1、直线和平面 在日常生活中，我们可以观察到直线与平面在日常生活中，我们可以观察到直线与平面的位置关系共有三种。的位置关系共有三种。即：平行、相交、在平面内。即：平行、相交、在平面内。其中直线在平面内，由基本性质其中直线在平面内，由基本性质1决定。决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给对于直线和平面的前两种位置关系，分别给出下面的定义。出下面的定义。定义定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那如果一条直线和一个平面没有公共点，那么称这条直线和这个平面平行。么称这条直线和这个平面平行。定义定义2 如果一条直线和一个平面有且只有一个公如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点。那么称这条直线
2、和这个平面相交。共点。那么称这条直线和这个平面相交。ll，l即即记作记作平行平行与平面与平面直线直线,/QlQ，l记作记作相交于相交于与平面与平面直线直线直线和平面aaaa位置关系位置关系图图 示示表示方法表示方法公共点个数公共点个数直线在平面内直线在平面内 a 无数个无数个直直线线不不在在平平面面内内直线与平面直线与平面平行平行a 没有没有直直线线与与平平面面相相交交直线与直线与平面斜平面斜交交a=A一个一个直线与直线与平面垂平面垂直直a一个一个一、直线和平面平行一、直线和平面平行1、直线和平面平行的判定、直线和平面平行的判定直线直线 和平面平行的判定定理和平面平行的判定定理 如果平面外一条
3、直线如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。个平面平行。lm /：,ll/mml求求证证且且如如图图已已知知.mlP/：,ll/mml求求证证且且如如图图已已知知.,Plll则则因因为为不不平平行行于于平平面面假假设设直直线线用用反反证证法法证证明明。:.,/设该平面为可以确定一个平面所以因为，ml、ml.,mm所以因为.，.mPP，PPlP即所以因为得由././lmlP，ml所以矛盾这与因此例例1 1。已知：空间四边形。已知：空间四边形ABCDABCD，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点的中点求证：
4、求证：EF平面平面BCD证明：连接证明：连接BD，在，在 ABD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，的中点，EF EF BD BDEF EF 平面平面BCDBCDBD BD 平面平面BCD BCD ABCDEF又又EF EF 平面平面BCDBCD， 3。 两个全等的正方形两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同不在同 一平面内一平面内,M、N是对角线是对角线AC、BF的中点的中点求证：求证：MN 面面BCE分析：分析：连接连接AE,CE 由由M、N是中点知：是中点知： MN CEDANMCBFE所以：所以：MN 面面BCE2、直线和平面平行的性质、直线和平面平行的性质直
5、线和平面平行的性质定理直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。那么这条直线就和交线平行。mlP./:.,/;:mlmll、m，l、求证平面直线已知,/,:l因因为为如如图图所所示示证证明明.没有公共点和所以l,m又又因因为为,内内在在同同一一个个平平面面和和而而没没有有公公共共点点和和所所以以mlml./,ml因此因此ABCDMNNBCPCMBAPABBBBPDCBAABCD平面平面求证：求证：）、（异于（异于中，点中，点长方体长方体/,11111111 AB
6、A1DB1D1PCC1MNABA1DB1D1PCC1MN111111111111/CACACAACACCACCAACAAC面面面面长方体中长方体中、连结连结 MNBCAACPNBCPCMPABAACPACBCAAC 111111/面面面面面面面面ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/NCPNMAPM 111111AACCCCPBNCPNNCCPBNAAPBMAPMMAAPBM ABCDACABCDMNMNAC面面面面 /ABCDMN面面/ABA1DB1D1PCC1MNxyo课件cabO直线与平面有那些位置关系？直线与平面有那些位置关系？a/ /b c=Oabcoa a与
7、与c c是异面直线是异面直线abd如果平面内的直线如果平面内的直线d 平行于平行于b，那么，那么d与与a 垂直垂直直线直线a与平面与平面 相交，相交，a与平面与平面 内的直线有几种位置关系？内的直线有几种位置关系？若直线若直线d不在平面不在平面 内，上述结论还成立吗？内，上述结论还成立吗？仍成立仍成立过一点能作几条与已知直线垂直的直线？过一点能作几条与已知直线垂直的直线？mOabcdA所作的垂线是在同一平面内吗？所作的垂线是在同一平面内吗？是是直线直线m与此平面给我们什么形象？与此平面给我们什么形象？直线垂直平面的形象直线垂直平面的形象M直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 如果一条直线（
8、如果一条直线（ ）和一个平面（）和一个平面（ ）内的任何）内的任何一条直线都垂直，一条直线都垂直， 则说这条直线（则说这条直线（ ）和这个平面）和这个平面（ ）互相垂直互相垂直,记为记为 .直线直线 叫平面叫平面 的的垂线垂线，平面平面 叫直线叫直线 的的垂面垂面， 垂线和垂面的交点叫做垂线和垂面的交点叫做垂线垂线足或垂足足或垂足（Q）。）。 lllllQl直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 lnlmlPnmnm,如果直线如果直线 和平面和平面 内的两条相交直线内的两条相交直线m,nm,n都垂直，那么直线都垂直，那么直线 垂直平面垂直平面 。ll即：即：mnPl线不在多，重在相交
9、线不在多，重在相交1 1、直线和平面垂直的判定、直线和平面垂直的判定 直线直线 与平面与平面 相交，但不和平面垂直，相交，但不和平面垂直，叫做直线叫做直线 与平面与平面 斜交，称直线斜交，称直线 是平是平面面 的斜线，交点为斜足。的斜线，交点为斜足。 lll求证：与三角形的两条边同时垂直的直线求证：与三角形的两条边同时垂直的直线 必与第三条边垂直。必与第三条边垂直。ABCaABaBCaACa 求求证证假假设设.,实际上，这为证明实际上，这为证明“线线垂直线线垂直”提供了一种方法提供了一种方法如图如图,PA 园园O所在平面所在平面,AB是园是园O的直径的直径,C是园周上一点是园周上一点,那那末末
