1、4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹法广义根轨迹法一、根轨迹的概念一、根轨迹的概念根轨迹是根轨迹是开环系统开环系统的某一参数从零变化到无穷时，的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统闭环系统特征方程式的根在特征方程式的根在S S平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。1 22211,*( )* KsKssKs 1212121200211121151212*, , , , ,KKKKsssssj sjsj sj 举例举例：) 15 . 0(ssK)(sR)(sC-令令K*（由（由0到到 ）变动，）变动，s1、s2在在s平面的移动
2、轨平面的移动轨迹即为根轨迹。迹即为根轨迹。因此利用因此利用根轨迹根轨迹，可以分析系统，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性稳定性、稳态性能和动态性能。能。（1）稳定性：根轨迹都在）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。左半平面，闭环系统稳定。（2）稳态性能：）稳态性能：（3）动态性能：）动态性能：0K*1，一对共轭复根，欠阻尼系统；，一对共轭复根，欠阻尼系统；2*sseK特征方程的根特征方程的根 运动模态运动模态 系统动态响应（稳定系统动态响应（稳定性、系统性能）性、系统性能）二、根轨迹方程二、根轨迹方程10( )( )G s H s11*()( )( )()miinjjszG s H
3、sKsp111*()()miinjjszKsp 21k()相角条件相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足 称为称为180180根轨迹。根轨迹。11*njjmiispKsz相角条件：相角条件：1121()()()mnijijszspk模值条件：模值条件： 一、基本法则一、基本法则1 1、 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有（开环极点个数，则有（n-m)n-m)条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。起
4、点：起点：终点：终点：1*1nmspspKszsz*01,2,iKspin*1,2,iKszjm 01*1limlimn mn mnssmspspKsszsz 2 2、根轨迹的分支数及对称性和连续性、根轨迹的分支数及对称性和连续性（1 1）根轨迹分支数特征根个数。）根轨迹分支数特征根个数。（2 2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对称于实轴。称于实轴。（3 3）由于）由于K K* *连续变化，故根轨迹具有连续性。连续变化，故根轨迹具有连续性。3 3、根轨迹的渐近线：、根轨迹的渐近线：n-mn-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交条
5、根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交点和夹角为：点和夹角为： 11(21)nmijijaapznmknm4 4、实轴上的根轨迹、实轴上的根轨迹实轴上某一区域实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总其右方开环实数的零点数和极点数的总和为奇数，该区域为根轨迹。和为奇数，该区域为根轨迹。1231234500000 3601803600 0180 5 5、根轨迹的会合点和分离点：、根轨迹的会合点和分离点： 若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会合点。分离点坐标分离点坐标d d的求解：的求解：1111mnijijdzdp*11( )()()0mnijijF sKszsp*11
6、( )()()0mnijijdF sdKszspdsds证明：证明：*11()()(1)nmjijispKsz *11()()(2)nmjijiddspKszdsds 1111()()(2)(1)()()nmjijinmjijiddspszdsdsspsz11ln()ln()nmjijidspdszdsds11ln()ln()nmjijidspdszdsds1111nmjijispsz若无开环零点，则若无开环零点，则：110miidz注意：注意： 一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点； 如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻
7、零点之间必有会合点。 如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。例题：例题：单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为：试绘制闭环系统的根轨迹试绘制闭环系统的根轨迹 *(1)( )( )(2)(3)KsG s H ss ss+=+2 2、实轴上根轨迹为、实轴上根轨迹为 -3, ,-2 ， -1，0 3 3、求渐近线、求渐近线：渐近线与实轴交点为：渐近线与实轴交点为： 12(21)3,0,1,3122kkpppjjj+=-0231231s-+= -渐近线与实轴夹角为：渐近线与实轴夹角为：解：解：1、开环零点、开环零点z
8、1=-1，开环极点，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3，根轨迹分支数为根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。条，有两个无穷远的零点。11111232.47ddddd=+= -4、求分离点、求分离点：10j2347. 26 6、根轨迹的起始角和终止角：、根轨迹的起始角和终止角：根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与正实轴的夹角：切线与正实轴的夹角：11112(21)()()mnpijijkpzpp1s1p2p4p3pz1243在离开p1附近的根轨迹上取一点s1,则s1点应满足相角条件：) 12()()()()(432141312111kps
9、pspsps当 时， 即为离开根轨迹上 的起始角， ，则：11ps11p11p11112(21)()()mnpijijkpzpp根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处根轨迹的终止角是根轨迹进入开环复数零点处切线与正实轴的夹角：切线与正实轴的夹角：11112(21)()()nmzjijikzpzz*(2)( )(13)(13)KsG ssjsj+=+-例题：例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值的取值范围。范围。 2、渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（、渐近线与实轴重合的，实轴
10、上根轨迹（- ，-2。解：解：1 1、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有、一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。一个无穷远处的零点。3、初始角：、初始角： 12180(6090 )150 ,150ppqq= + -= -4 4、求分离点：、求分离点：111,42(13)(13)dddjdj+= -+-说明：说明：由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（一部分，圆心为（-2-2，j0)j0)，半径为，半径为2 2。分离点处，分离点处， *|413 |413 |6|42|jjK-+-+=-+*06K系统
