1、 为使模型流动能表现出实型流动的为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即动上相似，即两个互为相似流动的对应两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系部位上对应物理量都有一定的比例关系。 具体来说，两相似流动应几何相似具体来说，两相似流动应几何相似 、运、运动相似、动相似、 动力相似动力相似 。两流动相似应满足两流动相似应满足的条件的条件 原型：原型：天然水流和实际建筑物称为原型。天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：模型：通常把原型（实物）按一
2、定比例关系缩小（或放大）的通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。代表物，称为模型。 力学模型试验：力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。中，分析判断原型的情况。 流动相似：流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各
3、种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。相似的。 定义：定义： 两流动的两流动的对应边长对应边长成同一比例，成同一比例，对应角相等。对应角相等。 引入尺度比例系数引入尺度比例系数 进而，面积比例系数进而，面积比例系数 体积比例系数体积比例系数Cllkpml2lpmAkAAk3lpmVkVVk模型流动用下标模型流动用下标m表示表示原型流动用下标原型流动用下标p表示表示 定义：两流动的对应点上的流体速度矢定义：两流动的对应点上的流体速度矢成同一比例。成同一比例。 引入速度比例系数引入速度比例系数由于由于 因此因此 运动相似建
4、立在几何相似基础上，那么运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定时间比例系数运动相似只需确定时间比例系数 就可以就可以了。运动相似也就被称之为时间相似。了。运动相似也就被称之为时间相似。Cvvkpmvmmmtlv/ppptlv/tlppmmvkktltlktkpmtttk 如：如：k kv v=k=kl lk kt t-1 -1 k ka a=k=kl lk kt t-2-2 k k =k=kt t-1 -1 k k =k=kl l2 2k kt t-1-1 kq=k kq=kl l3 3k kt t-1-1 的单位是m2/sq的单位是m3/t 定义：两流动的对应部位上定义：两流动的
5、对应部位上同名力矢同名力矢成成同一比例。引入力比例系数同一比例。引入力比例系数 也可写成也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为力学物理量的比例系数可以表示为密度、密度、尺度、速度比例系数尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：的不同组合形式，如：力矩力矩M M 压强压强p p功率功率N N 动力粘度动力粘度 CFFkpmF2223)(vltllamFkkkkkkkkkk 23vlpmMkkkFlFlk 321vltMNkkkkkk 2vAFpmpkkkkppk vlkkkk 综上所述，要使模型流动和原型流动相综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者似，需要两者在时空相似的条件下受力相在时
6、空相似的条件下受力相似似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准数都相等。在时空相似的条件下各相似准数都相等。动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。 流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。 惯性力则 根据动力相似有根据动力相似有 F F= = I I 即若称 牛顿数，即 所以两个相似流动的牛
7、顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。 完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。 1. 1.雷诺（雷诺（粘滞力粘滞力）准则）准则 式中： L为流场中的特征线性长度。 Re雷诺数 当粘滞力起主要作用时，动力相似有： 适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。 2. 2.弗
8、汝德（弗汝德（重力相似重力相似）准则）准则 一般取 当重力起主要作用时，动力相似有： 适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。 3. 3.欧拉（压力相似）准则欧拉（压力相似）准则 流体流动以动水总压力为主要作用力的情况： 当压力起主要作用时，动力相似有： 一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗汝德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。 4. 4.韦伯（表面张力相似）准则韦伯（表面张力相似）准则 表面张力为主导作用力时的相
9、似准则： 当表面张力起主要作用时，动力相似有： 5. 5.弹性力相似准则弹性力相似准则( (马赫数马赫数) ) 弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）： 柯西数 令 式中： 流体声速 弹性模量 当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有： 综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就有的相
10、似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均等于例系数均等于1 1，这实际上意味着模型流动和原型流，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是际上办不到，我们寻求的是主要动力相似主要动力相似。 要达到主要动力相似就应该根据所研究或所要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重
11、力需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用起支配作用的流动，选用FroudeFroude准数为主要相准数为主要相似准数（决定性相似准数），满足似准数（决定性相似准数），满足FrFrm m=Fr=Frp p ，此外此外 管道流动，流体机械中的流动管道流动，流体机械中的流动 ：ReRem m=Re=Rep p，ReRe数为决定性相似准数数为决定性相似准数 可压缩流动：可压缩流动：MaMam m=Ma=Map p，MaMa数为决定性相似准数为决定性相似准数。数。 总之，总之，根据流动的性质来选取决定性相似准数根据流动的性质来选取决定性相似准数 决定性相似准数的定义决定性相似准数
