1、第一节 开口薄壁杆件的扭转一开口薄壁截面的剪力流和剪力中心0)()(tdzdzdsstttdsdsdzzttzzzztstz)()(即yyxxzIxMIyM将dzdMQxydzdMQyx代入上式得截面上的剪力流为：) 14(00syyxxxysyxxyISQISQxtdsIQytdsIQt式中：轴的弯矩；和对和yxMMyx轴的剪力；和平行和yxQQyx轴的静矩；对xytdsSsx0轴的静矩；对yxtdsSsy0剪力流合力Qx和Qy的交点C称为剪力中心，又称弯曲中心、扭转中心剪力中心C点的位置可由合力的力矩等于各分力力矩之和来确定因此：1001000)(0sxxysyxdsSIQdstxQQ时，
2、当10010000)24(11sxxssxadsSIytdsdsIx同理，由Qy0，可得10010000)24(11syyssybdsSIxtdsdsIy0截面形心到截面中心线上微段ds的切线的垂直距离若定义sadsdds00000)34(,101000)34(,00ssxybxtdsIytdsI)44(1110010000aIIytdsIytdsIxxysxssxo)44(1110010000bIIxtdsIxtdsIyyxsyssyossds000又称单位翘曲点的扇性坐标，称为翘曲惯性积称为扇性惯性积，又称和yxII00例41 槽形截面在Qy作用下截面上的剪力流和剪力中心位置解 1.剪力流
3、 选下翼缘端点1作为曲线坐标s的起始点下翼缘(bs0)ssshttdshytdsS001222sIhtQISQtxyxxy2点2（sb）22bhtS xyIbhtQt2腹板（bhsb）bsbbsbshtbhtytdsytdsS0222)()(222)()(2bsbshbhIhtQtxyshby2点3（sh/2+b）8223thbhtS422hbhIbhtQtxy点4（shb）24bhtS xyIbhtQt22。剪力中心坐标（x0，y0）单轴对称，剪力中心C位于对称轴x轴上，即y0010001sxxdsSIx图乘法hthhbhtehbbhtIx8322222212eIthbhbtthIeIthb
4、xxx422124222222对槽形截面，0分别为h/2和e剪心坐标也可利用（44）时求得：建立以形心O为极点，以下翼缘自由端点1为起始点（称为扇性零点）的扇性坐标0图下翼缘(bs0)ssshdshds0001222点2（sb）22bh腹板（bhsb）bsbebsbhedsdsh024)(22点3（sbh/2）)(23ebh点4（shb）hebh24上翼缘（2bhsbh）hehshdshdshbshb)(220045点5（s2bh）)(5ebh由0图应用图乘法可得：222)(262221000hbhebhebhhhehbhbhtytdsIsyxeIthbhbtthethb42212422232
5、2因此eIthbIIxxxy42200二开口薄壁杆件的扭转形式1。自由扭转或圣维南扭转又称纯扭转或均匀扭转截面只有扭转引起的剪应力2。约束扭转又称弯曲扭转或非均匀扭转截面产生不同的纵向正应力翘曲正应力或扇性正应力，同时产生与翘曲正应力保持平衡的剪应力翘曲剪应力。三 开口薄壁杆件的纯扭转对开口薄壁杆件，由弹性力学得到：)54(kkkGIdzdGIM式中：Mk纯扭转扭矩，采用右手螺旋规则定其正负号； G 材料的剪切弹性模量； 截面的扭转角，其正负号与Mk相同； 杆件单位长度的扭转角，或称扭率； Ik 截面的扭转常数或纯扭惯性矩。对于狭长矩形截面：)64(313abtIk当截面由几个狭长矩形元素组成
6、时：)64(3113btbIniiik)74(GtItMkkk或四 开口薄壁杆件的约束扭转两个基本假设：1。假设截面在扭转前的形状与扭转后在垂直于杆轴平面内的投影形状相同截面形状不变假定。截面上任意点B(x,y)在xoy平面内位移，可以将截面看成刚体运动求得。u、v和w为B点沿坐标轴x、y和z方向的位移，和为B点沿曲线坐标s方向的切线和法线方向的位移，c为剪力中心C到B点切线的垂直距离。)(sinsin01yytgBCBBu)(coscos01xxtgBCBBv)84(sin)(cos)(00cxxyy2. 假定约束扭转时，杆件中面的剪应变为零对于t/b1/10, 轮廓尺寸/长度1/10构件比
7、较精确。0)(cczsswzswzsw对s积分一次可得：)94()()(0zfzfdswcscsccds0以剪力中心C为极点，以A点为起始点 的扇性坐标。式中：f(z)积分后出现的函数，与坐标s无关；起始点A的扇性坐标为零，因此A点称为扇性零点。)104()( zfzwcz)114()( zEfEEcz当杆件仅受扭矩作用时，截面上正应力的合力为零：0 )( )( AcAczzzAfdAEdAzfEdA得到：)124()( AcdAAzf代入（411）后可得：)134(nAccEAdAE称为主扇性坐标。nAccnAdA)144( 可以选择扇性零点的位置使满足条件AcdA0的扇性零点称为主扇性零点
