1、6.1 6.1 线性系统的常规控制律线性系统的常规控制律6.1.1 6.1.1 线性定常状态反馈控制律线性定常状态反馈控制律为干扰信号，为干扰信号， DuCxyEdBuAxx 线性定常系统线性定常系统 lRd lnRE 干扰输入矩阵。干扰输入矩阵。 线性定常状态反馈控制律线性定常状态反馈控制律 ：GvKxu 系统在状态反馈律系统在状态反馈律: : 作用下作用下的闭环系统为的闭环系统为: :命题命题6.1.16.1.1 状态反馈可以改变系统的极点状态反馈可以改变系统的极点集。集。GvKxu ccccDxCyEdBxAx 其中其中: : DGDDKCCBGBBKAAcccc,命题命题6.1.26.
2、1.2 设设，且，且阵非奇异，阵非奇异，保持系统的保持系统的则状态反馈则状态反馈输入解耦零点，也即不能控振型不变。输入解耦零点，也即不能控振型不变。命题命题6.1.36.1.3 当当，且，且阵非奇异，阵非奇异，保持系统的能控保持系统的能控则状态反馈则状态反馈性不变。性不变。 状态反馈可以保持系统的输入解耦状态反馈可以保持系统的输入解耦零点和能控制性不变，不能保证系统的零点和能控制性不变，不能保证系统的输出解耦零点和能观性不变。输出解耦零点和能观性不变。rp GGvKxu rp GGvKxu 012011xxuyx 0230uxv 例例6.1.1 已知系统已知系统容易验证该系统为完全能观的，从而
3、不容易验证该系统为完全能观的，从而不存在输出解耦零点或不能观振型。但当存在输出解耦零点或不能观振型。但当取了状态反馈律取了状态反馈律01,10 xxv 11yx 1 得闭环系统得闭环系统容易验证它具有一个不能观振型容易验证它具有一个不能观振型从而为不能观的。从而为不能观的。6.1.2 6.1.2 定常线性输出反馈控制律定常线性输出反馈控制律线性定常输出反馈控制律线性定常输出反馈控制律 ：GvKyu 当当 时系统在输出反馈律时系统在输出反馈律: : 作用下的闭环系统为作用下的闭环系统为: :0, 0 EDGvKyu xCyttxxvBxAxccc00,0,其中其中: :CCBGBBKCAAccc
4、 , 阵可逆时，其输出阵可逆时，其输出反馈律保持其输入解耦零点和输出解反馈律保持其输入解耦零点和输出解耦零点不变，从而保持其能控性和能耦零点不变，从而保持其能控性和能观性不变。观性不变。 命题命题6.1.46.1.4 对于线性定常系统对于线性定常系统有以下结论：有以下结论： 1.其输出反馈律其输出反馈律可以改变其极点集。可以改变其极点集。 2.当当，且，且 DuCxyEdBuAxx GvKyu Grp 6.1.3 6.1.3 线性定常输出动态补偿器线性定常输出动态补偿器 输出反馈律不含动态环节为静态输出输出反馈律不含动态环节为静态输出反馈反馈,动态补偿器含有动态环节动态补偿器含有动态环节,称为
5、动称为动态输出反馈。其一般形式为：态输出反馈。其一般形式为：其中其中: : 为动态补偿器的状态向量为动态补偿器的状态向量, , 称为动态补偿器的阶称为动态补偿器的阶, , 为外部输入信号为外部输入信号, , 为适当阶的参数矩阵。为适当阶的参数矩阵。 CxutzzLvHyFzz0,0,0qRz pRv qGMNLHF,当系统当系统 时，闭环系统的表达式时，闭环系统的表达式为为: :0, 0 ED XCyXXvBXAXccc00,其中其中: : 0,CCLBGBFHCBNBMCAAzxXccc 注：注：动态补偿器增加了系统的动态环节。动态补偿器增加了系统的动态环节。命题命题6.1.56.1.5 线
6、性定常系统线性定常系统（其中（其中）在动态补偿器下）在动态补偿器下的控制作用等效于增广系统的控制作用等效于增广系统 在如下静态输出反馈下的控制作用：在如下静态输出反馈下的控制作用： DuCxyEdBuAxx 0, 0 ED XCYuBxAX FHNMKvGKYU,6.2 6.2 极点配置问题及其解的存在性极点配置问题及其解的存在性6.2.1 6.2.1 极点配置问题的描述极点配置问题的描述 极点是定常线性系统所特有的概念；极点是定常线性系统所特有的概念； 极点配置问题也称为特征值配置问极点配置问题也称为特征值配置问题；题； 考虑定常线性系统分别在考虑定常线性系统分别在: :状态反馈状态反馈律、
