1、2022-3-251 第三节第三节 泰勒（泰勒（Taylor)Taylor)公式公式一一 问题的提出问题的提出二二 nP和和nR的的确确定定 三三 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理四四 常用常用n n阶泰勒公式及其简单应用阶泰勒公式及其简单应用五五 小结与思考判断题小结与思考判断题2022-3-252一一 问题的提出问题的提出1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有 )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf )()(0 xfxf关系，有关系，有根据极限与无穷小量的根据极限与
2、无穷小量的)()()()(0000 xxxfxxfxfxfdyy )()()()(0000 xxOxxxfxfxf 2022-3-253不不足足问问题题寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到 )1( n阶阶导导数数, ,)(xP为为多多项项式式函函数数 误差误差 )()()(xPxfxRnn xxxexxxx )1ln(,1,sin, 0nnnxxoxxaxxaaxf)()()()(
3、00010 )(xPn)(xRn2022-3-254二二 nP和和nR的的确确定定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x2022-3-255假设假设 nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(n
4、kxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 2022-3-256三三 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有 0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则当则当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的的一个一个 n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfx
5、xxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x与与x之之间间) ). . 2022-3-257证明证明: : 由由假假设设, ,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,且且两函数两函数)(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及x为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn2022-3-258如
6、如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 两两函函数数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之间之间与与在在nx 0, ,也在也在 0 x与与 x之间之间) ) )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 2022-3-259 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的
7、n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则则由由上上式式得得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 2022-3-2510定理定理1 （带（带lagrange余项的泰勒定理）余项的泰勒定理）如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 x0)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()
8、!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x与与 x之之间间) ). . 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项2022-3-2511 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即定理定理2 （带（带peano余项的泰勒定理）余项的泰勒定理）如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 x0)()(!)()(!2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf 2022-3-25121 1. . 当当0 n时时, ,泰泰
9、勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 几点说明：几点说明：2022-3-2513nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 1)1()!1()(nnxnf) 1 , 0(（3） 00 x（麦克劳林公式）（麦克劳林公式）2022-3-2514四四 常用常用n阶泰勒公式及其简单应用阶泰勒公式及其简单应用例例 1 1 求求xexf )(的的 n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . 解
10、解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR2022-3-2515! 212nxxxenx !1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n)!1( neRn2022-3-2516)2sin()()(nxxfn 解解：)2sin()0(1)0(, 0)0(, 1)0(, 0)0()(nfffffn Rmmmxxxxxx212753)!12(!7! 5! 3sin 122)!12(2)12(sin mmxmmxR
11、10例例2 2 求求 的的n n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .xxfsin)( 2022-3-2517xxm sin, 13! 31sin, 2xxxm 53! 51! 31sin, 3xxxxm 0123400 .51tra c e 1sin()xxxy sinxy xxy3! 31 xxxy53! 51! 31 2022-3-2518例例3 求求xxxfln)(3 在在x=1点的四阶泰勒公式点的四阶泰勒公式; 1) 1 (,ln3)(, 0) 1 (22 fxxxxff2)5()4()4(6)(; 6)1(,6)(;11)1(,11ln6)(; 5)1(,5ln6)(xxffxxffx
12、xffxxxxf )1)1)15)5(4)4(2(!5)(!4)1(!2)1()1)(1()1()( xxfxffxffxf 2022-3-2519例例4：求极限：求极限3)1(sinlimxxxxexx )(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 3)1(sinlimxxxxexx333332)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 3333)(! 3! 2limxxoxxx 61 2022-3-2520罗尔定理Lagrange 定理柯西定理泰勒公式罗必塔法则条 件，结论五五 小结与思考判断题小结与思考判断题2022-3-2521 其它函数的麦克劳林公式其它函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 2022-3-2522435)4(234 xxxxx的乘幂展开多项式的乘幂展开多项式按按思考判断题思考判断题
