变为gmax=t 47.2106= = 5.910-4maxG 80109t(1)1t33-4 一变截面实心圆轴，受附图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。习题 3-4 附图解答 扭矩图见附图(1)。300 最大切应力发生在AB 段100A D E CB300500 (1) Mx/Nmtmax=
4、MWx =P5001 p 2.5 103 -616=162.97MPa3-5 从直径为300mm 的实心轴中镗出一个直径为150mm 的通孔，问最大应力增大了百分之几?解答 实心和空心圆截面的扭转截面系数分别为WP1=1 1pD3 ，W = pD3 (1-a4 )16 16P2 tt1max 2 max1-a4 150 15W= = = 1- ( ) =P24W1 300 16P1最大应力增大的百分数t -t2 max 1maxt1max16= -1 = 6.67%1523-6 一端固定，一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如附图所示，试求：（1）轴的最大切应力。（2）两端截面的相对扭转角。
5、设 G=80GPa。A B E C D 1030p 40p60pM/Nmx习题 3-6 附图(1)解答 1.作扭矩图，需计算 AB 段和 CD 段中的最大切应力才能确定轴的最大切应力。60p MAB 段中：t = = = 35.56MPaxp 3 10maxW3 -6 1P 1640p 1640 M( ) ( )CD 段中：t = = = 10 = 24MPa-6 xp 3 1-a 10 27 1-3maxW9 4 -6 -4 1P 16= 35.56MPa 所以轴中tmax2相对扭转角分四段计算40p 0.2 30p 0.1 30p 0.1 60p 0.15Dj = Dj + Dj + Dj
6、 + Dj = + + +GI GI GI GI DC CE EB BAP1 P1 P2 P2=11p 12p p 11 12 + = + GI GIG I IP1 P2P1 P2 p 11= +80109 p 3 10 (1-3 )4 -8 -413213212 = 0.01143rad4 -8 p 3 10 3-7 一圆轴 AC 如附图所示。AB 段为实心，直径为 50mm；BC 段为空心，外径为 50mm，内径为 35mm。要使杆的总扭转角为 0.12，试确定 BC 段的长度 a。设 G=80GPa。解答 1作扭矩图，扭矩图见附图(1)。M= 100N mx2杆件 A、C 截面相对扭转角
7、分两段计算Dj = Dj + DjAC BC BA (0.9 - a) ，即M a M= ( )+x xGI GI1-a 4P PGI aDj= + 0.9 - a, 其中a35 0.7P AC4 50M1-ax GI Dj0.31596a = P AC - 0.9 M习题 3-7 附图100A BCx80109 54 10-8 0.12 0.9p pa = -32 1801000.31596 0.31596a m = 0.405M/Nmx(1)33-8 附图示合金圆杆 ABC，材料 G=27GPa，直径 d=150mm，BC 段内的最大切应力为120MPa。试求：（1）在 BC 段内的任一横
8、截面上 =0 和 =40mm 间部分面积上所承受的扭矩大小。（2）B 截面的扭转角。解答 （1）首先计算 T1。T1=tWmaxP=12010 p 0.15 = 79.52kN m6 3116=0 和 =40mm 间部分面积上所承受的扭矩大小为DM =x40120106 p 0.083 = 6.43kN m175 习题3-8 附图16（2）AB 段中的扭矩为Mx= T1- T2= 79.52 - 20p = 16.69kN mDjB16.69103 1.5= =1.86610 rad =1.07-2 02710 p 0.159 1 4323-9 附图示实心圆轴，承受均匀分布的扭转外力偶矩作用。
9、设轴的切变模量为G，求自由端的扭转角（用 m，l，G，d 表示）。解答 扭矩方程为x M (x) = (l - x)mx自由端扭转角Mdx l (l - x)mdx ml2 16ml2j = = = =xl 习题3-9 附图0 GI 0 GI 2GI Gpd4 P P P3-10 附图所示空心的钢圆轴，G=80GPa，内外半径之比a =rR= 0.6,B,C 两截面的相对扭转角j =0.03。求内、外直径 d 与 D 之值。解答 BC 段内的扭矩为 20kNm。DjBC20103 2 0.03p= =8010 pD (1- 0.6 ) 1809 1 4 432解得 D = 0.325m ，则d
10、 = 0.195m。习题 3-10 附图3-11 一外径为 50mm，壁厚为 2mm 的管子，两端用刚性法兰盘与直径为 25mm 的实心圆轴相连接，设管子与实心轴材料相同，试问管子承担外力偶矩 T 的百分之几?解答 由于变形协调，横截面上的应力沿径向成线性分布，实心轴的最大切应力与管子的最大切应力的关系为（见附图（1）习题3-11 附图4t1= 2550t= 0.5t2 2实心轴承受的扭矩为=pd t = p 0.025 0.5tT3 3 1 116 1 161管子承受的扭矩为2 tt12T2= 116pD3t2(1-a4 ) =p 0.053 (1- ( ) )t1 46 416 502其中
11、1- () = 0.2836 。管子承担外力偶矩 T 的百分比4 4650T2T+T1 20.053 0.2836= = 81.94%0.50.025 + 0.05 0.2836 (1)3 33-12 两端固定的 AB 杆，在 C 截面处受一外力偶矩 T 作用，如附图示，试导出使两端约束力偶矩数值上相等时，a/l 的表达式。解答 如两端约束力偶相等，则其值为0.5T。根据两段的相对扭转角相等的有条件有0.5Ta 0.5T(l - a)=1 pd G 1 pd G4 4 32 1 32 2a d4即有d a = d (l - a)，解得 =4 4 1+ d2 1l d4 41 2。习题 3-12
