1、直接证明与间接证明反证法反证法复习复习1.1.直接证明直接证明的两种基本证法：的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时如何运用？、在实际解题时如何运用？1.1.综合法综合法综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 2.2.分析法分析法 3.3.用分析法用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程注意：分析法要格式规范注意：分析法要格式规范 A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说
2、说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎在撒谎吗？为什么？吗？为什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则A A、B B都撒谎都撒谎. . 由由A A撒谎撒谎, , 知知B B没有没有撒谎撒谎. . 那么这个那么这个假设：假设：C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, ,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾. .思考？思考？ 这种不是直接从原命题的条件逐步这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明理论理论反设反设归谬归谬存真存真 这种不是直接从原命题的条
3、件逐步这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明反证法反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。理论理论反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反
4、面成立； (2)从这个假设出发从这个假设出发，经过推理，经过推理论证，得出论证，得出矛盾矛盾； (3) 由矛盾由矛盾判定假设不正确判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬存真存真例例1 1：已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，整除， 求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数，不是偶数， 则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)
5、+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶数。注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题例题例例2 2： 不可能成等差数列不可能成等差数列5,3,2注：注：否定型命题否定型命题( (命题的结论是命题的结论是“不可能不可能”，“不能表示为不能表示为”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某种性质不具有某种性质”等等) ) 常用反证法常用反证法例例3 3 已知已知a0a0，证明
6、，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 0 a a 0 012120,即 x -xx = xx -xx = x12与与xx 矛xx 矛盾盾故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证：证：注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现, 是是唯一性问题唯一性问题,常用反证法常用反证法 假设方程不只一个根，不妨设
7、假设方程不只一个根，不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2 ) )是是方程的两个根方程的两个根. .例例4 4：已知已知x0,y0 x0,y0，x+yx+y22，求证：求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。xyyx1,1分析：分析：所谓至少有一个所谓至少有一个,就是不可能没就是不可能没有有,要证要证“至少有一个至少有一个”只要证明它的只要证明它的反面反面“两个都两个都”不成立即可不成立即可.注注:“至少至少”、“至多至多” 型命题型命题常用反证法常用反证法 （1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？
8、哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一” ” （2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题（3）唯一性命题）唯一性命题归纳总结：归纳总结：三个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾： （1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾； （2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）与假设自相矛盾。）与假设自相矛盾。反设：反设： 注意原结论的反面要全面、正确、准确注意原结论的反面要全面、正确、准确存真：存真： 格式规范不能少格式规范不能少证明：
9、素数有无穷多个 趣味趣味数学数学证明：证明：假设素数是有限的，假设素数只有假设素数是有限的，假设素数只有有限的有限的n个，最大的一个素数是个，最大的一个素数是p，设设q为所有素数之积加上为所有素数之积加上1，那么，那么，q=（ 235p ）+1不是素数，不是素数，那么，那么，q必然被必然被2、3、p中的至少一个中的至少一个素数整除，素数整除，而而q被这被这2、3、p中任意一个整除都会中任意一个整除都会余余1，与之矛盾，与之矛盾所以，素数是无限的所以，素数是无限的 求证：求证： 是无理数是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n
10、n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！假设不成立，故假设不成立，故 是无理数。是无理数。2趣味趣味数学数学2 2n 也是偶数，n 也是偶数，n而而 必必是是偶偶数数练习练习1练习练习2练习练习3求证：拋物线求证：拋物线 上不存在关于直线上不存在关于直线x+y=0对称的对称的两点两点 1212xy练习练习4总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾是与题设矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知定义、与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设 归谬归谬 存真存真2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?3.反证法的思想反证法的思想课外作业课外作业 个人或者几位同学合作出个人或者几位同学合作出一到正面处理很难的题。一到正面处理很难的题。