7、输出反馈律、动态补偿器作用下律、输出反馈律、动态补偿器作用下的极点配置问题。的极点配置问题。问题问题SPA 状态反馈极点配置问题状态反馈极点配置问题 给定矩阵给定矩阵 及一组共轭及一组共轭封闭复数封闭复数 （不必互异），求（不必互异），求取矩阵取矩阵 ，使得：，使得：rnnnRBRA ,nisi, 2 , 1, nrRK nisBKAii, 2 , 1, 问题问题OPA 输出反馈极点配置问题输出反馈极点配置问题 给定矩阵给定矩阵 及一组共轭封闭复数及一组共轭封闭复数 （不必（不必互异），求取矩阵互异），求取矩阵 ，使得：，使得：nmrnnnRCRBRA ,nisi, 2 , 1, mrRK n
8、isBKCAii, 2 , 1, 问题问题DPA 动态补偿器极点配置问题动态补偿器极点配置问题 给定矩阵给定矩阵 及一组共轭封闭复数及一组共轭封闭复数 （不必（不必互异）和某正整数互异）和某正整数 ，求取矩，求取矩阵阵 ，使得：使得：qnisFHCBNBMCAii , 2 , 1, nmrnnnRCRBRA ,nisi, 2 , 1, mrqrmqqqRMRNRHRF ,0 q6.2.2 6.2.2 状态反馈极点配置问题的解的存在状态反馈极点配置问题的解的存在性性定义定义6.2.16.2.1 如果对于任何给定的一组共轭如果对于任何给定的一组共轭封闭复数封闭复数，前述问题，前述问题SPA可用状态
9、反馈任意配置极点。可用状态反馈任意配置极点。 均有解，则称线性系统均有解，则称线性系统 DuCxyBuAxx nisi, 2 , 1, 定理定理6.2.16.2.1 定常线性系统定常线性系统可用状态反馈任意配置极点的充要条件可用状态反馈任意配置极点的充要条件是该系统完全能控。是该系统完全能控。称为循环的，当且仅当其特征多项式等称为循环的，当且仅当其特征多项式等同于其最小多项式，或其同于其最小多项式，或其Jordan标准型标准型中相应于每个不同的特征值仅有一个中相应于每个不同的特征值仅有一个Jordan块。块。 定义定义6.2.26.2.2 设设，则矩阵，则矩阵 DuCxyBuAxx nnRA
10、A，矩阵，矩阵则几乎对于任意的则几乎对于任意的具有互异特征值，从而为循环矩阵。具有互异特征值，从而为循环矩阵。引理引理6.2.26.2.2 设设且且BKA ，且，且 能控能控引理引理6.2.16.2.1 已知已知为循环的，则对几乎任意的为循环的，则对几乎任意的 rnnnRBRA , BA,nrRK rnnnRBRA ,，且，且 能控能控 BA,ArR 有有 BA,能控。能控。 010,10101xxu yx uky 01,100 xx yxk 例例6.2.1 考虑下述既完全能控又完全能观考虑下述既完全能控又完全能观的系统的系统它在输出反馈律它在输出反馈律下的闭环系统为下的闭环系统为2sk k其
11、闭环特征多项式为其闭环特征多项式为。从而当。从而当的值变化时，闭环系统的极点只能在复平的值变化时，闭环系统的极点只能在复平面的实轴和虚轴上变化，不能任意配置。面的实轴和虚轴上变化，不能任意配置。6.2.3 6.2.3 输出反馈极点配置问题的解的存在性输出反馈极点配置问题的解的存在性 静态输出反馈亦称之为部分状态反馈，静态输出反馈亦称之为部分状态反馈，但较状态反馈包含了较少的信息，对于输但较状态反馈包含了较少的信息，对于输出反馈的情况，即使系统完全能控和完全出反馈的情况，即使系统完全能控和完全能观，闭环系统的极点也不可能被任意配能观，闭环系统的极点也不可能被任意配置。置。定理定理6.2.26.2
12、.2 设设“几乎几乎”总可以用静态输出反馈任意接近总可以用静态输出反馈任意接近地配置地配置则系统则系统个极点。个极点。 ）能能观观，）能能控控，（，（CABA DuCxyBuAxx 1,min rmn推论推论6.2.16.2.1 设设“几乎几乎”总可以用静态输出反馈任意配置极点。总可以用静态输出反馈任意配置极点。推论推论6.2.26.2.2 设设则则“几乎几乎”总存在总存在 阶动态补偿器，使得该系统在该补偿器作用阶动态补偿器，使得该系统在该补偿器作用下的闭环系统极点可以任意配置。下的闭环系统极点可以任意配置。）能能观观，）能能控控，（，（CABA且且，则系统则系统nrm 1 DuCxyBuAx