12、 附图 3-13 两端固定的圆杆，直径 d=80mm，所受外力偶矩 T=10kNm，如附图示。若杆的容许切应力t=60MPa，试校核该杆的强度。解答 设 D 处的约束力偶为 T 。根据 D 截面转角为零D的条件有T aa (T -T)a T+ + = 0D D DGI GI GITDP P= T /3 = 3.33kNm 。解得TD最大扭矩在 BC 段，且 MPx= 6.67kNm 。习题 3-13 附图t因为tmaxmax6.67103= = 66.3MPap 8 103 -6116 t = 60MPa ，不满足强度条件。 3-14 附图示传动轮的转速为 200rmin，从主动轮3 上输入的
13、功率是 80kW，由 1,2,4,5轮分别输出的功率为 25,15,30 和 10kW。设t=20MPa。（1）试按强度条件选定轴的直径。（2） 若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。习题 3-14 附图51.911.1940.477(1) Mx/kNm1.915解答 1.由输入和输出功率计算等效力偶25 15T =1.194kN m , T = 9.55 = 0.7163kN m= 9.55200 2001 2T430 10= 9.55 =1.433kN m , T = 9.55 = 0.4775kN m200 2005T380= 9.55 = 3.82kN m2002.作扭转图见附图（
14、1）。Mx max tM =1.91kN m, t =Wx max P1.91103 1 -4 16 0.95510-4W 2010 = 0.95510 , d p3P6= 0.0786md 取 79mm，适用于全轴。161.19375103d ,32010 p16d1= 67mm ，适用于 1，2 轮之间。d 3216 0.4775103 ,20106 pd3= 50mm ，适用于 4，5 轮之间。3-15 附图示传动轴的转速为 n=500 r/min，主动轮输入功率P =500kW，从动轮2，3 输1出功率分别为 P 200kW，P300kW。已知t70MPa，q10/m，G8104MPa
15、。2 3（1）确定 AB 段的直径 d和 BC 段的直径 d2。T2T3（2）若AB 和 BC 两段选用同一直径，试确定直径d。解答 (1)由输入和输出功率求等效力偶 T1T1= 9.55500500= 9.55kN m习题 3-15 附图T2200= 9.55 = 3.82kN m 500A B C300T= 9.55 = 5.73kN m 5003作扭矩图见附图（1）。由强度条件：tmax= MWx t P9.555.73(1) M/kNmx6169.5510 165.7310 3 3d d m d d , = 0.089 . ,3 37010 p 7010 p 6 61 1 2 2由刚度
16、条件：q = qMxGI= 0.075m329.55103 325.37103d4 4 , d = 0.091m. d , d810 p 180 810 p 1801 1 2 210 2 10 2= 0.080m为满足强度和刚度条件，直径 d1取 91mm，直径 d2取 80mm。(2) 若 AB 和 BC 两段选用同一直径，可取 91mm。3-17 一实心圆杆，直径d=100mm，受外力偶矩T 和 T 作用，如附图示。若杆的容许切1 2应力 t80MPa ；900mm 长内的容许扭转角 j=0.0014rad ，求 T和 T 的值。已知1 2G=80104MPa。解答 最大扭矩为 M由强度条
17、件x,max= T1+T2T+Tt = 2 t = 80MPa1max Wp由刚度条件0.6(T + T ) 0.3TDj = + j = 0.00141 2 2GI GIp p= 5.23kN,T =10.5kN 。由上两方程可解得T2 1习题 3-17 附图3-18 附图所示矩形截面钢杆受外力偶矩作用，已知 T=3kNm，材料的切变模量G=80103MPa。求：（1）杆内最大切应力的大小、方向、位置。（2）单位长度杆的最大扭转角。解答 (1) 杆内最大扭矩为M= 2T x max最大切应力位于最大扭矩横截面周线上长边的中点，方向与边相切，其值为习题 3-18 附图 m =1.5, a =
18、0.346, b = 0.294tmax6103M= = = 80.28MPaxmaxW 30.346 0.06T（2）单位长度杆的最大扭转角为qmax6103M= = =1.9710-2 rad / mx maxGI 9 48010 0.2940.06T73-19 工字形薄壁截面杆，如附图示，长 2m，两端受 0.2kNm 的外力偶矩作用而扭转。设 G=80103MPa，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。解答 最大切应力发生在腹板和下翼缘长边的中点。tmax=Mx1 h d 33 iidmax=0.2103 0.0130.0913 10-6 + 20.1213 10-6=6(0.09 + 0.24)10-6=18.18MPa最大单位长度的扭转角为 习题 3- 19 附图0.2103 3 Mx ( ) q = =d 3 80109 0.0913 10-6 + 2 0.1213 10-6 1 G h3i i=0.610380 (0.09 + 0.24)103= 0.0227rad / m8
