1、n小李自广西大学营销专业毕业进入利客隆工作前天刚小李自广西大学营销专业毕业进入利客隆工作前天刚过过1年，昨天得到了一个好消息，公司调它到总部做配年，昨天得到了一个好消息，公司调它到总部做配送调度。小李送调度。小李very,very高兴，说公司很给力，决定一高兴，说公司很给力，决定一定要做好这份工作。而公司也希望借用小李的学识，定要做好这份工作。而公司也希望借用小李的学识，以进一步规范企业配送，提高质量，降低成本，在沃以进一步规范企业配送，提高质量，降低成本，在沃尔玛、南城百货等大型超市挤压下争取生存机会。但尔玛、南城百货等大型超市挤压下争取生存机会。但对小李来说，调度还真是新鲜事。对于干了对小
2、李来说，调度还真是新鲜事。对于干了1年的小李，年的小李，对公司的规模、布局了如指掌。对公司的规模、布局了如指掌。利客隆利客隆 超市分部图超市分部图总部总部怎么走，成本最低？应该先送哪一个商店？怎么走，成本最低？应该先送哪一个商店？现需要送现需要送20吨百货到吨百货到A、B等等10个分店，个分店，每个分店的需求都很零散，每个分店的需求都很零散，至少需要多少什么型号的车辆？至少需要多少什么型号的车辆？每天各个分店都有部分百货要运回或转移到每天各个分店都有部分百货要运回或转移到其他分店，怎么运输车辆返空率最低，成本最低？其他分店，怎么运输车辆返空率最低，成本最低？小李的答案类似解小李的答案类似解太原
3、重庆武汉南京徐州连云港上海郑州石家庄塘沽青岛济南天津北京长途运输路线问题长途运输路线问题n长虹街道近年新建了长虹街道近年新建了11个居民小区，各小区的大致位个居民小区，各小区的大致位置及相互间的道路距离如图所示，单位（置及相互间的道路距离如图所示，单位（100m），），各居住小区居民数为：各居住小区居民数为：2000, 3000, 3500, 3700, 5000, 2800, 4500。123456764472235567政府的难题政府的难题n政府想在政府想在7个小区准备共建一套医务所、邮局、个小区准备共建一套医务所、邮局、储蓄所等服务设施，应建于哪一居民小区，使储蓄所等服务设施，应建于哪一
4、居民小区，使对居民总体来说感到方便。对居民总体来说感到方便。n电信部分拟将布设宽带到各个小区，应如何铺电信部分拟将布设宽带到各个小区，应如何铺设最为经济？设最为经济？n工作组组织考察，从小区出发，经过各小区工作组组织考察，从小区出发，经过各小区（顺序不限），最后到小区再离去，哪条路（顺序不限），最后到小区再离去，哪条路最近？最近？ 图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生
5、活中的项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。以解决。 随着科学技术的进步，特别是电子计算机技随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展，术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问应用更加广泛。
6、如果将复杂的工程系统和管理问题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到工程技术人员和经营管理人员的重视。工程技术人员和经营管理人员的重视。 1736 1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一篇科学论文面的第一篇科学论文与位置几何有关的一个与位置几何有关的一个问题的解问题的解 ，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。题。17世纪的东普鲁士有一座哥尼斯堡城（现世纪的东普鲁士有一座哥尼斯堡城（现在叫加里宁格勒，在
7、波罗的海南岸），在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸），城中有城中有一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。哥尼斯堡一角哥尼斯堡一角BACD 当地的居民热衷于当地的居民热衷于这样一个问题，这样一个问题，一个漫一个漫步者如何能够走过这七步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原走过一次，最终回到原出发地。出发地。尽管试验者很多，尽管试验者很多，但是都没有成功。但是都没有成功。 为了寻找答案，为了寻找答案，17361736年欧拉把年欧拉把陆地缩为一
8、点，把桥作为连接点的陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个问题抽象成图形的一笔边，将这个问题抽象成图形的一笔画问题。即画问题。即能否从某一点开始不重能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到复地一笔画出这个图形，最终回到原点。原点。欧拉在他的论文中证明了这欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。中的第一个著名问题。ABCDBACD 在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的在实际的生产和生活中，人们为