13、x ）能能观观，）能能控控，（，（CABA nrmrmnnrmq1, 11, 0定理定理6.2.36.2.3 记记分别为系统分别为系统的能控性指数和能观性指数，则存在的能控性指数和能观性指数，则存在 阶动态补偿器使得该系统在动态补偿器作阶动态补偿器使得该系统在动态补偿器作用下的闭环系统的极点可以任意配置。用下的闭环系统的极点可以任意配置。 使得系统闭环极点可任意配置的动态补使得系统闭环极点可任意配置的动态补偿器的最小阶数是多少？到目前还是一个偿器的最小阶数是多少？到目前还是一个悬而未决的问题。悬而未决的问题。 和和 DuCxyBuAxx ,min p6.3 6.3 状态反馈极点配置问题的求解方
14、法状态反馈极点配置问题的求解方法6.3.1 6.3.1 单输入系统的情形单输入系统的情形算法算法6.3.1 单输入系统的极点配置设计单输入系统的极点配置设计第一步：计算第一步：计算 的特征多项式，即的特征多项式，即第二步：计算由第二步：计算由 所决定所决定的多项式，即的多项式，即第三步：计算第三步：计算A0111)det(asasasAsInnn n ,21 0111 asassssannnn 111100nnaaaaaak第四步第四步:计算变换阵计算变换阵第五步第五步:求求第六步第六步:所求的增益阵所求的增益阵1111111nnnaPAbAbbaa 1QP kkQ 0001160001120
15、 xxu 1232,1,1jj 例例6.3.1 给定单输入线性定常为给定单输入线性定常为再给定期望的一组闭环特征值为再给定期望的一组闭环特征值为易知系统为完全能控，故满足闭环极点可易知系统为完全能控，故满足闭环极点可任意配置条件。现计算系统的特征多项式任意配置条件。现计算系统的特征多项式再由指定闭环极点可得到希望的闭环特征再由指定闭环极点可得到希望的闭环特征多项式为多项式为3200det()det16018720112ssIAsssss31( )()iiass 32(2)(1)(1)464ssjsjsss 00112246614kaaaaaa 于是可求得于是可求得2212111PA b Ab
16、baaa 00110072 18 161018 10121010072 18 110010010112118 144QP 再来计算变换阵再来计算变换阵并求出其逆并求出其逆k 001466140112118 144kkQ 14186 1220 从而所要确定的反馈增益阵从而所要确定的反馈增益阵即为即为6.3.2 6.3.2 多输入系统的情形多输入系统的情形1. 1.化为单变量系统的极点配置设计化为单变量系统的极点配置设计111,;.,1,(),rrKABKAABKAAArbBA b极点配置-化为单变量系统的设计第一步:判断 是否为循环矩阵.若否,选取常阵使为循环 并表若是则直接表第二步:对循环矩阵
17、通过适当选取一个实常算法6.3. A量且2表为能控.11( , ),A bKKk.AK= k第三步:对于等价单输入问题利用单输入极点配置算法,求出增益向量第四步:当 为循环时,所求的增益矩阵当 为非循环时,所求的增益矩阵则为在这一算法中和 的选取不惟一,由这种算法得到的各反馈增益;AK= k+往往偏大.2. 2. 利用能控标准型的设计利用能控标准型的设计11),WWLLWLWLA BWonhamABLuenbergerABASASASASBSBBSB*12n 极点配置-基于能控规范型的设计第一步:把能控矩阵对化成为第二能控规范型或第二能控规范型即按4.7节的方法求得变换阵使得:或第二步:根据能
18、控规范型的分块结构将给定的期望闭环算法6特征值分成若干( ,(个自共.3轭的,(,组,并S,.3 计算出每组特征值所对应的多项式.1.ccWWWLLLKAAB KAAB KK K S第三步:根据第一步得规范型的特殊分块形式和第二步中所得闭环多项式因子求取矩阵使得或者具有希望的特征值.第四步:所求的状态反,=+=+=馈增益矩阵即为( ,)A B101112121222320213132333435303132330100000000010000000000000000100000000000000100000000010000000001WaaaASASaaaaaa 示例示例6.3.1 设某设某