12、的定义： 对该性质的流动以该决定性相似准数来对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否满足了主要动力相似。判断是否满足了主要动力相似。 只要满足了决定性相似准数相等后，就只要满足了决定性相似准数相等后，就满足了主要动力相似，抓住了解决问题的满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。实质。（注意：对于（注意：对于EuEu准数而言，在其他相似准数准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，作为决定性相似准数满足相等时， EuEu准准数同时可以满足）数同时可以满足）1 1 模型流动设计模型流动设计 设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原则
13、上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相及实验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否同一温度等因素。同且是否同一温度等因素。2 2 数据换算数据换算 从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中
14、已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的其他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。系数。 例1、 汽车高度为1.5m，速度为108km/h，行使在200C的空气中，模型试验的空气为00C，气流速度为60m/s，求模型试验汽车的高度。如果在模型试验中测得正面阻力为1300N，求实物汽车行使时正面的阻力是多少？ 已知空气的 0=13.2(10-6m2s-,),20=15.0(10-6m2s-),0=1.29kg
15、/m3,20=1.20kg/m3 解：由相似准则： （lv/）m= lv/长度比例系数 kl=k/kv=13.2108/(15.0216)=0.44所以模型汽车高度 lm=klh=0.441.5=0.66m由压力相似准则： (p/(v2)m= p/(v2)得实物汽车正面阻力 p=(p/(v2)m(v2)=302 N 例例2 2 有一轿车，高有一轿车，高h=1.5mh=1.5m，在公路上行驶，设计时，在公路上行驶，设计时速速v=108km/hv=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系在公路上以此速行驶时的空气
16、阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞低速全尺寸风洞(k (kl l=2/3)=2/3)，并假定风洞试验段内气流，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？ 解：解： 首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取选取ReRe作为决定性相似准数，作为决定性相似准数，Rem=Rep，即，即kvkl/k=1， 再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系，
17、这里互约束关系，这里k=1，所以，所以 kv=kl-1，由于，由于kl=lm/lp=2/3，那么，那么kv=vm/vp=1/kl=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 续： 在例在例1 1中，通过风洞模型实验，获得模型中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为轿车在风洞实验段中的风速为45m/s45m/s时，空气时，空气阻力为阻力为1000N1000N，问：此轿车以，问：此轿车以108km/h108km/h的速度在的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？公路上行驶时，所受的空
18、气阻力有多大？ 解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度比在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数例系数k=1，那么力比例系数，那么力比例系数 kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h108km/h的速度行驶的速度行驶所遇到的空气阻力所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N 一一 量纲分析的基本概念量纲分析的基本概念二二 量纲和谐性原理量纲和谐性原理三三 布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham） 定
19、理定理 1 1 量纲量纲 是物理量的是物理量的单位种类单位种类，又称因次，如长度、又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用即属于同一单位量纲（长度量纲），用L L表示表示。2 2 基本量纲基本量纲 导出量纲导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：领域中有三个基本量纲：长度量纲长度量纲L L、 时间时间量纲量纲T T、 质量量纲质量量纲MM， 导出量纲
20、由基本量纲导出量纲由基本量纲组合表示，如组合表示，如 加速度的量纲加速度的量纲 a=LTa=LT-2 -2 力的力的量纲量纲 F=ma=MLTF=ma=MLT-2 -2 任何物理量任何物理量B B的量纲的量纲可写成可写成B=MB=M L L T T 用 表示物理量的量纲，用（ ）表示物理量的单位3 3 基本量基本量 导出量导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系得出，前者互为独立的物理量。者通过某种关系得出，前者互为独立的物理量。基基本量个数取基
21、本量纲个数，所取定的基本量必须包本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。 如如 、v v 、l l可以构成一组基本量，包含了可以构成一组基本量，包含了L L 、M M 、T T这三个基本量纲，而这三个基本量纲，而a a 、v v 、l l就不能构成基本量，就不能构成基本量，因为不包含基本量纲因为不包含基本量纲MM4 4 无量纲量无量纲量 指该物理量的量纲为指该物理量的量纲为1 1，用，用L L0 0MM0 0T T0 0表示，表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几实际是一个数，但与单纯的数不一样，
