1、12007.12.192能量原理Chapter 10 泛函的极值与变分 能量方法的一些基本概念 可能功原理和功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法3变分与变分法Appendix Bp 泛函极值问题p 函数的微分与变分p 复合函数的变分p 泛函的变分p 变分法 泛函的极值与变分泛函的极值与变分4Appendix B.1泛函极值问题 求条件极值的拉格朗日乘子法求条件极值的拉格朗日乘子法12(,)nff x xx条件极值问题：求函数 在满足条件 下的极值。12(,)0ngx xx引入函数：引入函数： 111(, )(,)
2、(,)nnnF xxf xxgxx驻值条件：驻值条件： 0, 0iiiFfgFgxxx5Appendix B.1泛函极值问题如果变量如果变量 J 依赖于在一定约束条件下函数关系可以任依赖于在一定约束条件下函数关系可以任意变化的函数意变化的函数 y(x)，此，此y(x)称为称为自变函数自变函数，而依赖于，而依赖于自变函数的变量称为自变函数的变量称为泛函泛函。() )(yJxJ 泛函泛函( )yy x泛函：泛函：函数：函数：6Appendix B.1泛函极值问题例例1 1 最短连线问题 连接连接 A，B 两点的曲线两点的曲线长度长度 L 是随曲线形状，是随曲线形状，即曲线方程即曲线方程 y = y
3、(x) 而而变的，它是自变函数变的，它是自变函数 y(x) 的泛函：的泛函：10222( ( )ddd1( )dBBxAAxL y xsxyyxx7Appendix B.1泛函极值问题 现在要找函数现在要找函数L（曲线长（曲线长度）取极小值的自变函数度）取极小值的自变函数（曲线形状），利用后面的（曲线形状），利用后面的知识，可以自己证明它就是知识，可以自己证明它就是连接连接A，B两点的直线。两点的直线。 在本例中容许参加比较长度的任何曲线都必须通过在本例中容许参加比较长度的任何曲线都必须通过A，B两两点，这就是具体问题对自变函数点，这就是具体问题对自变函数y(x)提出的提出的约束条件约束条件。
4、能满足这。能满足这约束条件的函数有无穷多个，其中每个都称为约束条件的函数有无穷多个，其中每个都称为容许函数容许函数。所以，。所以，所谓所谓“自变函数自变函数y(x)”并不表示某种固定的函数关系，它可以在并不表示某种固定的函数关系，它可以在容许的函数簇中任意选择和变化。容许的函数簇中任意选择和变化。8Appendix B.1泛函极值问题例例2 悬臂梁问题悬臂梁问题 悬臂梁悬臂梁-砝码系统的总势能砝码系统的总势能是悬臂梁挠度曲线是悬臂梁挠度曲线 y(x) 的泛函。的泛函。 201( ) d( )2lEIyxPy l 可以证明，使总势能可以证明，使总势能 取极小值的挠度曲线就取极小值的挠度曲线就是悬
5、臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。( ( )y x9Appendix B.1泛函极值问题左端受到左端受到约束边界条件约束边界条件：右端是右端是自由边界条件。自由边界条件。在泛函在泛函 中容许出现与自变函数在无约中容许出现与自变函数在无约 束端处的束端处的边界值边界值y(l)有关的项，称为有关的项，称为边界项边界项。 000; 0 xxyy10Appendix B.1泛函极值问题当自变函数当自变函数 y(x) 改变时，泛函的值也将随之改变。改变时，泛函的值也将随之改变。定义定义：若泛函：若泛函 在在 状态下的值，比状态下的值，比在在 的邻域的邻域 内任意状态
6、内任意状态 y(x) 下的值下的值都小（或都大），都小（或都大）， 即即 则称泛函则称泛函 在状态在状态 下取下取极小值极小值（或（或极大极大值值），统称取），统称取极值极值。( )( )y xy x( )y x( )( )y xy x( ( )J y x( ( )( ( ) 0J y xJ y x( ( )( ( ) 0J y xJ y x或( ( )J y x( )y x11Appendix B.2函数的微分和变分 微分：微分：d( )dyy xx 函数的微分和变分函数的微分和变分 变分：变分：( )( )( )y xy xx ( )( )( )( )y xy xy xx12 函数的变分：