19、5维输入的维输入的9阶系统阶系统的的Wonham第二能控规范型具有下述形式第二能控规范型具有下述形式0 0 00 0 01 0 00 0 00 1 00 0 00 0 00 0 00 0 1WBSB 3l 1233,2,4vvv即即，且，且 。此时在算。此时在算法的第二步中可以将期望闭环特征值法的第二步中可以将期望闭环特征值 12,n 分为三组，且计算它们对应分为三组，且计算它们对应的多项式为的多项式为321123121110( ) ()()()a sssssa sa s a 22452120( )()()assssasa 36789( )()()()()asssss 43233323130s
20、asasasa 在算法的第三步中，我们可以取在算法的第三步中，我们可以取101021111122121223212223313233303031313232333300000000aaaaaaKaaaaaaaa 此时易见此时易见10111221222320213132333435303132330100000000010000000000000000100000000000000100000000010000000001WWaaaAB Kaaaaaa 且且91231det()( )( )( )()WWiisIAB Kas as ass ( ,)A B1011121415161718191212
21、223202126272829313233343530313233010000000001000000000010000000000100000000010000000001LaaaASASaaaaaa 示例示例6.3.2 设某设某3维输入的维输入的9阶系统阶系统的的Luenberger第二能控规范型具有下述形式第二能控规范型具有下述形式0 0 00 0 0100 0 00 1 00 0 00 0 00 0 00 0 1LBSB 即即1233,2,4 此时算法的第二步同示例此时算法的第二步同示例6.3.1。在算法的。在算法的第三步中可取第三步中可取10102111112212122321222
22、3313233aaaaaaK 2020142121152616271728182919202021212627282934353030313132323333()()aaaaaaaaaaaaaaaa 且由此即可导出且由此即可导出10111220213031323301000101010000100001LLaaaAB Kaaaaaa 91231det()( )( )( )()LLiisIAB Kas as ass 6.4 6.4 状态反馈特征结构配置状态反馈特征结构配置v状态反馈极点配置问题的解不惟一。状态反馈极点配置问题的解不惟一。v特征结构配置是给确定所有这样的控制特征结构配置是给确定所有
23、这样的控制律，使得闭环系统具有希望的特征值和律，使得闭环系统具有希望的特征值和重数，同时确定闭环系统对应的特征向重数，同时确定闭环系统对应的特征向量和广义特征向量。量和广义特征向量。6.4.1 6.4.1 问题的描述问题的描述状态反馈特征结构配置问题描述如下状态反馈特征结构配置问题描述如下 : :1212,1,2,:;,1,2,1,2,;1,2,1,2,;1,2,;1,2,1.()iiiiiqniiijir nkijijikiijijESASinmpppmmmnmq inpjq inKRvkpjq inABKs I vvi问题 给定复封闭点集s及满足关系 的正整数和和求取满足下述条件的一切矩阵
