1、二二. 性质性质 的特例是的特例是注注1. 几何意义几何意义A3 3 y=A = / y=A 注注2. 否则否则, = , R, A = = 但是可以但是可以 =0, 此时此时, A = 0 = 核核 1, 2, t对应于对应于 的的所有特征向量为所有特征向量为 k1 1+k2 2+kt t , k1, kt 不全不全为为0.0.先解先解| IA|=0, 求出求出所有特征值所有特征值 , 3 1 40 2 0 1 1 2A 2 0 1 0 3 40 1 1A 二二. 性质性质 二二. 性质性质 ,s.t. A = . 先解先解| IA|=0, 求求 ; 将将 代入代入( IA) = , 求非零
2、通解求非零通解. 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为2,1, 1,则则1?AA2 1120A 5,2, 221522102AA 设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1,2,3, 则则trB *2BIA1 2 36A *1AA A *2BIA21211iiA的特征值为的特征值为即即 11, 5, 3 19trB 1.设设A是是n阶方阵阶方阵, 对于对于数数 , 存在存在n维维向量向量 , 使得使得A = , 则称则称 为为A的的一个一个。由由A = 得齐次线性方程组得齐次线性方程组( IA) = , 它有它有非零非零解解 | IA|=0 IA不可逆不可逆若若A为方阵为方阵, ( I A
3、)不可逆，则不可逆，则 是是A的一个特征值的一个特征值.A为方阵为方阵,若若 不是不是A的特征值的特征值, 则则( I A)可逆可逆.设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为2,1, 1,则可逆的矩阵为则可逆的矩阵为(A) I A (B) I+A(C) 2I A(D) 2I+A若方阵若方阵A不可逆，则不可逆，则A的一个特征值为的一个特征值为( )( )0若方阵若方阵A满足满足A2=2A, ,0不是不是A的特征值的特征值, ,则则A=A可逆可逆A = 2IEx.二二. 性质性质 ,s.t. A = . 先解先解| IA|=0, 求求 ; 将将 代入代入( IA) = , 求非零通解求非零通解.
4、二二. 性质性质 求求A11. 设设P 1AP = , P = , =, A = P P 1 A11 = (P P 1)(P P 1)(P P 1)(P P 1) 11 = = P 11P 1 A与与 相似相似n阶方阵阶方阵A有有n个个不同的特征值不同的特征值, 则则A与对角矩阵相似与对角矩阵相似.n阶方阵阶方阵A, 求求可逆矩阵可逆矩阵P, 使使 3 1 40 2 0 1 1 2A4112000411IA 22132rIAnn101010 ,411P 200020001 3 1 40 2 0 1 1 2A101010 ,411P 200020001 211133341133320102022
5、1010kkkkkkkA 141111333333441141333333212121020212121kkkkkkkkkkkkk 2 0 1 0 3 40 1 1A210420101IA 22321r IAnnA有有n个个不同特征值不同特征值.Ex.T)(A.)(11 AA,TTAA AAAATTTTTT()().x Axx A xAxxxxx x.)()(TTTTxxxxAxxAxx T()0.x x. 0|112T niniiiixxxxx, 0 此外此外, p1TAp2 = p1TATp2 = (Ap1)Tp2 = 1 p1Tp2 , 设设 1, 2是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个的两
6、个不同不同 的特征值的特征值, p1, p2是对应与它们的是对应与它们的特特 征向量征向量, 则则 p1与与p2正交正交.于是于是( 1 2) p1Tp2 = 0, 从而从而 p1TAp2 = p1T( 2p2) = 2 p1Tp2. 实对称矩阵对应于不同特征值实对称矩阵对应于不同特征值的的特特 征向量彼此正交征向量彼此正交.设设 1 2, p1, p2 , s.t.Ap1= 1 p1, Ap2= 2 p2 但是但是 1 2, 故故p1Tp2 = 0.对于任意对于任意n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A, 存在正存在正 交矩阵交矩阵Q, 使得使得 Q 1AQ = = diag( 1, 2, , n),
7、 其中其中 1, 2, , n为为A的全部特征值的全部特征值, Q = q1, q2, , qn的列向量组是的列向量组是A的的对应对应 于于 1, 2, , n的的标准正交标准正交特征向量组特征向量组.n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的ni重重特征值都有特征值都有ni个个线性无关的特征向量，再由线性无关的特征向量，再由施密特正交化施密特正交化方方法知，必有法知，必有ni个标准正交的个标准正交的特征向量特征向量.312132220A 51630121653021265300,Q 1T2 0 00 4 0 .0 0 4Q AQQ AQ 1T.Q AQQ AQ 1121124112000224000I
8、A 3112021 3233222211,2011 ;,2101 1116231111236232163,.0Qq q q 121323, 12323/, 3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 1000010001222254245 实对称阵对应于实对称阵对应于不同不同特征值特征值的的特征向量特征向量正交正交.任意任意n阶实对称阵总可以阶实对称阵总可以正交相似对角化正交相似对角化, 存在正交阵存在正交阵Q, 使得使得Q1AQ= =diag( 1, 2, n),其中其中Q = q1,q2,qn的列向量组是的列向量组是A的的对应于特对应于特征值征值 1, 2, , n的的标准正交
9、标准正交特征向量组特征向量组.Q1AQ=QTAQ= A=Q Q1=Q QT实矩阵实矩阵A可正交相似对角化可正交相似对角化, 则则A必对称必对称.AT = (Q QT)T = Q TQT = Q QT = A正交正交特特征向量征向量1. l.i.特征向量再由特征向量再由Schmidt正交化法正交正交化法正交2. 由由1个个特量及特量及正交方程组解其他正交特量正交方程组解其他正交特量An=Q nQTQ1AQ=QTAQ= A=Q QT=Q Q1AT=(Q QT)T=Q QT=AP1AP= A=P P1等价等价关系关系定义定义矩阵矩阵定定 义义等价类等价类代表代表不变量不变量Rn nRm n相似相似正交正交相似相似Rn n,实对称实对称11stBPP AQQ 相抵标准形相抵标准形 rm nI ,ijP Q为初等阵为初等阵, . .Ps t 可逆1BPAP , . .,Qs t 正交1TBQ AQQ AQ 1n i为特征值为特征值 秩秩 特征值特征值,迹迹,行列式行列式 秩秩 若若A可相似可相似对角化对角化 习题习题5.1 1, 3, 4, 5, 6二二. .习题习题5.2 2, 3, 4, 5, 6 三三. .习题习题5.3 1(1,2), 2, 3, 4, 5 思考题思考题 1, 2, 4, 6, 8习题习题6.1 1(2), 2(1), 3, 4, 6