7、当函数的变分：当y(x)是某个泛函的自变函数时，函数本身可以是某个泛函的自变函数时，函数本身可以直接变成与它相邻的容许函数直接变成与它相邻的容许函数 ：其中其中和和x是无关的无穷小量，函数是无关的无穷小量，函数(x)应在一定范围内选择，首应在一定范围内选择，首先它应是先它应是y(x)的同类函数以保证当的同类函数以保证当 时，不仅函数时，不仅函数 和和y(x)本身，而且它们的各阶导数都无限接近。此外，它们还应满足具本身，而且它们的各阶导数都无限接近。此外，它们还应满足具体问题提出的约束条件，以保证体问题提出的约束条件，以保证 是容许函数。是容许函数。( )y x0( )y x( )y xAppe
8、ndix B.2函数的微分和变分( )( )( )y xy xx13Appendix B.2函数的微分和变分这种因函数关系的直接变化引起的自变函数的增量这种因函数关系的直接变化引起的自变函数的增量称为函数的称为函数的一阶变分一阶变分，简称，简称变分变分，记为，记为y。在变分过程中，函。在变分过程中，函数数y(x)的自变量的自变量x保持不变，如图所示，保持不变，如图所示，y是同一自变量是同一自变量 处处相邻两条曲线的函数值之差。相邻两条曲线的函数值之差。 ( )( )( )( )y xy xy xxx14Appendix B.2函数的微分和变分函数函数 y(x) 的一阶导数的一阶导数 仍是自变量
9、仍是自变量 x 的函数。于的函数。于是是 的变分为的变分为( )y x( )y x ( )( )yy xy x ( )( )( )( )y xy xy xx( )( )( ) yy xy xxy nnyyyy=LL15Appendix B.2函数的微分和变分 复合函数复合函数 复合函数的变分复合函数的变分 微分：微分：( )1( , ,)nF x y yy ( )( )dddd dnnFFFFFxyyyxyyy16Appendix B.3复合函数的变分 设复合函数与自变函数设复合函数与自变函数y(x)及其各阶导数与及其各阶导数与y(x)的自变量的自变量x有关，有关，由自变函数的变分由自变函数的
10、变分y所引起的函数增量所引起的函数增量F的线性主部称为的线性主部称为复合复合函数的一阶变分函数的一阶变分，记为，记为F。 若先把若先把 看作是函数看作是函数F的的n2个个“独立变量独立变量”，则，则根据多元函数全微分公式，由这些变量的增量根据多元函数全微分公式，由这些变量的增量 所引起的所引起的F的增量主部为：的增量主部为：( ), , ,nx y yy( )d ,d ,d ,dnxyyy( )( )dddd dnnFFFFFxyyyxyyy17Appendix B.2函数的微分和变分 复合函数的变分复合函数的变分 微分：微分：( )( )dddd dnnFFFFFxyyyxyyy( )( )
11、d0;d ;d ;dnnxxyyyyyy( )( ) nnFFFFyyyyyy 变分：变分：18Appendix B.3复合函数的变分2( -1)( );()kkFFFF( )( ) kknnFyyyFyyy( )( ) nnFFFFyyyyyy又 高阶变分：高阶变分：19Appendix B.3复合函数的变分由于变分由于变分y可以独立选择，与自变量可以独立选择，与自变量y及其各阶导数无及其各阶导数无关，所以变分关，所以变分y（及其各阶导数）对自变量（及其各阶导数）对自变量y（及其各（及其各阶导数阶导数 的偏导数均为零，即的偏导数均为零，即()()( )( )()( )0 ( ,0,1,2,
12、)mmllyyl mnyy()0 (2,0,1,2, )kmykmn作为自变函数的增量，作为自变函数的增量，y（及其各阶导数）的高阶变（及其各阶导数）的高阶变分均为零，即分均为零，即20Appendix B.4泛函的变分( )( , , ,)dbnaJF x y yyx泛函和复合函数的泛函和复合函数的区别区别是：复合函数依赖于自变量是：复合函数依赖于自变量x，而泛函则依赖于自变函数而泛函则依赖于自变函数 y(x)。当。当x 给定后，立即能给定后，立即能算出复合函数算出复合函数F的一个相应值，但算不出泛函的一个相应值，但算不出泛函 J 的值的值来，因为来，因为J 和定义域内的所有（而不是一个）和