24、和向量组方程11,2,;1,2,;1,2,;2.,1,2,;1,2,;1,2,.kijikijijikpjqinvkpjq in,成立向量线性无关6.4.2 6.4.2 特征结构配置问题与特征结构配置问题与Sylvester Sylvester 方程方程1212(,)(,)11iijijcniiiiqiiijippAJordanFFdiag F FFFdiag FFFssFs状态反馈闭环系统系数矩阵 的标准型 写成如下形式: (6.4.6)12121212126., ,(,)(,)114. .1iijijijijiicniiiiqpijnnniiiiqiiijipAVVVVVVVVVvvvF
25、VCFdiagFFFFdiagFFFssFs对 应 状 态 反 馈 闭 环 系 统 系 数 矩 阵的特 征 向 量 矩 阵 :设 矩 (6.4.7)阵分 别 由（ 6 4 6 引 理） jijp12121210, (6.4.7), 1,2,1,2,;1,2,;( ) iijijijijniiiiqpijkkiijijijijiVV VVVVVVVvvvABKs Ivvvkpq inABK VVF和式给出，则向量方程组可等价的改写成下述矩阵 （）=,=0,; j方程在,。假设矩阵1 VKWVSylvesterAVBWVF可逆的条件下，令则该方程便转化为第一章中曾讨论过的下述矩阵代数方程12121
26、21,1,2,;1,2,;1,2,., , ,6.4.2 iijijijijkiji jiniiiiqpijn nr nvkpjq inVV VVVVVVVvvvKWVVCWCS（6 4.7) 问题ESAS中的解分别由式和给出，其中 矩阵 ：为任 引何满足理C1 det()0ylvesterAVBWVFV矩阵方程以及下述约束约束6.4.3 6.4.3 问题的求解问题的求解定理定理6.4.16.4.1 设设 能控，则问题能控，则问题ESASESAS的一切解可由式的一切解可由式 和公式和公式 ),(BA1 WVKniqjpkvvsiPfsQwviijijkijkijikjikji , 2 , 1;
27、, 2 , 1;, 2 , 10,)()(01迭代给出，或由式迭代给出，或由式和公式和公式 显示给出，其中显示给出，其中为任何满足：为任何满足：约束约束6.4.1 niqjpkfsDsNdsdkfsiDsNwviijjiiikkkijikjikji , 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1)()()!1(1)()(1111 WVKniqjpkCfiijrkij , 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1,时时当当likljkjissff , 为满足为满足的右互质的右互质 多项式矩阵。多项式矩阵。约束约束6.4.2 的参数向量；的参数向量； 0)(det kijfV 而而 满足满足的幺
28、模阵的幺模阵)(),(sDsN11()( )( )sI A B Ns D s( ), ( )P s Q s( )( )0P sAsI B Q sI 为一组共轭封闭复数（不为一组共轭封闭复数（不必互异），则满足关系必互异），则满足关系推论推论6.4.16.4.1 设系统设系统的矩阵的矩阵由以下公式由以下公式 ）能控）能控，且（且（BARBRArnnn, nisi, 2 , 1, 12( ,)cnAABKVdiag s ss V,n nr nVCKR1 WVK iiinfsNvvvvV)(,21 iiinfsDwwwwW)(,21 其中，其中，为满足约束为满足约束6.4.1且且的任何一组参向量；而
29、的任何一组参向量；而为满足右既约分解为满足右既约分解式式的右互的右互质多项式矩阵。质多项式矩阵。niCfri, 2 , 1, 0)det( V)(),(sDsN11()( )( )sIABN s Ds.,)0kijkijkijBfV frnf定理6.4.1说明多输入系统的极点配置的解不惟一.由定理6.2.1知,至少对于能控,闭环特征值互异的情形,满足约束6.4.1和约束6.4.2的参向量存在代表了维参数空间中的一个超曲面 任取一组参数落于该曲面上的机会很小,说明6.4.1说明因而在具体问题的求 (A,解时约束6.4) .2可6.4.2说以不考虑.明6.4.3说明6.4.det (4 由定理6.