22、它是几个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过个物理量组合而成的综合物理量，如前面讲过的相似准数的相似准数 1Re121TLLLTvl11TLTLvtlSr 量纲和谐性原理量纲和谐性原理又被称为又被称为量纲一致性原理，量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项物理过程用一个物理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。的量纲应该是和谐的、一致的、齐次的。 一个正确的物理方程，式中的每项的量纲一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，以能量方程为例应该一样，以能量方程为例 方程左边各
23、项的量纲从左到右依次为方程左边各项的量纲从左到右依次为 、 Cgvgpz22LLLTMLTML2321LLTTL222 对于某个物理现象或过程，如果存在有对于某个物理现象或过程，如果存在有n n个变个变量互为函数关系，量互为函数关系， f(af(a1 1,a ,a2 2, , a an n)=0)=0 而这些变量含有而这些变量含有m m个基本量纲，可把这个基本量纲，可把这n n个变个变量转换成为有量转换成为有(n-m)=i(n-m)=i个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 F(F( 1 1, , 2 2, , n-mn-m)=0)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，这样可以表
24、达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少了并把方程中的变量数减少了m m个，更为概括集中个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。表示物理过程或物理现象的内在关系。 例二例二 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降流体流动的压降 p p与下列因素有关：管径与下列因素有关：管径d d、管长、管长l l、管壁粗糙度、管壁粗糙度 、管内流体密度、管内流体密度 、流体的动力、流体的动力粘度粘度 ，以及断面平均流速，以及断面平均流速v v有关。试用有关。试用 定理推定理推出压降出压降 p p的表达形式。的表达形式。 解：解： 所求解问题
25、的原隐函数关系式为所求解问题的原隐函数关系式为 f( f( p, d, l, p, d, l, , , , , , v)=0, v)=0 有量纲的物理量个数有量纲的物理量个数n=7n=7，此问题的基本量纲有，此问题的基本量纲有L L、M M 、T T三个，三个，m=3m=3，按，按 定理，这定理，这n n个变量转换成个变量转换成有有n-m=4n-m=4个无量纲量的函数关系式个无量纲量的函数关系式 F(F( 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4)=0)=0 从从7 7个物理量中选出基本物理量个物理量中选出基本物理量3 3个，如取个，如取 、d d、v v，而其余物理量用基本物理量的幂
26、次乘积形式表示而其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示 1 1=l=l 1 1v v 1 1d d 1 1 2 2= = 2 2v v 2 2d d 2 2 3 3= = 3 3v v 3 3d d 3 3 4 4= = p p 4 4v v 4 4d d 4 4将上述表达式写成量纲形式将上述表达式写成量纲形式 1 1=L(ML=L(ML-3 -3) ) 1 1(LT(LT-1 -1) ) 1 1L L 1 1=M=M0 0L L0 0T T （1 1） 2 2=L(ML=L(ML-3 -3) ) 2 2(LT(LT-1 -1) ) 2 2L L 2 2=M=M0 0L L0 0T T0 0
27、 （2 2） 3 3=ML=ML-1 -1T T-1 -1(ML(ML-3 -3) ) 3 3(LT(LT-1 -1) ) 3 3L L 3 3=M=M0 0L L0 0T T0 0 （3 3） 4 4=ML=ML-1 -1T T-2 -2 (ML (ML-3 -3) ) 4 4(LT(LT-1 -1) ) 4 4L L 4 4=M=M0 0L L0 0T T0 0 (4 (4） 求解方程（求解方程（1 1） M: M: 1 1=0=0 T: T: 1 1=0=0 L: -3 L: -3 1 1+ + 1 1+ + 1 1+1=0 +1=0 1 1= -1= -1所以所以 1 1=l/d=l/
28、d求解方程（求解方程（2 2） M: M: 2 2=0=0 T: T: 2 2=0=0 L: 1-3 L: 1-3 2 2+ + 2 2+ + 2 2=0 =0 2 2= -1= -1所以所以 2 2= = /d /d求解方程（求解方程（3 3） M: 1+M: 1+3 3=0 =0 3 3= -1= -1 T: -1- T: -1- 3 3=0 =0 3 3= -1= -1 L: -1-3 L: -1-3 3 3+ + 3 3+ + 3 3=0 =0 3 3= -1= -1所以所以 3 3= = / / vd=1/Revd=1/Re求解方程（求解方程（4 4） M: M: 1+1+ 4 4=
29、0 =0 4 4= -1= -1 T: -2- T: -2- 4 4=0 =0 4 4= -2 = -2 L: -1-3 L: -1-3 4 4+ + 4 4+ + 4 4=0 =0 4 4= 0= 0所以所以 4 4= = p / p / v v2 2因此，所解问题用无量纲数表示的方程为因此，所解问题用无量纲数表示的方程为 F(l/d, F(l/d, /d, 1/Re, /d, 1/Re, p / p / v v2 2)=0)=0 至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式可知由上式可知 p / p / v v2 2与其余三个无量纲数有关，与其
30、余三个无量纲数有关，那么那么 p/p/ v v2 2=F=F1 1( (l/d, l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F /d, 1/Re)= (l/d)F2 2( ( /d, /d, 1/Re)1/Re) p/p/ g= g= p/p/ = (l/d)(v= (l/d)(v2 2/2g)F/2g)F2 2( ( /d, 1/Re) /d, 1/Re)令令 = = F F2 2( ( /d, 1/Re) /d, 1/Re) p/p/ = = (l/d)(v(l/d)(v2 2/2g)/2g) 这就是达西公式，这就是达西公式， 为沿程阻力系数，表示为沿程阻力系数，表示了等直圆管中流动流体的
31、压降与沿程阻力系数、了等直圆管中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成正比，与管径成反比。管长、速度水头成正比，与管径成反比。 从该例题看出，利用从该例题看出，利用 定理，可以在仅定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。体力学实验的理论基础。