13、定义域内的所有（而不是一个）x处的处的函数值函数值 F 有关。有关。 泛函的变分泛函的变分( )( , , ,)nFF x y yy21Appendix B.4泛函的变分泛函泛函J的各阶变分：的各阶变分：由变分由变分y引起的泛函引起的泛函 J 的增量为：的增量为：( )( , , ,)dbnaJF x y yyxdbkkaJF x211 d2!bkaJF xJJJk22Appendix B.5变分法变分法的基本问题变分法的基本问题：在满足约束条件的容许函数中，：在满足约束条件的容许函数中，求能使泛函求能使泛函 J(y(x) 取极值的自变函数取极值的自变函数 ，若，若 其中其中 ； y(x) 为
14、为 邻域内的任意邻域内的任意容许函数容许函数。 xy0 0 JJ 为极小值为极大值 ( )J J y xJxy= xy23Appendix B.5变分法泛函极值的必要条件（泛函极值的必要条件（驻值条件驻值条件）为泛函的一阶变）为泛函的一阶变分为零，即分为零，即0J 泛函的极值的充分条件还需考虑二阶变分，即泛函的极值的充分条件还需考虑二阶变分，即若若 ，则还需看高阶变分的性质。，则还需看高阶变分的性质。220 00 JJJ为极小值为极大值20J24Appendix B.5变分法p 变分法的基本预备定理变分法的基本预备定理 设设 (x) 是闭区间是闭区间 上的连续函数，上的连续函数，y 是该区是该
15、区间上自变函数间上自变函数 y(x) 的变分，如果的变分，如果 y 在满足约束条件在满足约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立的前提下任意变化时，下式始终成立 则被积函数则被积函数(x)在区间在区间 上处处为零，即上处处为零，即( )0 xaxbaxb( ) d0bax y x25 一元自变函数的泛函驻值问题在域内在域内y(x)应具有直到应具有直到四阶四阶的的连续导数连续导数。在在 x=a 处为约束边界，指定：处为约束边界，指定：在在 x=b 处为自由边界。处为自由边界。Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件( ( )( , , , )d( )baJ y xF x y y yxQy
16、b( ); ( )aay ayy ay26Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件根据两端的边界条件，变分根据两端的边界条件，变分y的边界值应满足：的边界值应满足：泛函泛函的驻值条件为：的驻值条件为： ( )0; ( )0y ay a ( )0; ( )0y by b( ( )( , , , )d( )baJ y xF x y y yxQy b0J ( , ,)d ( ) d ( )babyyyaJF x y y yxQ y bF yFyFyxQ y b27Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件22 ( )d dd+ddd ( ) ( )d ( ) ( )0ddyyybbabyy
17、ayyayyJy xxy by bFFy aFy axFFFxxFFQFx自然边界条件自然边界条件22dd+=0ddyyyFFFxx( )( )( )d0d0y bybybFFQxF欧拉微分方程欧拉微分方程28Appendix B.6欧拉方程和自然边界条件若令若令则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为则化为悬臂梁问题的泛函问题。相应的欧拉方程为即为材料力学中梁的即为材料力学中梁的挠度微分方程挠度微分方程。( ( )( , , , )d( )baJ y xF x y y yxQy b21( ) ;0,2 FEI yQP abl 4( )0EIyl22d0dyFx即29Appendix B.