10、,图中有几个直角三角形图中有几个直角三角形? PABCO分析分析: :问题的焦点是三角问题的焦点是三角形形PBCPBC是不是直角三角形是不是直角三角形? ? AACPABCPABCACABCBCABCPA平平面面平平面面 PACPCPACBC平平面面平平面面 PCBC是是直直角角三三角角形形PBC故共有四个直角三角形故共有四个直角三角形故共有四个直角三角形故共有四个直角三角形如图，点如图，点P是平行四边形是平行四边形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，O是对角线是对角线AC与与BD的交点，且的交点，且PA=PC，PB=PD。求证：求证：PO 平面平面ABCD 提示提示ABCDOP AO=C
11、O，PA=PC， PO AC。同理同理PO BD，又又 AC BD=O， PO 平面平面ABCD。 在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线求证：对角线AC BD。提示ABCDEACBDACEACACEBDECEAEBDCEDCBCBDAEADABCEAEEBD ,平面平面又连接的中点取小结小结直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定定义法定义法间接法间接法直接法直接法 如果两条如果两条平行直线中的平行直线中的一条垂直于一一条垂直于一个平面，那么个平面，那么另一条也垂直另一条也垂直于同一个平面。于同一个平面。 如果一条直线垂于一个如果一条直线垂于一个平面内的
12、任何一条直线平面内的任何一条直线此直线垂直于这个平面此直线垂直于这个平面判定定理判定定理 如果一条直如果一条直线垂直于一个线垂直于一个平面内的平面内的两条两条相交相交直线，那直线，那么此直线垂直么此直线垂直于这个平面。于这个平面。唯一性公理一唯一性公理一mA过一点有且只有一条直线和已知平面垂直过一点有且只有一条直线和已知平面垂直唯一性公理二唯一性公理二过一点有且只有一个平面和已知直线垂直过一点有且只有一个平面和已知直线垂直mAB2、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个两面，那么这两如果两条直线同垂直于一个两面，那么
13、这两条直线互相平行。条直线互相平行。已知已知: 求证求证: ,baba/b证明：反证法证明：反证法.abo./.abOO，bba点作点作过过不平行不平行与与设设.,/baba./.abOO，bba点作点作过过不平行不平行与与设设).( :. 2如图的距离相等上各点到平面直线求证平行和一个平面已知一条直线例llABAB. B, A, BB, AABA,:分别为垂足的垂线分别引平面上任意两点过直线证明l. /, BB,AABBAA. BA=, BBAA的平面为和设经过直线. B/A,/l l. . BB= AA等上各点到平面的距离相即直线ll1、斜线在平面内的射影、斜线在平面内的射影（1）点在平面
14、内的射影）点在平面内的射影过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影平面内的射影.P Q一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做时，这条直线叫做平面的斜线平面的斜线，斜线和平面的交，斜线和平面的交点叫点叫斜足斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段平面的斜线段. QP 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影和斜足的直线
15、叫做斜线在平面内的射影垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影这个平面内的射影.PQP斜线段在平面内的射影斜线段在平面内的射影 2、直线和平面所成的角、直线和平面所成的角平面的平面的和它在这个平面内的射影所成和它在这个平面内的射影所成的的，叫做这条，叫做这条斜线斜线和这个平面所成的角和这个平面所成的角.BA a AOB（记为（记为 ）是）是a与与 所成的角所成的角最小角定理最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角内经过斜足的直线所成的一切角中的最小
16、角COD进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角这个平面内的直线所成的一切角中的最小角直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面垂直：所成的角是直角直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内 =00 00 90000900证明：设直线证明：设直线OD是是 内与内与a不不同的任意一条直同的任意一条直线线,过点过点A引引AC垂直垂直OD垂足为垂足为C.因为因为AB AC，所以所以AB/AO AC/AO即即sinsin AOC.因此因此AOC小结小结（1）点在平面内的射影）点在平面内的射影2、直线和平面所成的角、直线和
17、平面所成的角1、斜线在平面内的射影、斜线在平面内的射影PAOBPA、PO、P，P斜线斜线的垂线的垂线平面平面分别作分别作过过外一点外一点是平面是平面如图如图例例.10,16, 8.PBPAPO是斜足是斜足，A、BOPB是垂足是垂足,PA、求求直直线线）。（精精确确到到分分所所成成的的角角的的度度数数分分别别和和平平面面PBOA、PA、内内的的射射影影分分别别是是在在平平面面因因为为解解PB,OBPBOPAO、PBPA所成的角分别是所成的角分别是和平面和平面所以所以.，PAO中中在在21168PAPOPAOsin30PAO108PBPOPBOsin:同理同理853 PBO性质定理判定定理性质定理
18、线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直PO平面PAOaPOPAaPAaAOaa平面PAOPAaPAaPOaa平面PAOAO平面PAOaAOPCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点， PA平面平面ABC ，AC BC， 求证：求证： PC BC证明：证明： P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，P
19、CBD(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:ABCD为正方形 O为BD的中点AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBDAO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMBCAM证明:PB=PCM是BC的中点PMBCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1B1CB1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知A1CBC1精品课件精品课件！精品课件精品课件！A1D1C1B1ADCB