30、4.1可见,单输入系统的极点配置问题的解是惟一的,并容易证明其具有重极点的非循环结构是不可实现的.例例6.4.1 考虑具有下述参数的完全能控系统考虑具有下述参数的完全能控系统01000001 ,0100110AB由算法由算法1.4.1易得易得21001( )0 ,( )101sN ssD ss 下面我们考虑几种不同的闭环特征结构配置。下面我们考虑几种不同的闭环特征结构配置。情形情形1231,2,3sss VW111112131( 1)( 2)( 3)VNfNfNf 111112131( 1)( 2)( 3)WDfDfDf 在这种情形下，矩阵在这种情形下，矩阵和和的一般表达式为的一般表达式为如特
31、别选取如特别选取 11111312110,01TTfff 1 0103 01 03 ,11 90 10VW 1003341KWV 则得则得从而对应得状态反馈增益阵为从而对应得状态反馈增益阵为1231,2,2ssi si VW111112131( 1)( 2)( 2)VNfNi fNi f 111112131( 1)( 2)( 2)WDfDi fDi f 11111213101,10fff 情形情形在这种情形下矩阵在这种情形下矩阵和和得一般表达式为得一般表达式为如特别选取如特别选取011200022,1 3434100ViiWii 1002541KWV 则得则得从而对应的状态反馈增益阵为从而对应
32、的状态反馈增益阵为12111,3,2ssqm 111111221( 1)( 1)( 3)VNfNfNf 111111221( 1)( 1)( 3)WDfDfDf 情形情形 在这种情形下，矩阵和的一般表达式为在这种情形下，矩阵和的一般表达式为如特别选取如特别选取 11111211210,01fff 101020103 ,119010VW 1002341KWV 则得则得从而对应的状态反馈增益阵为从而对应的状态反馈增益阵为12111,3,1,2ssqm 112111111121( 1)( 1)( 1)( 3)dVNfNfNfNfds 112111111121( 1)( 1)( 1)( 3)dWDfD
33、fDfDfds 情形情形在这种情况下，矩阵和的一般表达式为在这种情况下，矩阵和的一般表达式为如果特别取如果特别取 11211211110,01fff 101020103 ,139010VW 1002341KWV 可得一组特解为可得一组特解为从而对应的状态反馈增益阵为从而对应的状态反馈增益阵为约束约束6.5.1 mWCVrank 6.5 6.5 输出反馈特征结构配置输出反馈特征结构配置6.5.1 6.5.1 配置闭环右特征向量的求解方法配置闭环右特征向量的求解方法引理引理6.5.16.5.1 设设）能能观观，（CAniqjpkttsPgsQztijipijkijikijikijkijji , 2
34、 , 1;, 2 , 1;, 2 , 10;)()(11则满足矩阵方程则满足矩阵方程6.5.2 6.5.2 配置闭环左特征向量的求解方法配置闭环左特征向量的求解方法或或niqjpkgsLsHdsdkgsiLsHztiijjiiikkkijikpjikpjiijij , 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1)()()!1(1)()(11111niqjpkCgiijrkij , 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1,给出。其中给出。其中 的多项式；的多项式；)(),(sQsP IsQCsIAsPTT0)()( )(),(sLsH)()()(11sLsHCAsITT 为满足下式的幺模阵为满足下式的幺模阵 为满足右既约分解为满足右既约分解为自由选取的一组参向量。为自由选取的一组参向量。0det T BTrankZBTrankTTT TTrankTBZr 约束约束6.5.2 ，约束约束6.5.3 ,kki jljilggss当时( )( ), ,1,2,TTiiijijg Hs N sfi jn jijiji10 约束约束6.5.4 约束约束6.5.5 其中其中,kljkijkljkijliggffss 时时当当约束约束6.5.6
