1、南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第I卷（选择题 共60分）一单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|yln(x2)，Bx|x24x30，则ABA1，3B(2，3C1，)D(2，)2若(2i)zi，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知a，
2、b为单位向量若|a2b|，则|a2b|ABCD54利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为090之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到下表为部分锐角的正弦值，则tan1600的值为(小数点后保留2位有效数字)1020304050607080sin0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A0.42B0.36C0.36D0.425已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上若该圆锥的底面半径为2，高为6， 则球O的表面积 为 A32 B48 C64 D806泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松
3、首次提出泊松分布的概率分布列为P(Xk)e(k0，1，2，)，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为（0）的泊松分布若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为ABCD7已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为A B CD8已知实数a，b(1，)，且2(ab)e2a2lnb1，e为自然对数的底数，则A1baBab2aC2abeaDeabe2a二多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给
4、出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力2017年2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示根据下面图表，下列说法一定正确的是A该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)1
5、0已知抛物线y24x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是A若O为线段PQ中点，则PF2B若PF4，则OP2C存在直线l，使得PFQFDPFQ面积的最小值为211设函数f(x)2sin(x)，0，下列说法正确的是A当2时，f(x)的图象关于直线x对称B当时，f(x)在0，上是增函数C若f(x)在0，上的最小值为2，则的取值范围为D若f(x)在，0上恰有2个零点，则的取值范围为12在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则AAG平面PBDB直线FG和直线AB所成
6、的角为C当点T在平面PBD内，且TATG=2时，点T的轨迹为一个椭圆D过点E，F，G的平面与四棱锥PABCD表面交线的周长为2 第II卷(非选择题 共90分)三填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13实数a，b满足lgalgblg(a2b)，则ab的最小值为142022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为（用数字作答）15已知定义在R上的奇函数f(x)满足 f(1x) f(1
7、x)2，当x 0，1时，f(x)2xx2若f(x) xb对一切xR恒成立，则实数b的最大值为h(第16题图)16某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为cm四解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在平面四边形ABCD中，已知ABC，ADC，AC平分BAD（1）若BAD，AC2，求四边形ABCD的面积；（2）若CD2AB，求tanBAC的值18(本小题满分12分)已知数列an，当n2k
8、1，2k)时，an2k， kN*记数列an的前n项和为Sn（1）求a2，a20；（2）求使得Sn2022成立的正整数n的最大值19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，PAB是边长为2的等边三角形，PDAB，PD（1）求证：平面PAB平面ABCD；（2）求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小ACDBP(第19题图)20(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0p1)现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成
9、本为a(a0)元（1）写出X的分布列；证明：E(X)；（2）某公司意向投资该产品若p0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.21(本小题满分12分)双曲线C：1(a0，b0) 经过点(，1)，且渐近线方程为yx（1）求a，b的值；（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，ABD的外接圆经过原点O求证：直线AB与圆x2y21相切22(本小题满分12分)设函数f(x)aexsinx3x2，e为自然对数的底数，aR（1）若a0，求证：函数f(x)有唯一的零点；（2）若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围南京市、盐城市2022届高三年级第二次模
10、拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1C2A3B4B5C6D7A8D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9BCD10AD11AC12ABD三填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)138141441516120四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)解：（1）因为BAD，AC平分BAD，所以BACCAD在ABC中，因为ABC，所以AC