9、了反映事物之间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。 例例 有六支球队进行足球比赛，我们分别用点有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1 1v6 6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已知以用图反映出来，已知v1 1 队战胜队战胜v2 2 队，队，v2 2 队战胜队战胜v3 3队队，v3 3 队战胜队战胜v5 5 队，如此等等。这个胜负情况，可以用队，如此等等。这个胜负情况，可以用下图所示的有向图反映出来。下图所示的有向图反映出来。 我们就把类似以上的几个例子中通过点和点之
10、间我们就把类似以上的几个例子中通过点和点之间的线来反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的的线来反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的特定关系的特定关系的所构成所构成图形称为图形称为图（图（GraphGraph）。一般来说，。一般来说，通常用通常用点点表示研究表示研究对象对象, ,用用点与点之间的线点与点之间的线表示研究对表示研究对象之间的特定象之间的特定关系关系。由于在一般情况下，图中的相对。由于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图对象之间的关系，显的并不重要，因此
11、，图论中的图与几何图，工程图等本质上是不同的。与几何图，工程图等本质上是不同的。 图论中所研究的图，是指反映或描述自然界或图论中所研究的图，是指反映或描述自然界或人类社会中，大量的事物及事物之间关系的图形。人类社会中，大量的事物及事物之间关系的图形。是是。，它的集合用，它的集合用V（Vertex）表示，顶点通常表示有形或无形的事物。表示，顶点通常表示有形或无形的事物。，它的集合用，它的集合用E（Edge）表示，边通常表表示，边通常表示事物与事物（点与点）之间的联系或特定的关系。示事物与事物（点与点）之间的联系或特定的关系。 某地区有五某地区有五个镇个镇A、B、C、D、E它们之间有公路它们之间有
12、公路相通的情况如图所相通的情况如图所示。示。 在图论中，我们只关心在图论中，我们只关心两点间是否有联系两点间是否有联系，至于至于公路的大小、等级、状况均无关紧要，亦即公路的大小、等级、状况均无关紧要，亦即不考虑线不考虑线段（边）的长度段（边）的长度，点的位置带有随意性点的位置带有随意性，它们，它们并不按并不按比例尺画比例尺画，如五个镇之间的连接图也可画成右图表示。，如五个镇之间的连接图也可画成右图表示。 ABCDE ： 一个图是由点集一个图是由点集V=vi 和和V中元素的中元素的无序对集无序对集E= ek 所构成的二元组，记作：所构成的二元组，记作：G =（V，E），其中，其中 vi 称为顶点
13、，称为顶点，ek 称为边。称为边。|V | 表表示顶点个数，示顶点个数，|E | 表示边的个数。当表示边的个数。当V和和E都是有都是有限集合时，限集合时，G为有限图，否则，称为无限图。本为有限图，否则，称为无限图。本书只论及有限图。图中所有边都没有方向，称为书只论及有限图。图中所有边都没有方向，称为无向图无向图，否则称为，否则称为有向图有向图。例如下面图。例如下面图6-3-3，即，即为无向图为无向图.无向图无向图G =（V，E） 其中：其中：V v1、v2、v3、v4、v5 E e1、e2、e3、e4、e5、e6、e7并且：并且： e 1 （v1、v2） e 2（v1、v2） e 3 （v1、
14、v3） e 4 （v1、v4） e 5 （v3、v4） e 6 （v3、v3） e 7 （v2、v5）图6-3有向图有向图D（V，A）V为顶点集为顶点集A（arc）为边或弧）为边或弧和同一个顶点相和同一个顶点相连的边，均称为该点的连的边，均称为该点的关联边，如图关联边，如图6-4-4中的中的e24、e34、e45均是均是v4的关的关联边。联边。一条边的两个顶一条边的两个顶点，称为相邻点，如点，称为相邻点，如v2与与v4，v4与与v5等是相邻等是相邻点，而点，而v2与与v5则不是。则不是。v1v5v4v3v2e12e34e13e24e22e13e45图图 6.1图图 6-46-4 两个顶点相同的
15、两个顶点相同的边称为边称为环环，如，如e2222，两个顶点之间的两个顶点之间的边数边数22时时, ,叫叫多多重边重边, ,如如e13 13 , ,e1313就是二重边。就是二重边。v1v5v4v3v2e12e34e13e24e22e13e45图图 6.1图图 6-46-4一个顶点一个顶点v具有关联边的总数称为该顶点的次，具有关联边的总数称为该顶点的次，记作记作d(v)（每个环视作两条边），如图（每个环视作两条边），如图6-46-4。 d(v1)= 3= 3，d(v2)= 4= 4， d(v5)= 1= 1。 把次为奇数的顶点称把次为奇数的顶点称 为为奇顶点奇顶点，次为偶数，次为偶数 的顶点称为