11、有超调响应时的系统有超调响应时的K*取值范围取值范围。 7 7、根轨迹和虚轴的交点：、根轨迹和虚轴的交点：（1 1）利用劳思判据）利用劳思判据（2 2）将）将s=js=j代入代入D(S)=0D(S)=0例题：例题：已知单位反馈系统的开环传递函数为，已知单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制闭环系统的根轨迹。试绘制闭环系统的根轨迹。 *( )( )(2)(3)KG s H ss ss=+解：解：（1）实轴上根轨迹为）实轴上根轨迹为( (-, ,-3 ，-2，0（2 2）渐近线与实轴夹角为）渐近线与实轴夹角为 ：123(21)5,0,1,2,333kkpppjjjp j+=渐近线与实轴交点为渐近线与
12、实轴交点为 ：0231.673s-= -（3 3）根轨迹与虚轴交点用劳思判据，闭环特征方程为）根轨迹与虚轴交点用劳思判据，闭环特征方程为 ：32*560sssK+=*2*30,50,6KsKsj=+= *K*305K-*KS316 0S25 S1 S0 （4 4）求分离点：）求分离点： 1110230.782dddd+=+= -8 8、根之和、根之和*111111111( )()()()()()mnnnjinnjinnnnniiiiiiD sKszspsa sasassss ss 当 时，11nnijijsp2nm一、参数根轨迹一、参数根轨迹以以非开环增益非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为
13、参数根为可变参数的根轨迹，称为参数根轨迹。轨迹。( )( )10( )P sD sAQ s 闭环特征方程：闭环特征方程：( )( )( )( )P sG s H sAQ s等效开环传递函数：等效开环传递函数：等效开环传递函数求取后，绘制方法与前面相同。等效开环传递函数求取后，绘制方法与前面相同。引入等效开环传递函数的概念引入等效开环传递函数的概念注意：注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例例题：题：求求Tm从从0 时的根轨迹时的根轨迹1)( sTsK
14、mR(s)(-)C(s) j 0P1P2-K原系统的闭环特征方程为原系统的闭环特征方程为 Tms2 + s + K = 0整理可得等效开环传函整理可得等效开环传函或由或由 s2 + s/Tm + K/Tm = 0得新的特征方程为得新的特征方程为 s2 + (s+ K)/ Tm = 0) 1)()(12 sHsGsKsTm即即）（则新的等效开环传函为则新的等效开环传函为) 1)()(012 sHsGKssTm即即）（在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，相角条析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨
15、迹，相角条件满足件满足2k，称为零度根轨迹。，称为零度根轨迹。 二、零度根轨迹二、零度根轨迹)(sC)(sR)(sG)( sH)(1sG)(1sH11*()( )( )()miinjjszG s H sKsp10G s H s( )( )111miinjjszKsp*()()11*njjmiispKsz幅值条件幅值条件112mnijijszspk()()相角条件相角条件与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没模值条件没有变化。有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件只要考虑相角条件所引起所引起的某些规则的修改。的
16、某些规则的修改。法则法则3 3：渐近线与实轴交点不变，夹角为渐近线与实轴交点不变，夹角为：2aknm法则法则4 4：实轴上根轨迹。实轴上某一区域其右方开环实数的实轴上根轨迹。实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总和为偶数，该区域为根轨迹。零点数和极点数的总和为偶数，该区域为根轨迹。法则法则5 5：根轨迹的起始角：根轨迹的起始角：121()()nmpjijispszsp终止角：终止角：121()()mnzijijszspsz 零度根轨迹与零度根轨迹与180180 根轨迹的区别体现在：根轨迹的区别体现在：1. 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹；2. 渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的夹角；3.
17、 起始角与终止角起始角与终止角。解：解：（1）系统的开环零极点分布为）系统的开环零极点分布为z1=-2，p1=-1+j，p2=-1-j ，p3=-3 ，有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（，有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（- ，-3，-2， ）。）。例题：例题： 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为1)(,)22)(3()2()(2*sHssssKsG试绘制该回路的根轨迹图。试绘制该回路的根轨迹图。（2 2）根轨迹的渐近线（）根轨迹的渐近线（n-mn-m)=2)=2条，渐近线夹角条，渐近线夹角oooak180,0131802oooooptgarc
18、tgarc6 .71)906 .26(45)9021(1110j23jj（3 3）确定出射角）确定出射角（4 4）确定分离点）确定分离点8 . 00)24. 67 . 4)(8 . 0(111131212ddddjdjdddop6 .712（5 5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为应的开环增益为3232)2(0)3(0)1(0)1(0*jjKc13/3,3/232*cKKKK1 1、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。、附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为设开环传递函数为)22()()(
19、)(21*ssszsKsHsG z z1 1是附加的开环实数零点，其值可在是附加的开环实数零点，其值可在s s左半平面内任意选择，左半平面内任意选择， 当当z z1 1时，表明不存在有限零点。时，表明不存在有限零点。三、附加开环零点的作用三、附加开环零点的作用1z令令z z1 1为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：为不同的数值，对应的根轨迹如图所示：31z01z21z2 2、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，、附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。还可以改善系统的动态性能。1z0j1p3p2p3s2s1s0j3s3p2p1p2s1s1znn结论：结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。得到明显的改善。