8、。将（412）积分一次后代入（49）得：111CCAdACdAAwnAAccccC1为积分常数，表示杆件扭转时轴向刚性位移，即自由翘曲位移，只与坐标s有关，不随杆长变化。相邻截面的翘曲不等，各截面翘曲正应力也不等，因此会产生翘曲剪应力，假定沿厚度为均匀分布，根据平衡条件得：0tdsstdsz对s积分一次，并将（413）式代入可得：ssnCtdsECtdszt0022 截面自由边处0，当积分界限从自由边处开始时，得积分常数C20。因此离自由边为s处的翘曲剪应力为snEStdsEt0)154( 式中：性静矩。称为翘曲静矩，又称扇sntdsS0整个截面上的翘曲剪应力对剪力中心形成合力矩，叫做翘曲扭矩
9、，又称约束扭转力矩。1000 ssnnsctdsdEdstM)164( 102EItdsEsn)174(2102AnsndAtdsI式中I为翘曲扭转常数或翘曲惯性矩，又称主惯性矩。由（415）、（416）两式消去”后得：）（184ISMt引入一个新力素，定义AnAnEIdAEdAB)194(2B称为双力矩。代入（413）得：）（204IBEnn由（416）、（420）消去后得：）（214dzdBM在约束扭转杆件中：MMMks（45）、（416）代入上式后得：)224( EIGIMks当杆件承受均布扭矩时：dzdMmss)234(zIVkmEIGIk截面上剪应力为：计算此截面的扇性几何特征n、S
10、和I，并求储此梁的最大双力矩。纯扭矩和翘曲扭矩。解 1。截面扇性几何特性hbbhtbtbbte22222hbbIthbexfx6342220eIthbxx4220阅读夏志斌教授结构稳定理论P187例52sbccsbhdshds001)(22为顺时针向，为负值取剪力中心C为极点，任取一点2为起始点求扇性坐标chcsfhfds04)( 为顺时针向，为负值bhhccsfbhdsh)()2(2245为逆时针向222222)2(1bhbbhbfhhfhbbhtbtdAAAc在c图上减去-hf/2 后即得n图)174(2102AnsndAtdsI有了n根据（417）应用图乘法求截面主扇性惯性矩381341
11、)(3)(42222hffhhfhffbhfbhtI233622232hfbffbbth求截面主扇性惯性矩sntdsS0积分必须以截面自由边为起始点。26)(4)(2)(2fbhtfbhfbtS)2(422)(422fbbhtfhftfbhtS)22(4222)2(423bbfhfhthhftfbbhtS)2(4222)22(424fbbhthhftbbfhfhtS27)(422)2(4fbhtfhftfbbhtS2。最大双力矩、纯扭转扭矩和翘曲扭矩EIGIk2设（422)可改写为：EIMz2通解为：kzGIzMCzCzC321coshsinh对称关系，梁的左半段20MMz边界条件z0时，”0
12、对称条件zl/2时，0可得积分常数C1、C2和C3。及其导数表达式为：2coshsinhlzzGIMkz2coshcosh1lzGIMkz2coshsinhlzGIMkz2coshcosh 2lzGIMkz2coshcosh120lzMGIMkk由（45）式得：当z0时， Mk值最大2cosh1120maxlMMk由（416）式得：2coshcosh2 0lzMEIM当zl/2时， M值最大20maxMM当z0时， M值最小2cosh120minlMM由（419）式得：2coshsinh20lzMEIB当zl/2时， B值最大220maxltghMEIB五 开口薄壁杆件的扭转应变能纯扭转dMd
13、Uk21)54(kkkGIdzdGIM由(4-5)式得：kkkkGIMGIdzMd和代入上式并对全长积分得纯扭转时应变能为：lkdzGIU02)244(21翘曲扭矩引起的应变能包括翘曲正应力和翘曲剪应力在相应变形上所作功的总和，但引起的应变能较小，忽略不计，因此：tdsdzEtdsdzdU2212)134(nAccEAdAElkdzGIEIU022)264(21 lslndzEItdsdzEU0100222)254(2121将(413)代入上式，积分后得到：lkdzGIU02)244(21约束扭转时的应变能为：第二节 轴心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲临界荷载中性平衡方程剪心C沿x和y轴方向平移