18、6欧拉方程和自然边界条件自然边界条件成：自然边界条件成：这就是自由端处这就是自由端处剪力和弯矩的力边界条件剪力和弯矩的力边界条件。此外，基本边界条。此外，基本边界条件就是固支端的位移边界条件：件就是固支端的位移边界条件：这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度曲线。这时欧拉方程的解就是图中所示的悬臂梁的实际挠度曲线。d0dyFPx( )0EIylP( )0yFl ( )0EIyl( )0y a ( )0y a 30能量原理Chapter 10 泛函的极值与变分 变分提法的基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程
19、 弹性力学变分问题的直接解法31基本概念和术语Chapter 10.1变分方法（能量法）变分方法（能量法）：u考虑整个系统的能量关系，建立考虑整个系统的能量关系，建立泛函变分方程泛函变分方程u在给定约束条件下，求在给定约束条件下，求泛函极值泛函极值的变分问题的变分问题 弹性力学的微分提法和变分提法弹性力学的微分提法和变分提法微分方法微分方法：u从微元入手，建立基本微分方程从微元入手，建立基本微分方程u在给定边界条件下求解微分方程的边值问题在给定边界条件下求解微分方程的边值问题32基本概念和术语Chapter 10.1p 变分问题的两种解法 欧拉法欧拉法：将变分方程转化为微分方程：将变分方程转化
20、为微分方程（称为欧拉方程）进行求解。（称为欧拉方程）进行求解。 直接法直接法：直接求解变分方程。：直接求解变分方程。33基本概念和术语Chapter 10.1 真实状态与可能状态 弹性力学的三类基本关系弹性力学的三类基本关系 变形关系变形关系：几何方程和位移边界条件：几何方程和位移边界条件 静力关系静力关系：包括平衡方程和力边界条件。在静：包括平衡方程和力边界条件。在静力关系中只出现力学量，而与几何量无关。力关系中只出现力学量，而与几何量无关。 本构关系本构关系：把力学量和几何量联系起来。：把力学量和几何量联系起来。34基本概念和术语Chapter 10.1以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性
21、力学全部基以前各章都致力于直接寻找同时满足弹性力学全部基本关系的本关系的真实状态真实状态。本章则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的本章则分两步来处理：首先寻找满足部分基本关系的可能状态可能状态，然后再从可能状态中寻找满足全部基本，然后再从可能状态中寻找满足全部基本关系的真实状态。关系的真实状态。35基本概念和术语Chapter 10.1能量原理中的可能状态：能量原理中的可能状态： 变形可能状态或运动可能状态变形可能状态或运动可能状态：满足变形关系，而：满足变形关系，而不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状不管它是否满足静力关系和本构关系的任何变形状态。用右上角加态。用右上角加 (k
22、) 来表示。来表示。 描述变形可能状态的基本量是变形可能位移描述变形可能状态的基本量是变形可能位移 和变形可能应变和变形可能应变 。 kiu kij36基本概念和术语Chapter 10.1经典能量原理中的可能状态有两类：经典能量原理中的可能状态有两类： n 可能位移：应连续，且满足给定的可能位移：应连续，且满足给定的位移边界条件位移边界条件；n 可能应变：和可能位移应满足可能应变：和可能位移应满足几何方程几何方程。n 变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满变形可能状态有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是足弹性力学全部基本关系，它就是真实变形状态真实变形状态。n
23、 真实变形状态是由物体所受载荷引起的，变形可能真实变形状态是由物体所受载荷引起的，变形可能状态则与给定载荷没有必然的因果关系。状态则与给定载荷没有必然的因果关系。37基本概念和术语Chapter 10.1虚位移：虚位移：从某一可能位移到相邻的另一可能位移的从某一可能位移到相邻的另一可能位移的微小位移变化微小位移变化 ，记作，记作 kiu38基本概念和术语Chapter 10.1 静力可能状态：静力可能状态：满足静力关系（满足静力关系（平衡方程和给定的平衡方程和给定的力边界条件力边界条件），而不管它是否满足变形关系和本构），而不管它是否满足变形关系和本构关系的任何平衡状态。关系的任何平衡状态。n
24、 用右上角加用右上角加(s)的符号表示，如的符号表示，如n 静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时静力可能状态也有无穷多个，其中只有一个能同时满足弹性力学全部基本关系，它就是满足弹性力学全部基本关系，它就是真实状态真实状态。n 虚应力虚应力：可能应力场的变分：可能应力场的变分 sij sij39基本概念和术语Chapter 10.1 kiu kiu kij40基本概念和术语Chapter 10.1 sij sif sip41基本概念和术语Chapter 10.1 变形功、可能功与虚功 diiAFu42基本概念和术语Chapter 10.111d22iiiiiiAK uuKuuFuiiAF
