1、& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部
2、是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）,2 , 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，
3、比比较较)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证！得证！nnnzzzf)()()(0010 证明证明(不讲不讲) kdzfizfCauchykzDrzrzk )(21)(:, ,:00积积分分公公式式由由内内任任一一点点为为设设, 100
4、qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz 级级数数处处的的在在函函数数逐逐项项积积分分得得沿沿着着两两端端乘乘以以Talorzzfzznzfzfzfdzfizzdzfizzdzfidzfizfkifnnknnkkk000)(001002000)()4()(!)()( )()()(2)()()(2)(21)(21)(,2)( (不讲不讲)!.)(,)4(0000证证毕毕离离的的边边界界上上各各点点的的最最短短距距到到从从级级数数收收敛敛半半径径至至少少等等于于处处的的解解析析点点在在内内即即可可及及其其内内部部包包含含在在只
5、只要要圆圆可可以以任任意意增增大大的的半半径径圆圆的的圆圆域域为为半半径径为为中中心心，的的收收敛敛范范围围是是以以级级数数DzTaylorzzfDkrkrzrz 证明证明(不讲不讲)收收敛敛圆圆周周上上. .只只能能在在收收敛敛半半径径还还可可以以扩扩不不然然的的话话, ,不不可可能能在在收收敛敛圆圆外外, ,奇奇点点又又不不可可能能在在收收敛敛圆圆内内. .所所以以奇奇点点圆圆内内解解析析在在收收敛敛这这是是因因为为在在收收敛敛圆圆上上, , 奇奇点点因因此此, ,大大, ,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之间间的的距距离离, ,的的最最近近的的
6、一一个个奇奇点点到到等等于于从从展展开开式式的的收收敛敛半半径径的的在在解解析析点点那那么么有有奇奇点点, ,若若( (1 1) )2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数
7、:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此类类推推得得，由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。级数为：时当Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级
8、数的方法：级数的方法：.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( Renzzzzeneeznzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12(221kkkkkkkz
9、kzii 1121753!)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzzA 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐项项积积分分得得的的展展开开式式两两边
10、边沿沿将将的的路路径径内内任任意意取取一一条条从从在在收收敛敛圆圆cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为 z 1.1,11, 1)1(111)2(22422 RizzRxxxxnn有有两两个个奇奇点点在在复复数数域域中中容容易易看看出出看看清清楚楚, ,在在实实数数域域中中的的不不容容易
11、易为为什什么么它它的的收收敛敛半半径径在在实实数数域域中中定理定理.)()()2(.)()()()1(0000幂幂级级数数内内可可展展成成在在内内解解析析在在区区域域函函数数数数某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂级级的的在在解解析析在在点点函函数数DzfDzfzzczzfzzfnnn 解解析析在在点点小小结结：0)(zzf级级数数。的的某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂在在点点。正正向向封封闭闭路路线线的的积积分分为为邻邻域域内内的的任任一一条条的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且沿沿在在点点方方程程。且且满满足足导导数数的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续偏偏的的实实部部和和虚虚部部在在
12、点点的的某某一一邻邻域域内内可可导导。在在点点0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfRCzzfzzf & 1. 预备知识预备知识& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性4.4 罗朗罗朗(Laurent)级数级数 由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z - z0R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不
13、可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0 R2 内解析，内解析，那么，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时时当当 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 内解析内解析, , f (z
14、) 可可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。1. 预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见第三章第见第三章第18题题，：、且且作作圆圆周周：解解析析内内在在设设Rzzr
15、DDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 01210201201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，对对1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(2. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常数都是常数及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn负幂项部分负幂项部分：)3()()()(01011
16、0 nnnnnzzczzczzc级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在 z - z0 = =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在z - z0=R 2外发散。外发散。 则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz 级级数数发发散散。级级数数收收敛敛则则当当设设其其收收敛敛半半径径为为为为幂幂级级数数级级数数对对变变数数RRR ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100则则级级数数代代回回得得将将令令RRzzzz .;)(,1010发发散散当当且且和和为为收收敛敛当当RzzzsRzz
17、z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR 。且和且和收敛收敛称称，此时，此时，区域即圆环域：区域即圆环域：有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn.)()4(2010以以逐逐项项求求积积和和逐逐项项求求导导和和函函数数是是解解析析的的而而且且可可内内的的在在级级数数RzzRzzcnnn A 02100)3(zzRR：，收收敛敛域域为为此此时时可可以以可可以以。，发发散散处处处处称称时时当当 nnnzzcRR)()1(021(2)(2)在圆环域的边界在
18、圆环域的边界z - z0=R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。点点收收敛敛，有有些些点点发发散散可可能能有有些些)(03. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的的任任何何一一条条简简单单闭闭曲曲线线内内绕绕是是其其中中则则内内解解析析在在设设zDcndzzzzficzzczfRzzRDzfcnnnnn 级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 证明证明 由复连通域上的由复连通域上的
19、Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 记为记为I1记为记为I2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推导导得得：重重复复 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzd
20、fizzdzfiI :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以两边乘以kif 式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不
21、是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开
22、为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线，内内任任何何一一条条绕绕为为设设0的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成
23、级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。例例1解解展展开开成成洛洛朗朗级级数数。在在求求 zzz0sin 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!31!5!3142
24、53zzzzzz.03级级数数内内展展开开成成在在将将Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez nttntte!1! 2112在在复复平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn例例4级级数数。的的内内展展开开成成（在在以以下下圆圆环环域域将将Laurentzziiiziizizzzf02)(;21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（
25、解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn没没有有奇奇点点2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)( zzziiizzzzzzzf211111112111)( 2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz注意首项注意首项次次积积分分等等计计算算来来获获得得。、逐
26、逐次次求求导导、逐逐泰泰勒勒展展开开式式，经经过过代代换换基基本本初初等等函函数数的的展展开开式式，可可以以利利用用已已知知等等函函数数的的洛洛朗朗对对于于无无理理函函数数及及其其他他初初)1(2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。形式。小结：把小结：把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数的方法：级数的方法：级级数数。域域内内展展开开成成的的去去心心邻邻在在以以点点将将La
27、urentzzzzzf2, 1)2)(1(1)( 解解 (1) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12) 1(11112111)( zzzzzf 20)2()1(111)1(11zzzzznn110 z (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域120 zxo12) 2(11212111)( zzzzzf 20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn内内展展开开成成幂幂级级数数。在在区区域域将将 10)2(, 1)1(11)(zzezzfz练习：练习：A 这这与与唯唯一一性性并并不不矛矛盾盾。不不同同的的区区域域上上的的展展式式，级级数数展展式式，这这是是因因为为在在
28、数数由由许许多多种种不不同同的的由由此此可可以以看看出出同同一一个个函函)1(2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数。级数。A (3) Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点： Taylor级数先展开求级数先展开求R, 找出收敛域。找出收敛域。 Laurent级数先求级数先求 f(z) 的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。作业 P143 12(1)(3),16(2)(3)