16、的顶点称为偶顶点偶顶点。v1v5v4v3v2e12e34e13e24e22e13e45图图 6.1图图 6-46-4： 次为次为1 1的顶点称为的顶点称为悬挂点悬挂点，如，如v5 5。次为。次为0 0的顶点称为的顶点称为孤立点孤立点，如如v6 6。v1v5v4v3v2e12e34e13e24e22e13e45图图 6.1图图 5-45-4v6 6无环、无多重边的图称为无环、无多重边的图称为简单图简单图，如图，如图6-4(a)6-4(a)、(b)(b)、(c)(c)，后面如无特殊说明，均指简单图。，后面如无特殊说明，均指简单图。图6-4（a）图6-4（b）图6-4（c）在图在图G=(V，E)中，
17、若中，若V1 V，E1 E，则，则图图G1=(V1、E1)称为称为G的的子图子图，如图，如图6-46-4中的中的(b)就是就是(a)的的子图。特别地：子图。特别地：V1=V，E1 E时，称时，称G1是是G的的支撑子图支撑子图( (生成子图）。如图生成子图）。如图6-46-4中中(c)、(b)都是都是(a)的支撑图。的支撑图。图6-4（a）图6-4（b）图6-4（c） 在任何图中顶点次数总和等于边数的在任何图中顶点次数总和等于边数的2 2倍。倍。 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 即奇顶点必有偶数个。即奇顶点必有偶数个。 无向图无向图G=(V，E)中，称某
18、些点及其关联边的中，称某些点及其关联边的交替序列交替序列v1 e1 v2 e2 en vn 为为从从v1到到vn的一条的一条链链，v1、vn分别称为链的分别称为链的始点始点和和终点终点，链长为，链长为n。 若一条链的若一条链的始点与终点重合始点与终点重合，则称为，则称为闭链闭链( (在在无向图中闭链又称为回路）无向图中闭链又称为回路），否则，称为，否则，称为开链开链。点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称为为简单链简单链。点边序列中若既没有重复的点也无重。点边序列中若既没有重复的点也无重复的边，则称为复的边，则称为初等链初等链（也称为（也称为通路通
19、路）。例如在图例如在图6-5中：中： S=v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3是一是一条连接条连接v6、v3的链，链长为的链，链长为6. S1=v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4 e4 v3是一条连接是一条连接v6、v3的简单的简单链，链长为链，链长为5.S2=v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3是一条连接是一条连接v6、v3的初等链。的初等链。 e1e2 e3 e4e6 e7 e8 e9 e10 v1v2 v3 v4v5v6e5 在无向图中，若顶点在无向图中，若顶点vi与与vj之间存在链，之间存在链， 则称则称vi与与
20、vj是是连通的连通的。 vi与自身是连通的与自身是连通的 若无向图若无向图G中的任意两个顶点都是连通的，中的任意两个顶点都是连通的， 则称则称G是是连通图连通图，否则称否则称G是是非连通图非连通图。3. 3. 网网 络络 一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一个网络网络一般是连通图定义在边集上的实函数个网络网络一般是连通图定义在边集上的实函数称为边的权数记为称为边的权数记为 wijw (vi，vj) 它与边它与边(vi，vj)具有一一对应关系，可以用以表达具有一一对应关系，可以用以表达网络上的各种有关性质，如路长、流量、费用等网络上的各种有关性质，
21、如路长、流量、费用等等网络的图解即在每条边旁标上相应的权数等网络的图解即在每条边旁标上相应的权数 若一网络的每条边都是无向边，则称为无向网络，若一网络的每条边都是无向边，则称为无向网络，记为记为N( (G，w ) ) 或或 N(V，E ) 若一网络的每条边都是有向边，则称为有向网络，若一网络的每条边都是有向边，则称为有向网络，记为记为 N( D，w ) 或或 N ( V，A ) 若一网络中既有无向边，也有有向边，则称为混合若一网络中既有无向边，也有有向边，则称为混合网络网络 所谓网络分析，即对网络进行定性和定量分析，以便所谓网络分析，即对网络进行定性和定量分析，以便为实现某种优化目标而寻求最优
22、方案这方面的典型问题为实现某种优化目标而寻求最优方案这方面的典型问题有：最小树问题有：最小树问题，最短路问题，最短路问题，中心问题，重心问题，中心问题，重心问题，最最大流问题大流问题，最小费用最大流问题最小费用最大流问题，网络计划问题网络计划问题，等等，等等 3. 3. 网网 络络 从从v v1 1到到v v6 6的路线是很多的路线是很多的。比如从的。比如从v v1 1出发，经过出发，经过v v2 2 ,v,v4 4到达到达v v6 6或者从或者从v v1 1出出发，经过发，经过v v2 2，v v3 3，v v5 5到达到达v6v5v3v1v4v2365112436 v v6 6等等等等。但