25、uiiAF u43w基本概念和术语Chapter 10.112APwAPwwpA44基本概念和术语Chapter 10.1 弹性应变能和弹性应变余能U 和和 Uc 分别是物体应变场和应力场的分别是物体应变场和应力场的单值泛函单值泛函，与，与变形历史无关。变形历史无关。00()d , ()d()d , ()dijijijkijijijVccijkcijijijVUWxVWUWxVW 45基本概念和术语Chapter 10.1 真实状态的真实状态的 W 和和 Wc 满足如下互余关系满足如下互余关系 应力应变关系：应力应变关系： 线弹性体：线弹性体：cijijWW ; cijijijijWW12ij
26、ijijcijWW 46总势能定义为：弹性体的总势能定义为：弹性体的应变能和载荷系统的外力应变能和载荷系统的外力势之和势之和 ，即，即 基本概念和术语Chapter 10.1UV 弹性系统的势能弹性系统的势能47基本概念和术语Chapter 10.1为了保证功与路径无关，式中的被积函数应为全微分为了保证功与路径无关，式中的被积函数应为全微分 ddiiiFuV u 00ddiiuV uiiiAFuVV u 所以所以V(ui)也是一个与路径无关的、单值连续的状态函数，称为也是一个与路径无关的、单值连续的状态函数，称为力系力系Fi的势能，简称为势。势能势力系所具有的作功能力。的势能，简称为势。势能势
27、力系所具有的作功能力。 48基本概念和术语Chapter 10.1ddiiiFuV u 利用全微分公式，将右式写成：利用全微分公式，将右式写成：ddiiiiVFuuu iiVFu 这说明保守力系的三个分类这说明保守力系的三个分类Fi都是由同一个势函数都是由同一个势函数V派生出来的，派生出来的，因而保守力系又称为因而保守力系又称为有势力系有势力系。 进一步考察进一步考察V的二阶偏导数得：的二阶偏导数得： 若已知某力系的三个分量，可用此式来检验它是否是保守力系。若已知某力系的三个分量，可用此式来检验它是否是保守力系。2jijiijFFVuuu u 49基本概念和术语Chapter 10.1 00d
28、d d iiuV uiiiiiiiAFuVV uAFuFu iiVAFu 不变力系势能的公式 50基本概念和术语Chapter 10.1ddiiiiVsVf uVpuS (dd)dijVisViiifWUVuVpuVS应变能 体力势 面力势 外力势51总余势能定义为：弹性体总余势能定义为：弹性体的应变余能和支承系统的的应变余能和支承系统的余能之和余能之和 ，即，即 基本概念和术语Chapter 10.1cccUV 弹性系统的余能弹性系统的余能dduciiSVWVpuS52弹性系统总余能弹性系统总余能c的定义为应变余能的定义为应变余能Uc和支撑系统的余势和支撑系统的余势Vc之之和，即和，即当弹性
29、系统的支撑边界允许有位移时，被支撑系统所吸收或通当弹性系统的支撑边界允许有位移时，被支撑系统所吸收或通过支撑系统传递给其他物体的那部分多余能量称为支撑系统的过支撑系统传递给其他物体的那部分多余能量称为支撑系统的余势，记为余势，记为Vc，它等于边界给定位移，它等于边界给定位移 在反力在反力Ri上所做功上所做功(称为称为余功余功)的负值。注意到的负值。注意到Ri是静力可能的反力，与边界给定位移无是静力可能的反力，与边界给定位移无关，则关，则iu基本概念和术语Chapter 10.1cccUVciiVRu 53基本概念和术语Chapter 10.1设图中位移边界设图中位移边界Su上的反力为上的反力为
30、pi，则支撑系统的余势为，则支撑系统的余势为duciiSVpuS dducciiSVWVpuS系统总余能 54能量原理Chapter 10 泛函的极值和变分 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法55 可能功原理可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 ,0ssij jif ssijjip 第一状态(s)第二状态(k) ,12kkkiji jj iuu56可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2这里的体力这里的体力 和面力和面力 不一定和物体所受的实际载荷相同，它
31、不一定和物体所受的实际载荷相同，它们是由任选的某个可能应力场们是由任选的某个可能应力场 按上述两式算出来的可能外力，按上述两式算出来的可能外力，所以是一种别上节中定义的静力可能状态更为广泛的所以是一种别上节中定义的静力可能状态更为广泛的广义静力可广义静力可能状态能状态，简称状态，简称状态( (s) )。在此状态中，不考虑物体的材料性能，在此状态中，不考虑物体的材料性能，也不管是否存在协调的应变场和连续的位移场也不管是否存在协调的应变场和连续的位移场。 第二状态完全用几何量第二状态完全用几何量( (应变应变 和位移和位移 ) )来描述，见图。来描述，见图。它在域内满足几何方程：它在域内满足几何方
