1、初中数学北师大版直角三角形射影定理教学目标教学目标复复 习习新新 课课例例 题题练练 习习小小 结结使学生了解射影的概念，掌握使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。射影定理及其应用。直角三角形中的比例线段定理直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较多的在证题和实际计算中有较多的应用应用。你知道吗你知道吗？例例2证法有一定的技巧性。证法有一定的技巧性。 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段1.已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。在在
2、Rt 中，中， =90 ,有有_.ABCC222ABBCAC(1)一锐角相等一锐角相等 (2)任意两边对应任意两边对应 成比例成比例. 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段大家先回忆一下：大家先回忆一下：如图，如图， .,90ABCDCABC中，由母子相似定理，得由母子相似定理，得ADCACB推出：推出：CADABCCDABAC所以：所以：DAABAC2CADB同理，得：同理，得：CDBDBABCBABCBCBDBACCDACB2ACDADBDCDCDADBDCDCBACCBD2 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段CADB是高，则有中，在CDABCRtAC是是AD,A
3、B的比例中项。的比例中项。BC是是BD,AB的比例中项。的比例中项。CD是是BD,AD的比例中项。的比例中项。那么那么AD与与AC，BD与与BC是什么关系呢？是什么关系呢？这节课，我们先来学习射影的概念。这节课，我们先来学习射影的概念。 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段1.射影射影： （1）太阳光垂直照在太阳光垂直照在A点，留在直线点，留在直线MN上的影子应是什么？上的影子应是什么？ （2）线段留在线段留在MN上的影子是什么？上的影子是什么？A定义：定义：过线段过线段AB的两个端点分别作直线的两个端点分别作直线l的垂线，的垂线，垂足垂足A，B之间的线段之间的线段AB叫做线段叫做
4、线段AB在在直线直线l上的上的正射影正射影，简称，简称射影射影。ABABlAMN.BB 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段各种线段在直线上的射影的情况：各种线段在直线上的射影的情况：ABABlAABBllAABB如图如图,CD是是 的斜边的斜边AB的高线的高线ABCRt这里这里:AC、BC为直角边，为直角边，AB为斜边，为斜边，CD是斜边上的高是斜边上的高AD是直角边是直角边AC在斜边在斜边AB上的射影上的射影,BD是直角边是直角边BC在斜边在斜边AB上的射影。上的射影。CADB 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段ABADAC2ABBDBC2DBADCD2由复习得：
5、由复习得：CADB用文字如何叙述？用文字如何叙述？ 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段直角三角形中直角三角形中,斜边上的高线是两条斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边每一条直角边是这条直角边在斜边上上的射影和斜边的比例中项的射影和斜边的比例中项.这就是射影定理这就是射影定理 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段CADB具体题目运用：具体题目运用：AC BCCD AB根据应用选取相应的乘积式。根据应用选取相应的乘积式。 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段ABADAC2ABBDBC2D
6、BADCD2利用射影定理证明勾股定理利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能用在射影定理只能用在直角三角形直角三角形中中,且必须且必须有有斜边上的高斜边上的高CADB这里犯迷糊，可不行！可不行！如图如图,若若AD=2cm,DB=6cm,求求CD，AC,BC的长。的长。例例1解解:答答:CD,AC,BC的边长分别为的边长分别为cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCABBDBC书书 P137T1参考答
7、案：参考答案：1. （1）CD=6cm, AC=3 cm. 13（2）BD= cm, CD = cm.144136013（3）AB= cm, AC= cm.254154（4）CD= cm,BC= cm.32 3你都做对你都做对了吗？了吗？ 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段(1)在在 中中,CD为斜边为斜边AB上的高上的高,图中共有图中共有6条线段条线段ABCRtAC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条已知任意两条,便可求出其余四条便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中射影定理中每个乘积式中,含三条线段含三条线段,若已知两条若已知两条 可可求第三条求第三条.(3)解
8、题过程中解题过程中,注意和勾股定理联系注意和勾股定理联系,选择简便方法选择简便方法.你都弄懂了吗？你都弄懂了吗？CEFFBCDF:,求证于例例2. 如图如图,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBA分析分析:欲证欲证 CEF.CBA公共角ECFACB已具备条件已具备条件要么找角要么找角, 要么找边要么找边.CACFCBCECEADFBCEFBCFEA或证法一证法一：例例2. 如图如图,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:,求证于ACDEABCDCACECD2BCDFABCDCBCFCD2CBCFCACECACFCBCEBCAECF.CBACEFCE
9、ADFB例例2. 如图如图,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:,求证于证法二：证法二：为外接圆的直径中，为外接圆的直径中，CDCDERtCDCDFRt为圆内接四边形四边形CEDF21CBDFCDBRtB2B1BCAECFCEFCBACEADFB12书书 P138T2 T3参考答案：参考答案：2.证明：证明：ADCBCDCACDADBCACABCDBCACABADCAABCDRtACB23.不能。只能证明不能。只能证明 。CDBACB若已知若已知 是直角三角形。是直角三角形。 ，则能推出，则能推出 。ABC90ACBABCD 直角三角形中的成比例线段直角三角形
10、中的成比例线段没问题吧！没问题吧！如图中共有如图中共有6 6条线段，已知任意条线段，已知任意2 2条，条，求其余线段。求其余线段。运用射影定理时，注意前提条件运用射影定理时，注意前提条件 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段CADB求边注意联系方程与勾股定理求边注意联系方程与勾股定理直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余勾股定理勾股定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半度角所对的直角边等于斜边的一半及其逆定理。及其逆定理。 射影定理射影定理（由面积得）（由面积得）两直角边积等于斜边上的高与斜边的积两直角边积等于斜边上的高与斜边的积直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形与原三角形相似（母子相似定理）与原三角形相似（母子相似定理）这节课的知识，这节课的知识，你都听懂了吗？你都听懂了吗？ 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段不要忘了不要忘了哦！哦！ 直角三角形中的成比例线段直角三角形中的成比例线段精品课件精品课件！精品课件精品课件！