11、B，又因为AC2，由，得AB，2分所以SABCABACsinBAC在ACD中，因为ADCCAD，所以CACD2，所以SACDCACDsinACD，所以S四边形ABCDSABCSACD4分（2）因为AC平分BAD，所以BACCAD，在ACD中，由ADC， ，得AC 在ABC中，由ABC， ，得AC 6分由得又因为CD2AB，所以2sinACBsinCAD 设BAC，则sin2sin()，8分所以sin2(cossin)，即2sincos因为(0，)，所以cos0，所以tan，即tanBAC10分18(本题满分12分) 解：（1）因为221，22)，所以a2224，2分因为2024，25)，所以a
12、2025324分（2）an2k的项数为2k2k12k16分又因为2021222k12k1，所以数列an的前2k1项和为S2120222123222k2k121232522k1(4k1)8分当k5时，S31(451)6822022，S51S312620682128019622022，10分S52S512619626420262022又因为Sn1Sn，所以使得Sn2022成立的正整数n的最大值为5112分EAACCDDBBPP(第19题图)19(本题满分12分)解：（1）取AB中点E，连接PE，DE因为PAB是边长为2的等边三角形，所以ABPE，PE，AE1又因为PDAB，PDPEP，PD，PE平
13、面PDE，所以AB平面PDE2分因为DE面PDE，所以ABDE在RtAED中，AD2，AE1，所以DE 在PDE中，PD，DE，PE，所以PE2DE2PD2，所以DEPE4分又因为ABPEE，AB，PE平面PAB，所以DE平面PAB又因为DE平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD6分（2）由（1）知，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，D(0，0，)，C(2，0，)，P(0，0)则(2，0，0)，(0，)8分(第19题图)yxzPADECB设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即取x0，y1，z1所以n(0，1，1)是平面PCD的一个法向量10分因为
14、DE平面PAB，所以(0，0，)为平面PAB的一个法向量所以cosn，所以平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小为12分20(本题满分12分) 解：（1）当1X9时，P(Xi)(1p)i1p，i1，2，9当X 10时，P(X10)(1p)9所以P(Xi)4分E(X)i(1p)i1p10(1p)9pi(1p)i110(1p)9令Si(1p)i1，则E(X)pS10(1p)9则S12(1p)3(1p)28(1p)79(1p)8，(1p)S(1p)2(1p)27(1p)78(1p)89(1p)9，两式相减，得pS1(1p)(1p)2(1p)7(1p)89(1p)96分9(1p)9，所以E(X)(1
15、p)91(1p)10 因为0p1，所以01(1p)101，所以E(X)9分（2）当p0.25时，由（1）得E(X)4， 则aE(X) 4a5a，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品12分21(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C渐近线方程为yx，所以1又因为双曲线C经过点(，1)，所以12分解得ab4分（2）方法1当AB斜率不存在时，由双曲线对称性知AD经过原点，此时与题意不符设AB方程为ykxm(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点E(x3，y3)，则D(x2，y2)由消去x，得 (1k2)x22kmxm220，所以x1x2，x1x2，6分
16、则x3，y3kx3m，则AB的中垂线方程为y(x)，当x0时，y 因为B，D两点关于y轴对称，则ABD的外接圆圆心在y轴上，记圆心为点F，则F(0，)8分因为ABD的外接圆经过原点，则OFFA，即|又因为1，所以y12 y110同理，由OFFB，得y22 y210，所以y1，y2是方程y2y10的两个根，所以y1y2110分则(kx1m)(kx2m)1，即k2x1x2km(x1x2)m21，所以k2()kmm21，化简得k21m2，所以原点O到直线AB距离d1，所以直线AB与圆x2y21相切12分方法2设直线AB方程为xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x2，y2)又因为B，D
17、两点关于y轴对称，则ABD的外接圆的圆心在y轴上，设为P(0，t)，则PAPB，即由1，1，化简得ty1y26分因为ABD的外接圆经过原点O，所以PAPO|t|，即|y1y2|，化简得y1y218分联立直线AB及双曲线方程消去x，得 (m21)y22mnyn220，所以y1y210分又因为y1y21，所以1，即m21n2，所以原点O到直线AB距离d1，所以直线AB与圆x2y21相切12分22(本题满分12分)解：（1）由f(x)aexsinx3x2，得f(x)aexcosx3因为a0，所以f(x)aexcosx3cosx30，所以f(x)在(，)单调递减2分又因为f(0)a20，f(a2)ae
18、a2sin(a2)3a4a(ea23)0，因此f(x)有唯一的零点4分（2）由（1）知，a0符合题意（i）当a2时，由f(x)2exsinx3x2，得f(x)2excosx3当x0时，f(x)2ex20，所以f(x)单调递减；6分当x0时，f(x)2exsinx2ex10，所以f(x)在(0，)上单调递增，从而，当x0时，f(x)f(0)0，所以f(x)单调递增， 于是f(x)f(0)0，当且仅当x0时取等号，故此时f(x)有唯一的零点x08分（ii）当a2时，f(x)2exsinx3x20，此时f(x)无零点；9分（iii）当0a2时，首先证明：当x0时，ex设g(x)ex，x0，则g(x)exx，g(x)ex10，所以g(x)在0，)上单调递增，故g(x)g(0)10，所以g(x)在0，)上单调递增，因此g(x)g(0)10，即当x0时，ex10分当x0时，f(x)aex3x3x23x3，令x23x30，得x取x00，则f(x0)0又f(0)a20，f(1)ae11sin10，因此，当0a2时，f(x)至少有两个零点，不合题意综上，a2或a012分数学试题第13页（共6页）