32、程： sij sif sip kij kiu ,12kkkiji jj iuu57可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2并且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值，而没并且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值，而没有力边界。这里的边界位移可以和物体所受的实际约束无关，所有力边界。这里的边界位移可以和物体所受的实际约束无关，所以是一种以是一种广义变形可能状态广义变形可能状态，简称状态，简称状态( (k) )。在此状态中，不考在此状态中，不考虑物体的材料性能，也不管是否存在平衡的应力场虑物体的材料性能，也不管是否存在平衡的应力场。 应该指出，状态应该指出，状态( (
33、s) )和状态和状态( (k) )是相互独立的，可以根据方便是相互独立的，可以根据方便的原则自由选择。的原则自由选择。 ,12kkkiji jj iuu58可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2考虑状态考虑状态( (s) )中的体力、面力和可能应力在状态中的体力、面力和可能应力在状态( (k) )的的相应可能位移和可能应变上所做的功，分别为：相应可能位移和可能应变上所做的功，分别为：利用边界条件和高斯积分定理，把面力功利用边界条件和高斯积分定理，把面力功 Ap 改写成改写成 d ; ddskskfiipiiVSskijijVAfuVAp uSAV ,dddddskskskpiii
34、jijijiSSVjskskij jiiji jVVAp uSuSuVuVuV59可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 ,dd dd skskpij jiiji jVVskskiiijijVVfAuVuVfuVVAA 可能功原理fpAAA即： skskskiiiiijijVSVfudVp udsdV60可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2fpAAA即 skskskiiiiijijVSVfudVp udsdV即可能外力即可能外力( (体力和面力体力和面力) )在可能位移上所做的功等于可能应力在可能位移上所做的功等于可能应力在相应可能应变上所做的功，这称为在相应可能
35、应变上所做的功，这称为可能功原理可能功原理。61可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2ijjiijuu,210ipfAAAAAi62可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 功的互等定理（功的互等定理（Betti 互等互等定理）定理）第二状态(2) 1if 1ip 1ij 1ij 1iu第一状态(1) 2if 2ip 2ij 2ij 2iu63可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 功的互等定理（功的互等定理（Betti 互等互等定理）定理） 1if 1ip 1ij 1ij 1iu 2if 2ip 2ij 2ij 2iuijijklklC64可能功原理
36、& 功的互等定理Chapter 10.2 121212iiiiijijVSVfudVp udsdV 212121iiiiijijVSVfu dVpu dsdV65可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2 12122121ijijijklklijklijijklijijCC 12122121iiiiiiiiVSVSfudVp udsfu dVp u ds66可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.267可能功原理 & 功的互等定理Chapter 10.2ppbpA例4 pEb bE214pbbE 68能量原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚
