1、第四章第四章 相似原理与量纲分析相似原理与量纲分析 4-1相似的基本概念相似的基本概念 4-1相似的基本概念 相似系统：模型与原型之间必须具有：相似系统：模型与原型之间必须具有： 外形必须几何相似。 运动状态、力的作用情况必须相似。 表征同类物理性质的量必须具有同一比值。 外形必须几何相似：外形必须几何相似：模型和原型的任何相应的线性长度具有同一比例。 长度比尺（缩小倍数）： （模型）（原型）mPLLLC面积比尺： 222LmPmPACLLAAC体积比尺： 333LmPmPVCLLVVC4-1相似的基本概念 运动相似运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平（运动状态相似，速度、加速度必须平
2、行且具有同一比例）：行且具有同一比例）：速度相似比尺： tLmpmpmmppmpuCCdtdtdLdLdtdLdtdLuuC/加速度相似比尺： 2/tLtumpmpmmppmpaCCCCdtdtdududtdudtduaaC动力相似动力相似 （力的方向必须相互平行，且具有同一比例）（力的方向必须相互平行，且具有同一比例）压力比尺： mpFFFCVaMaFaVmmmpppmpFCCCaVaVFFC2222223uLtLLtLLCCCCCCCCCCC4-2相似准则相似准则 4-2相似准则 一、牛顿相似准则一、牛顿相似准则 可以写成： 122uLFCCCC（无量纲数） 将上式展开： 1/2222mp
3、mpmpmpuuLLFF22ppppuLF22mmmmuLF牛顿数：牛顿数：22uLFNemepeNN)(若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。4-2相似准则 二、雷诺准则（粘滞阻力相似准则）二、雷诺准则（粘滞阻力相似准则） 粘性阻力比尺： mmmmppppmpTdyduAdyduATTCuLuLCCCCCCC水流动力相似的必要条件： 粘性阻力的比尺与惯性阻力的比尺为同一相似比尺。 即：CT =CF则： 22uLCCCuLCCCC得： 1CCCuL也可写成： mmmpppuLuL雷诺数：雷诺数：uLRemepeRR雷诺数反映了惯性力与粘性
4、力之比。雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。4-2相似准则 三、佛汝德相似准则（重力相似准则）三、佛汝德相似准则（重力相似准则） gLmmmpppmmppmpGCCCgVgVgMgMGGC3 则： 223uLgLCCCCCC得： 12LguCCC也可写成 mmmpppLguLgu22(Fr)p=(Fr)m FGCC重力与惯性力之比值为同一常数Fr 表明了惯性力与重力之比（佛汝德数）（佛汝德数）4-2相似准则 四、欧拉相似准则（总压力四、欧拉相似准则（总压力P不可忽略时）不可忽略时） 2LpmmppmPPCCApApPPC则: 222uLLpCCCCC即： 12uPCCC或： 22mmmpppupu
5、pFPCC要满足动力相似，必须(Eu)p=(Eu)m 欧拉数反映了压力与惯性力的比值若两个流动同时受粘性力、重力和压力作用，要同时满足Re、Fr、Eu准则，才能实现动力相似。4-3相似原理的应用相似原理的应用 4-3相似原理的应用 一、考虑重力起主要作用的重力相似准则即是一、考虑重力起主要作用的重力相似准则即是Fr数数相等（原型和模型）相等（原型和模型） mmmpppmrprLguLguFF22在地球上gpgm LuCC2LuCC 流量比尺： 2/52LLLAuQCCCCCC时间比尺： LLLuLtCCCCCC4-3相似原理的应用 二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则二、考虑粘性阻力起主
6、要作用的粘性力相似准则 要求原、模型的雷诺数相等。 mepeRRmmmpppuLuL一般原、模型中的流体性质相同 即 mppmmpLLuuLuCC1 如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20倍。不易做到。 流量比尺： AuQCCCLLLCCC12时间比尺： 2/1LLLuLtCCCCCC4-3相似原理的应用 对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和F准则，才能保证流动相似，LuCC 但Fr准则要求而Re准则要求 LuCC/1二者不能同时满足 解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则则有： 12LguCCC1CCCuL和 则： 2222CCCCCCuLL
7、gu2/3LCC ) 1(gC4-3相似原理的应用 2/3LmpCpLmC2/31才能同时满足Fr和Re准则。实际要做到这一点几乎是不可能的4-3相似原理的应用 例1 有圆管直径为20cm,输送=0.4cm2/s的油液.流量为12L/s.若在实验室中用5cm直径的圆管作模型实验.假如采用20的 水.或空气(=0.17cm2/s)作实验流体,则模型中流量各为多少才能满足粘滞力作用的相似？ 解：几何比尺： 4520mpLddC由雷诺相似准则： mepeRR 即: mmmpppduduLLpmmpmpuCCCCdduuC1mPLLLLuAQCCCCCCCCC24-3相似原理的应用 mpQQmPLCm
8、pLpmCQQ 1、模型用水做实验，20 vm=0.0101cm2/s vp=0.4cm2/s, QP=12L/sSLQm/0758. 00101. 04 . 04122、用空气做实验：vm=0.17cm2/s, SLQm/275. 117. 04 . 04124-3相似原理的应用 例二：水流自坝顶下泄，流量Qp=1000m3/s, 如取模型与原型尺度比 401LC,求模型对应的流量为多少?若模型水头Hm=8.4cm求原型对应的水头Hp为多少？解： 主要受重力作用，应为Fr相等. mmmpppLguLgu22pmpmLLuuLuCC gHu222pmPmuuHHLuHCCC2 uAQ 4-3相