23、不同的路线，经过的总长度是不同的。例如，。但不同的路线，经过的总长度是不同的。例如，按照第一个线路，总长度是按照第一个线路，总长度是3+6+3=123+6+3=12单位，按照第二个路单位，按照第二个路线，总长度是线，总长度是3+1+1+6=113+1+1+6=11单位。单位。基本算法有两种基本算法有两种：Dijkstra算法：求某一点到其他各点之间的最短距离算法：求某一点到其他各点之间的最短距离矩阵算法：求任意两点之间的距离。矩阵算法：求任意两点之间的距离。1 1、Dijkstra算法），它是在算法），它是在19591959年提出来年提出来的。目前公认，在所有的权的。目前公认，在所有的权wij
24、 00时，这个算法是寻时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并且，这个算法实际上也求最短路问题最好的算法。并且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点给出了寻求从一个始定点vs到任意一个点到任意一个点vj的最短路。的最短路。1234假定1234是14的最短路。则123一定是13的最短路，234也一定是24的最短路。1234反证：设13的最短路为153。则1534的路长肯定小于1234。这与假设矛盾。5 设dij表示两个相邻点ij点距离；如果不相邻 设Lsi表示不相邻的S-i之间的距离。 为了标志最短路的点，就对其标号。整个方法里面有两种标号： （1）最短路上的点的标号，用P（permanen
25、t）表示; （2）不是最短路上的点的标号，用T(temporary)表示。ijd 步骤： （1）初始化，从起点s出发，给起点标P号，距离值为0，即P(s) =0, 其余个点标T号，距离为 。 （2）考察与s相应的点，计算s到这些点的距离 然后，在所有标T号的点中，选择距离最小的那个标P号。)(iT)(),(minsisidsPiTL 步骤： （3）考察新P的点，方法同（2），直到所有点都都考察完毕，标上P号。 （4）根据P号点距离值的来源，追溯最短路径即求出最短路。例例6 求求v1到到v6的最短路。的最短路。（1 1）首先给）首先给v1以以P标号标号，P(P(v1) )0 0，给其余所有点，给
26、其余所有点T标号，标号，T( (vj) )（ j = 2= 2，3 3， 6) 6) P标号以标号以（ ）形式标形式标在结点旁边，在结点旁边，T标号以标号以不带（）的数字标在结不带（）的数字标在结点旁边点旁边 .v6v5v3v1v4v2365112436P(P(v2 )= )= （3 3）P(P(v3 )= )= （4 4）v6v5v3v1v4v23651124369 9（2 2）考察）考察 v1: : T( (v2)=)=min min T( (v2) )，P(P(v1) ) +a12 min min ，0 03 = 33 = 3T( (v3)=)=min min T( (v3) )，P(P
27、(v1) ) +a13 min min ，0 05 = 55 = 5所以，所以，P(P(v2 )= )= （3 3）考察）考察 v2: :T( (v3)=)=min min T( (v3) )，P(P(v2) ) +a23 min 5min 5，3 31 = 41 = 4T( (v4)=)=min min T( (v4) )，P(P(v2) ) +a24 min min ，3 36 = 96 = 9所以，所以，P(P(v3)=)=T(T(v3 )= )= T(T(v4)= )= P(P(v5)= )= （3 3）（4 4）v6v5v3v1v4v23651124369 9（5 5）T(T(v4)
28、= )= （4 4）考察）考察 v3: : T( (v5)=)=min min T( (v5) )，P(P(v3) ) +a35 min min ，4 41 = 51 = 5T( (v4)=)=min min T( (v4) )，P(P(v3) ) +a34 min 9min 9，4 44 = 84 = 8所以，所以，P(P(v5)= )= （5 5）考察）考察 v5: :T( (v6)=)=min min T( (v6) )，P(P(v5) ) +a56 min min ，5 56 = 116 = 11T( (v4)=)=min min T( (v4) )，P(P(v5) ) +a54 mi
29、n 8min 8，5 52 = 72 = 7所以，所以，P(P(v4)= )= 8 8T(T(v6)= )= 1111（7 7）P(P(v4)= )= （3 3）（4 4）v6v5v3v1v4v2365112436（5 5）（7 7）（6 6）考察）考察 v4: :T( (v6)=)=min min T( (v6) )，P(P(v4) ) +a46 min 11min 11，7 73 = 103 = 10所以，所以，P(P(v6)= )= 所有点都标上所有点都标上 P P 标号标号P(P(v6)= )= (7) (7) 标出最短路标出最短路 v1到到v6的最短路的最短路可从可从v1开始，根据永久性标号开始，根据永久性标号数值回溯得到数值回溯得到(7) (7) 标出最短路标出最短路 最短路径是：最短路径是：v1v2v3v5v4v6 ，路长，路长1010同同 时得到，到其余各点的最短路，即各点的永久性标号时得到，到其余各点的最短路，即各点的永久性标号P P（vi） 注意：注意： 双标号法只适双标号法只适用于所有用于所有wij 00的情形，当赋权的情形，当赋权有向图中存在负有向图中存在负权时，则算法失权时，则算法失效效 （3 3）（4 4）v6v5v3v1v4v2365112436（5 5）（7 7）