37、功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法69虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3 skskskiiiiijijVSVfu dVpu dsdV 虚功原理（虚位移原理）iiiiijijVSVfu dVpu dsdV 或,12iji jj iuu其中:70虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3iiiiijijVSVfu dVpu dsdV 71虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3假设可能位移场假设可能位移场 ，它包含，它包含n个待定参数。个待定参数。由几何方程和本构方程得到由由几何方程和本构方程得到由 对应的应力对应
38、的应力 把把 求变分，得到虚位移求变分，得到虚位移 和虚应变和虚应变 。由虚功原理解出各待定参数。由虚功原理解出各待定参数。 kiu kiu kij kiu kiu kij72虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3p2lxy0M2l1sinnnlxnaw2sin,sin2mlmxm xwalmwa73虚功原理和余虚功原理Chapter 10.302cos,sinmxmmmm xmwawalllmm xwall 21sinnnnn xMEIwEIall 0lijijVdVdwxM74虚功原理和余虚功原理Chapter 10.30002dlxlxM wxMwP w 30442sin2nlnn
39、apMEInl304412sinsin2nlnnn xwpMEInll75虚功原理和余虚功原理Chapter 10.33320.020833348lxplplwEIEI00M时精确解：时精确解：0.07%0.020818230.23%0.020785421.45%0.02053191nEIplwlx32%100ww76虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3 余虚功原理余虚功原理dduiiijijSVupSV 77虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3p dduiiijijSVupSV 78虚功原理和余虚功原理Chapter 10.32AcRRRpl222RpxMplx79虚功原理和
40、余虚功原理Chapter 10.32xMR 2122MRpxplxEIEI80虚功原理和余虚功原理Chapter 10.30ABCuuu302d54024LLMxplRREI54RpL81虚功原理和余虚功原理Chapter 10.3假设一个满足静力平衡条件和力边界条件的可能应力场假设一个满足静力平衡条件和力边界条件的可能应力场 ，它，它包含包含n个待定参数。个待定参数。由本构方程得到由由本构方程得到由 导出的静力可能应变导出的静力可能应变 。把把 对各待定参数求变分，得到虚应力对各待定参数求变分，得到虚应力 。（一般给定位。（一般给定位移为零，不用求虚力，否则移为零，不用求虚力，否则“静力可能
41、位移静力可能位移”很难求。）很难求。）由余虚功原理解出各待定参数。由余虚功原理解出各待定参数。注：注：如果假设的如果假设的 包含了真实解，则由余虚功原理得到的解就是精包含了真实解，则由余虚功原理得到的解就是精确的，而且确的，而且n和结构的超静定次数相等；如果和结构的超静定次数相等；如果n小于小于结构的超静结构的超静定次数，则得到的一定是近似解；此方法其实是一种应力解法。定次数，则得到的一定是近似解；此方法其实是一种应力解法。 sij sij sij sij sij sij82能量原理Chapter 10 基本概念和术语 可能功原理，功的互等定理 虚功原理和余虚功原理 最小势能原理和最小余能原理
42、 弹性力学变分问题的欧拉方程 弹性力学变分问题的直接解法83最小势(余)能原理Chapter 10.4,1;20 on on iji jj iij jiijijiiuuufpSuuS ijijijW84最小势(余)能原理Chapter 10.4dddijiiiiVVSWVf uVpuS kiu kij ,1, 2kkkkiji jj iiiuuuu dddiikkkkkijiiVVSWVf uVpuS85最小势(余)能原理Chapter 10.4 dddiikkkijijVkSkiiiiVWWVfuuVpuuS ddddiikkiiiiVkkijijijijijijVSVfuuVpuuSWVV
43、 86最小势(余)能原理Chapter 10.4 dkkkkijijijijijVWWWV只要应变能函数只要应变能函数 W 是凸函数，则有：是凸函数，则有： 0k最小势能原理最小势能原理：在一切变形可能的状态：在一切变形可能的状态 中，真实状态的总势能最小。中，真实状态的总势能最小。87最小势(余)能原理Chapter 10.4 可以是有限量，并没有引进无限可以是有限量，并没有引进无限小位移变分小位移变分u的概念，所以最小势能原理是一个的概念，所以最小势能原理是一个大范围极值原理大范围极值原理。 kiiiuuu 88最小势(余)能原理Chapter 10.4dddiiiiVVSUVWVfuVp
