1、线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入利用向量解决 夹角问题紫阳中学陈兴平2022-3-261线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入 空间向量的引入为代数方法处理空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样热点之一。本节
2、课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。用向量的办法解决空间角问题。2022-3-262123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b则：数量积： a b 1 1223 3aba ba b夹角公式： cosa b 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB 线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入| |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b2022-3-263异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,CD AB 与 的关
3、系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入2022-3-264例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入2022-3-265解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： CxyzA1AB1BC1C1
4、D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 与 所成角的余弦值为3010题型一：线线角题型一：线线角12022-3-266练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A
5、(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.ADAMADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M2022-3-267题型二：二面角题型二：二面角二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入2022-3-268题型二：二面角题型二：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二
6、面角的余弦值ABCDS2022-3-269,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nn
7、n 63即所求二面角得余弦值是2022-3-2610题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB |题型三：线面角题型三：线面角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入2022-3-2611例二：题型三：线面角题型三：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4
8、),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 552022-3-2612练习： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型三：线面角题型三：线面角正方体ABCD1A1B1C1D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入2022-3-2613小结：小结：1.异面直线所成角： coscos,CD AB |2.直线与平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12
9、|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围AB1DABOn1n2n 2022-3-2614F1E1C1B1A1D1DABC例例1、如图，在正方体中，如图，在正方体中， ，求与所成的角的，求与所成的角的余弦值余弦值1111ABCDA BC D1BEz1 11 11 114BEDFAB1DFyx2022-3-2615例例1如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图
10、建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 2022-3-2616例例1如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BE DF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.17| |171744 BE DFB
11、EDFBEDF2022-3-2617例例2 1111,ABCDABC DE F在正方体中,分别是11,:.BB CDD FADE的中点.求证平面xyzA1D1C1B1ACBDFE2022-3-2618362,0,00,1 ,330,0,3320,1,33PC362, 1 ,330 , 2 , 00 , 1 , 30 , 0 , 0PCPCBAO例例3.如图如图,空间四边形空间四边形PABC的每条边及对角的每条边及对角线的长都是，试建立空间直角坐标系，并线的长都是，试建立空间直角坐标系，并求出四个顶点的坐标求出四个顶点的坐标.zxyyxzOxyz362, 0 ,330 , 1 , 00 , 0
12、, 30 , 1, 0PC2022-3-2619例例4 4已知点已知点P P是平行四边形是平行四边形ABCDABCD所在平所在平面外一点，面外一点，如果如果 ， (1)(1)求平面求平面 ABCD ABCD 的一个法向量；的一个法向量；(2, 1, 4)AB (4,2,0)AD ( 1,2, 1)AP （2 2）求证：）求证： 是平面是平面ABCDABCD的法向量；的法向量；AP （3 3）求平行四边形）求平行四边形ABCDABCD的面积的面积2022-3-2620 在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体 中，中，E,FE,F分别是分别是DDDD1, 1, DBDB中点，中点，G G在棱在棱C
13、DCD上，上， ，H H是是C C1 1G G的中点，的中点，练习练习（1 1）求证：）求证： ；（2 2）求）求EFEF与与C C1 1G G所成的角的余弦；所成的角的余弦；（3 3）求）求FHFH的长的长14CG= CD1111ABCDABC D1EFBC（用空间向量法解决以上问题）（用空间向量法解决以上问题）（4）求平面）求平面EFH的一个法向量的一个法向量.2022-3-2621练习练习2.证明四点证明四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17) 共面共面2022-3-26221111111,.BC DE FBB D BEFDA19.在正方体ABCD
14、-A中,分别是的中点 求证FEABA1DCC1B1D11111()2EFDAAABDDA 证明证明:11EFEBB F 1111()2BBB D 11()2AABD1111()2AADABDDA 001111(|cos45|cos120 )02AADABDDA 1,EFDA 1.EFDA即练习练习32022-3-26231111111,.BC DE FBB D BEFDA19.在正方体ABCD-A中,分别是的中点 求证FEABA1DCC1B1D1证明证明:1,EFDA 1.EFDA即yxz建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系O-xyz则则D (0,0,0),A 1(1,0,1)1(1,0,1)
15、.DA 练习练习3001, 121,21,211 DAEF,21, 1 , 1E1 ,21,21F21,21,21EF2022-3-2624DABA1CC1B1D111111.BC DDBACD1-A,求证平面10.已知正方体ABCD证明证明:111,.ADDB ACDB 1,ADACA又11.DBACD 平面，1 11 1DDDDDCDCDADADBDBDADADCDCACAC0 0) )DADADCDC( () )DDDDDCDCDADA( (ACACDBDB1 11 1DADADDDDADAD1 11 10 0) )DADADDDD( () )DDDDDCDCDADA( (ADADDBD
16、B1 11 11 11 1练习练习42022-3-2625111BC D110.已知正方体ABCD-A,ABA1DCC1B1D1练习练习411.DBACD求证平面证明证明:1,ADACA又xyz建立如图空间直角坐标系建立如图空间直角坐标系则则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),11(1,1,1) ( 1,0,1)0,DBAD 11(1,1,1) (0, 1,1)0,DBCD ) 1 , 1, 0( CD),01, 1(),1 , 1 , 1 (1ADDB11ACDDB平面111,DBACDBAD2022-3-2626人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