9、似原理的应用 2/522LLLLuppmmpmQCCCCCAuAuQQC1 . 040110002/52/5LpmCQQ(m3/s)36. 340/14 . 84 . 8LHmpCCHH(m)4-4无量纲数无量纲数 4-4无量纲数 任何一个物理量的量纲公式可以表示为： X=LTM 称为量纲公式 0，=0，=0 代 表一个几何学的量 0，=0 代 表一个运动学的量0 代 表一个动力学的量若=0，=0，=0则X=L0T0M0=1例：气体等温压缩所做的功W可以写成对数形式：11VPW 12lnVV4-5 量纲和谐原理量纲和谐原理 量纲和谐原理：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致
10、的。量纲和谐原理的重要性：1、一个方程在量纲上是和谐的，则方程的形式不随量度单位的改变而改变。HgVpZ222、量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。3、量纲和谐原理可用来建立物理方程式。4-5 量纲和谐原理谢才公式: RJCV 式中： 1 LTV LR 2/11LCLT 12/1TLC 6/1LC 而在曼宁公式 6/11RnC 中 C值用公制和英制就具有不同的结果。 量纲不和谐的例子：量纲不和谐的例子： 4-6 量纲分析之一量纲分析之一 - 雷立法雷立法 4-6 量纲分析之一 -雷立法 如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各有关因素（变量）的数目 nxxxy21,并假定这一物理过
11、程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示即：nnxxKxy2121(式中的式中的k为无量纲系数为无量纲系数,1、2n为待定的指数。为待定的指数。) 则由量纲和谐原则得出结论： 方程式等号两边的变量积的基本量纲的指数必然相等。方程式等号两边的变量积的基本量纲的指数必然相等。 据此，可确定指数1，2，3n的数值和方程式的具体形式，这种方法为雷立首先建立称为雷立法。雷立法应用步骤：雷立法应用步骤： nnxxKxy21211、列出与物理现象有关的变量，用变量幂乘积的函数形式来表示该物理方程式：2、将各变量的量纲化为基本量纲，写出量纲方程式；3、根据量纲和谐条件，写出基本量纲的和谐方程式，联立求 出各变量的
12、指数；4、代入原假设的函数式，整理简化，即得反映该物理现象的 公式。 4-6 量纲分析之一 -雷立法 例：确定液流由层流转变为紊流的临界流速关系式。 解：由实验可知 dfVc,并假设变量之间的关系式可表示成变量幂的形式。 即： 321dKVcK为无量纲系数。 将物理量的量纲代入上式的量纲方程式 23212132131131TLMLTMLMLLT 4-6 量纲分析之一 -雷立法 由量纲和谐原则得： M21011 L3213112： T2113 代入原函数： dKdKVc11dVdVKcc即： dVRce 4-7 量纲分析法之二量纲分析法之二 -定律定律 4-7 量纲分析法之二 -定律 一般来说：
13、一般来说：m=3 使用使用定律的步骤定律的步骤： 3、组成无量纲的项： 1111MTLx 2222MTLx 3333MTLx定律：对某个物理现象，如果存在n个变量互为函数关系F(q1,q2 qn)=0，而这些变量中含有m个基本量，则可排成（n-m）个无量纲数的函数关系（1,2,n-m)=0来描述。1、首先确定影响这个现象的各个物理量；2、从n个物理量中选出m个基本物理量作为m个基本量纲(m=3)；4-7 量纲分析法之二 -定律 检验所取的三个基本量纲量是否正确333222111若0则L，T，M是相对独立的 组成项 从三个基本物理量以外物理量中每次取一个，连同三个基本物理量组成一个无量纲的项，一
14、共可以写出（n-3）个项 43211111xxxx53212222xxxx 3n4-7 量纲分析法之二 -定律 根据量纲和谐，列指数方程求， 写出描述现象的关系式 0,3321nF例：例： 利用利用定律求绕流阻力计算方式。定律求绕流阻力计算方式。 经分析知道绕流阻力与下列因素有关： 平均流速V，物体的特征长度b，重力加速度g,液体密度,动力粘性系数. 0,gbVFfgbVfFDD或共有六个变量，取V,b, 为基本量，n-m=3有三个 103001011MTLMTLbMTLV4-7 量纲分析法之二 -定律 计算指数项行列式： 010111103001011 基本量纲是独立的基本量纲是独立的 写出
15、无量纲数： gbV11112222bVDFbV33334-7 量纲分析法之二 -定律 将各项方程写成量纲形式： 0211030010111111MTLMTLMTLMTL013111：L21021：T1101：M01221VbgbgV4-7 量纲分析法之二 -定律 1111030010112222MTLMTLMTLMTL013222：L12012：T12012：M12VbbV1112 1211030010113333MTLMTLMTLMTL013333：L23023：T23013：M13221223bVFFbVDD4-7 量纲分析法之二 -定律 代入原函数式： 0,321f0,222bVFVbVbgfD 数为无量纲，根据需要取倒数而不改变其无量纲性质，对FD求解：DerDCRFVbbgVbVF,2222222VACbVCFDDDFr称为佛汝德数。其物理意义在于它反映了惯性力与重力的比值。