14、u和v，截面绕剪力中心扭转角，点B(x,y)沿x和y轴方向位移为：)274()(,)(00 xxvvyyuuBB假定屈曲时杆件处于弹性工作阶段和小变形状态，并假定截面的周边形状保持不变，无初始缺陷。一 中性平衡方程的建立(一)通过势能驻值原理来推导VU lkydzGIEIEIvuEIU02222)284(21lBBdzvudAdW02221)(WV）（322102ldxdxdylsl)294()(21022 AlBBAdzvudAdWW将(4-27)和P/A代入上式，并注意O为形心，x和y轴为形心主轴，得：)304()22(20220022dzrvxuyvuPWlC式中半径截面对剪力中心极回转
15、2020yxAIIryxC2202221klxyGIEIvEIuEI)314()22(220022dzrvxuyvuPC可以写成：dzvvuuFl0) , , , , , (21根据势能驻值原理：0ludzuFdzduFdzduF02221lvdzvFdzdvFdzdvF02221ldzFdzdFdzdF02221因而得：）（324000222222FdzdFdzdFvFdzdvFdzdvFuFdzduFdzduF欧拉方程将(4-31)中被积函数代入(4-32)式后得到弯扭屈曲中性平衡方程为：）（3340Pr)(0)(0)(20000CkIVIVxIVyvxuyPGIEIxvPvEIyuPuE
16、I(二) 假想荷载法符拉索夫虚拟荷载法0 PyEIyIV平衡方程轴压杆弯曲屈曲时中性yqPy均布荷载看为作用于杆件上横向将0yIVqEIy时的弯曲微分方程梁在横向均布荷载作用)344()()()()(022022dAxxvdzvddAdqdAyyudzuddAdqByBx均布荷载不通过剪力中心，产生均布扭矩：)354()()()()()()(000000dAxxxxvdAyyyyuxxdqyydqdmyxx将=P/A代入(4-34)和(4-35)式，对整个截面积分，并注意O为形心，x和y轴为形心主轴，可得：)364(Pr) () () (20000ACzzAyyAxxvxuyPdmmxvPdq
17、qyuPdqq将(436)式代入梁的弯曲微分方程EIyuIV-qx=0和EIxvIV-qx=0及扭转微分方程(423)，即可求出中性平衡方程，此方程与(433)式完全相同。回转半径。是截面对剪力中心的极式中2020yxAIIryxC二 临界荷载的确定(一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组如杆段简支时，边界条件为00vvuulzz处，和假设位移函数为：)374(sin,sin,sinlznClznBvlznAuA、B和C广义坐标或参变数n1,2,3, 弹性曲线的半波数将它代入(4-33)式，并令：)384(1,2222222222kCyyxxGIlEInrPlEInPlEInP得到线
18、性齐次代数方程组为：)404(0)(0020000PPrPxPyPxPPPyPPCxy)394(000)(0020000CBAPPrPxPyPxPPPyPPCxy特征方程为：)404(0)()()()(2022022PPxPPPyPPPPPPPryxyxC或解此方程式所得P的最小根，即为所求的临界力Pcr。当杆端为固定时，边界条件为：00vvuulzz处，和假设位移函数为：)414(2cos1,2cos1,2cos1lznClznBvlznAu代入(4-33)式，并令)424(41,4,42222222222kCyyxxGIlEInrPlEInPlEInP可得与两端简支时相同的方程式(440)
19、，求解之，其最小根为所求的临界力。也可采用迦辽金法，里兹法求解微分方程三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例(一)当杆件截面为双轴对称或点对称时截面形心与剪力中心重合，x0y00，(4-40)的形式为：0)()(PPPPPPyx222lEInPPxx方程式的三个根为222lEInPPyykCGIlEInrPP22221当n1时，得到最小临界力，将此三根代入(4-39)式，可得lznAuvACBPPysin, 0, 0, 0,即时当lznBvuBCAPPxsin, 0, 0, 0,即时当lznCvuCBAPPsin, 0, 0, 0,即时当当PPx和PPy时，杆件为弯曲屈曲，当PP时，杆件