44、 uSddiiiiVSUVfuVp uS 这也是虚功原理在弹性保守系统中的特殊形式。这也是虚功原理在弹性保守系统中的特殊形式。 0 最小势能原理的变分形式： dddijiiiiVVSUVWVf uVpuS89最小势(余)能原理Chapter 10.4u 使用最小势能原理的解题方法：使用最小势能原理的解题方法： 直接法直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的 待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的，待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的， 相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解
45、小于真实 位移。位移。 欧拉法欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界 条件，求解微分方程的边值问题。条件，求解微分方程的边值问题。90 最小余能原理真实状态真实状态 ui，ij，ij 满足弹性力学基本关系和用余满足弹性力学基本关系和用余能表示的逆弹性关系能表示的逆弹性关系它的总余能为它的总余能为 最小势(余)能原理Chapter 10.4cijijijWdduccijiiVSWVpuS91最小势(余)能原理Chapter 10.4静力可能状态静力可能状态仅满足静力关系仅满足静力关系它的总余能为：它的总余能为： ,0sij jissiijj
46、siifppp在V 内在Su 内在S 内 ddccijiussssiVSWVp uS92最小势(余)能原理Chapter 10.4两种状态的总余能之差为：两种状态的总余能之差为： dddccijiisssccijVssiiiiVSWWVffuVpp uS 利用可能功原理，则有：利用可能功原理，则有： dddd iisssiiiiijijijVVscijijiSjVffuVpp uSVWV93最小势(余)能原理Chapter 10.4只要应变余能函数只要应变余能函数Wc是凸函数，必有是凸函数，必有 d ccijsssscccijijijijVWWWV 0csc 最小余能原理最小余能原理：在一切静
47、力可能状态中，：在一切静力可能状态中，真实状态的总余能最小。真实状态的总余能最小。94最小势(余)能原理Chapter 10.4以上证明适用于小变形弹性力学范围内的任何静以上证明适用于小变形弹性力学范围内的任何静力可能状态，真实的是大范围内的极小值。力可能状态，真实的是大范围内的极小值。 这也是虚余功原理在弹性保守系统中的特殊形式。这也是虚余功原理在弹性保守系统中的特殊形式。 0c 最小余能原理的变分形式： dducccciiVSUVWVupSdduccciiVSUWVVupS 95 两个原理的关系对于真实状态有：对于真实状态有：最小势(余)能原理Chapter 10.4dddducciiii
48、iiVVSSWWVf uVpuSpuS skskskiiiiijijVSVfudVp udsdV由可得0cdddijijiiiiVVSVf uVpuS 96最小势(余)能原理Chapter 10.4于是有：于是有： skcc dddiiiieVSVf uVpuSWVAUdddiiiiVVSWVf uVpuS ecccAUUUUV97最小势(余)能原理Chapter 10.4 凸函数的性质凸函数即下凸函数。对于一维情况如图所示。设自变量从凸函数即下凸函数。对于一维情况如图所示。设自变量从x变到变到x(k)，则函数，则函数y=f(x)的增量为的增量为A点处切线的增量为点处切线的增量为由于由于f(x
49、)向下凸，函数曲线始终位于切线的上方，所以对一切向下凸，函数曲线始终位于切线的上方，所以对一切x(k)有有 2kkBBfxf x 12kB Bfxxx kkkfxf xfxxx凸函数的重要性质 98最小势(余)能原理Chapter 10.4下面来证明线弹性体的应变能函数满足凸函数的性质：下面来证明线弹性体的应变能函数满足凸函数的性质：1 2ijijW ijijklklijWC其中令 ; kkijijijijijij kijijijijklklC其中 0 1kkkijijijijijWWW代入代入(1)式左端得到：式左端得到：99最小势(余)能原理Chapter 10.4 1122112211
50、122kkkijijijijijijijijijijijijijijijijijijijijij ijijijklklijklijklijklklijijCC 由于由于C张量的对称性张量的对称性可知可知(1)式右端第一项为零。又由于式右端第一项为零。又由于C对应矩阵正定，于是：对应矩阵正定，于是：11022ijijijklklijC100最小势(余)能原理Chapter 10.4u 使用最小余能原理的解题方法：使用最小余能原理的解题方法： 直接法直接法：假设容许应力函数，用最小余能原理求：假设容许应力函数，用最小余能原理求其中的待求参数。如果假设的应力函数不完备，则其中的待求参数。如果假设的应