20、为扭转屈曲。对于双轴对称或点对称截面的轴压杆，只能发生绕其主轴弯曲屈曲或绕剪力中心的扭转屈曲，不会发生弯扭屈曲。(二)当杆件截面为单轴对称(设y轴为对称轴)时，则x00，式(4-40)的形式为：0)()(2022yPPPPPrPPyCx则上式的根为设,1220Cryk)444(222alEInPPxx)444(4)(212bPkPPPPPkPyyy和弯曲屈曲弯扭屈曲(三)当杆件截面为不对称时，则必为弯扭屈曲，临界力为(4-40)式的三个根中最小值，并取n1。阅读夏志斌教授结构稳定理论P200例53取n1，得到最小临界力。第三节 偏心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲除了上节所述的基本假定外，需再假设
21、杆件截面具有足够的抗弯刚度，由偏心弯矩产生的弯曲变形很小，可以略去不计。)454( yyxxIxMIyMAP轴的杆端作用力矩轴和是绕和式中yxMMyx轴的偏心矩。轴和为对分别和则当为偏心受压时，yxPeePeMPeMyxyyxx,一 中性平衡方程的建立(一)根据势能驻值原理来导出中性平衡状态时，截面上任意点B(x,y)的位移、应变能U和外力所作的功W的表达式与上一节(4-25)式、(4-28)式和(4-29)式相同。将(4-27)和(4-45)代入(4-29)式，对整个截面积分，并注意O为形心，x和y轴为形心主轴，可得：AdzdxxvyyuIxMIyMAPWlAyyxx 02020)()(21
22、dzMMvMPxuMPyrvuPxyyxlyxC22)(2)(2)(21220002222式中 x和y为不对称截面的几何特性。)474()(21)(21022022AxyAyxydAyxyIxdAyxxI)(21222202222ClkxyrvuPGIEIvEIuEI体系总势能的表达式为：)484()(2)(2)(2200dzMMvMPxuMPyxyyxyx由0和变分法导可得(4-32)式，将(4-48)式中被积函数代入，可得平衡方程为：）（4940)()()22(Pr0)(0)(00200vMPxuMPyMMGIEIMPxPvvEIMPyPuuEIyxxyyxkCIVyIVxxIVy）（50
23、40)()()2(2Pr0)(0)(00200vexPueyPeePGIEIMPxPvvEIMPyPuuEIyxxyyxkCIVyIVxxIVy或(二)根据假想荷载法导出 P204二 临界荷载的确定杆端为简支时，假设位移函数同(4-37)式，代入(450)式，可得线性齐次代数方程为：)514(000)(2)()()()(0)(020000CBAeePPPrexPeyPexPPPeyPPPxyyxCyxyyxxy0)(2)()()()(0)(020000 xyyxCyxyyxxyeePPPrexPeyPexPPPeyPPP由(451)式可得稳定特征方程为：或：)524(0)()()(2)()(2
24、022022yyxxxyyxCyxexPPPeyPPPeePPPrPPPP解这个特征方程可得P的三个根，其最小根就是所求的临界力。当杆端为固定时，可假定位移函数同(4-41)式，代入(4-50)式可得与(4-51)和(4-52)式相同的方程式，但Px、Py和P的定义稍有不同，见(4-42)式。三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例(一)当杆件为双轴对称，且压力P作用在一个对称轴(假定是y轴)上时，则x0=y0=ey=x=y=0，此时方程(4-52)式的形式为：0)()(222xyCxePPPPPrPP和上式的根为设,1Cxrek 222lEInPPxx4)()1 (21 )1 (4)()
25、1 (212122121221kPPPPPPkkPPPPPPkPyyyyyy临界力为上述三根中最小值，并取n1。当临界力为Px时，为绕x轴的弯曲屈曲，当临界力为其它根时，为弯扭屈曲。当为弯扭屈曲时：;, 11有二个正根即若PrekCx;, 11PPPPPrekyyCx即若受拉时的弯扭屈曲；，负根表示大偏心有一个正根和一个负根即若PrekCx, 11与上节相同。和即有两个正根，为心受压，即若PPPPPekyx , 0, 01(二)当杆件为单轴对称，且压力P作用在对称轴(假定是y轴)上时，则x0=ey=x=0，此时方程(4-52)式的形式为：0)(2)()(2022xyxCyxeyPPePPrPPPP杆件可能绕x轴弯曲屈曲，也可能是弯扭屈曲。(三)当杆件截面无对称轴时，则为弯扭屈曲。但当偏压力P作用在剪力中心时，则ex=y0, ey=x0，此时方程(4-52)可简化为：0)(2)()(002xyCyxxyPPPrPPPP其根为：222lEInPPxx222lEInPPyy)(20022yxCCyxrPrP说明偏心荷载当P通过剪力中心时，不存在弯扭屈曲，只能是弯曲屈曲或扭转屈曲。对于单轴对称截面，扭转屈曲的临界力为：)(2022轴为对称轴时yyrPrPyCC)(2022轴为对称轴时xxrPrPxCC阅读夏志斌教授结构稳定理论P207例54
