1、 既然已经有了距离概念，我们便可以在 中定义序列的极限。 定义2设 ， ， ，如果 ，即 ，则 称 是 方平均收敛到 的可测函数列，或说 按 中范数收敛到 ，记作)(ELp)(ELfp)(ELfpn, 2 , 1n0),(limffnn0pnffnfp)(|lim| nffffpnpnn或ff)(ELpnf 至此，我们又有了一种函数序列的收敛概念，这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系？这是我们应该弄清楚的问题。 例1 令 ， 1 , 0 E011, 010,)(xxnnxnxfn或 则对任意 ， ，即 在 上处处收敛到 。然而，当把 看作 中的元素时，有因此 按 中范数
2、并不收敛到0。 1 , 0 x)( 0)(nxfnnf 1 , 00fnf) 1)(pELp1, 11,| )(|)0 ,(111ppndxxffpppnEnnf)(ELp例2 设 ，记令 1 , 0E), 2 , 1(),1, 0),1, 1)()(kikikixkikixxfki),()(),()(),()()2(23)2(12)1(11xfxxfxxfx),()(),()(),()()3(36)3(25)3(14xfxxfxxfx 我们已经知道 是处处不收敛到0的函数，现设 ，则在 中，有 若 , 则 由于 时，显然有 ，所以 即 。)(xn1p)(ELpppnEndx1|) 0 ,()
3、()()(xfxnnkinppnEndx1|)0 ,(nnk0) 0 ,(n)(0|npn 从例1、例2立知，处处收敛不蕴含 方平均收敛， 方平均收敛也不蕴含处处收敛。但下面的定理指出， 方平均收敛蕴含依测度收敛。 定理3 设 。且 ，则 。 ppp, 2 , 1),(,kELffpk0),(ffkffk 证明：对任意 。记 ， 则0)()(|)(xfxfxEEkk由于， 所以对任何固定的 有 ，即 证毕。 ppkEkdxffff1|),(ppkEdxffk1)(|pkppEEmdxk11)()(0),(ffk)(0),(1)(kffEmpkpkffk推论 若 ， 且 ，则 。即 中序列的极限
4、是唯一的。 证明：由定理3及 ， 知 ， ，再由第三章2定理6知 ，故作为 中元，有 。 证毕。 )(,ELgffpk, 0),(ffk0),(gfkgf )(ELp0),(ffk0),(gfkffkgfk.Eeagf )(ELpgf 定理4 设 ，如果 ，则证明：注意到 ，及 )(,ELffpk0),(ffkppkff|pkpkpffff|ppkpkffff|0),(|ffffkpk立得所以 。证毕。 定理3及定理4都假定了 与 是 中的元素。我们知道欧氏空间 中的一个Cauchy序列，则该序列一定收敛到 中的某个元。 |),(lim|pkkkpffffpkkpkkff|lim|limPpp
5、kkffff|)|(|limppkkff|limkff)(ELpnRnR 这就是所谓的Cauchy准则，Cauchy准则成立的空间常称作完备空间。对于 ， Cauchy准则是否成立呢？也就是说，若 是 中的一个序列，且满足 ， 是否存在 。使得 ？如果结论是肯定的，则我们便可以说 是完备的。 定义3 设 是 中的序列，若对任意 ，存在N，使得当 时 ，有 )(ELpkf)(ELp),(0),(kkffkk)(ELfp0),(ffk)(ELpkf)(ELp0Njk, 则称 是 中的基本列（或Cauchy列）。 定理5 是完备的，即任意基本列都收敛。 证明：设 是 中的基本列，则由归纳法不难找到正
6、整数序列 ，使得 pjkjkffff|),(kf)(ELp)1)( pELpkf)(ELp1mmkmkkkk321 并且当 时，有 令 ， 则 是E上的非负单调递增可测函数列，由Fatou引得知，由Minkowski不等式知由Minkowski不等式知mkk , 2 , 1,21|),(mffffmpkkkkmm, 3 , 2 , 1|,)()(|)(11nxfxfxgmmkknmnngdxxgdxxgpnEnpnnE)(lim)(lim 从而 ，进一步 ，即 ，由此不难得知 在E上几乎处处有限，于是级数 在E上几乎处处绝对收敛。记 nmppkkEppnEdxxfxfdxxgmm1/11| )
7、()(|)(1nmmnmkkmmff11121),(11)(limdxxgpnEn1)(limdxxgpnnE)(limELgpnnnngg lim1)(1mkkmmff1)()()(11mkkkmmffxfxf 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )(
8、)(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 由 的任意性知 ，所以 是完备的。证毕。 应该指出， 空间在积分方程与微分方程理论中有着十分重要的应用，前面已经提到，当我们用迭代法解方程时，虽然每一步的迭代函数都是具有很好性质的函数，却不能保证迭代序列的极限也具有类似的性质。但只要迭代序列是 中的基本列，则其极限必为 中的函数，该极限通常称为方程的广义解。又如微分方程边值问题中，对于给定的边界条件常常很难在连续可微函数的范围内求解，甚至根本没有连续可微解，此时，我们可以给方程加上一个小的扰动项，使得问题 0),(ffk)(ELp)(ELp)
9、(ELp)(ELp 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于
10、，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)
11、()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 变得易于求解，如果取一列按 方范数收敛到0的扰动项，对应的解序列按 方范数是一基本列，则其极限在 中，我们也称该极限为原方程的一个广义解。显见 空间是十分重要的一类函数空间。 我们已经看到了， 与 有着许多相似的性质，它关于线性运算是封闭的，它上面有距离，也有由距离导出的范数，这样的空间称线性赋范空间。我们还看到，
12、 是完备的，完备的线性赋范空间称作Banach空间，这些空间都是泛函分析中研究的重要对象。尽管 与 有许多相似之处，但 与 又有着本质的差别，它的结构比 要复杂得多，比如， pppLpL)(ELp)(ELpnR)(ELpnRnR)(ELpnR 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpk
13、pkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 中的有界序列未必有按距离收敛的子序列，这使得 中与此性质相关的许多重要结论及技巧在 空间中不再适用。要克服这些困难，需引进新的概念，建立新的理论。有关 空间的更深入细致的讨论以及更一般理论的建立，可以本书的下册泛函分析教程中找到。 注意到 中函数是E上的Lebesgue可测函数，而鲁津定理告诉我们，任何可测函数都可用连续函数依测度逼近，因此，我们自然会猜测， 中函数可以用连续函数按距离逼近。作为本章的结尾，我们就 情形证实这一猜测。)(ELpnRpLpL)(ELp
14、)(ELp,baE 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 定理6 设 ，则对于任意存在 上的连续函数 ，使得 。 证明：如果 是有界的，即存在 ，使
15、， 则由Lusin定理，对任意 ，存在 上的连续函数 及可测集 ，使得且在 上，有 。于是 )1)(,(pbaLfp0,bapff|),(f0M,.| )(|baeaMxf0,ba)(x,baE mEMx,| )(|Eba,)()(xxfdxxxfdxxxfdxxxfpEbapEpba| )()(| )()(| )()(|,pppppEMmEMdxxxf22|)(| )(| 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)
16、(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff故对任意 ，可取适当 ，使 ，从而 。 若 上的无界函数，则由积分的绝对连续性知对任意 ，存在 ，使得当 且 时，有 ，注意到可积函数是几乎处处有限的，从而存在正整数N，使 令 0pppM2ppbadxxxf1,| )()(|,baf是00,baA mAppAdxxf)2(| )(| )(|,|Nxfbaxxm.| )(|, 0,|
17、)(|),()(时当时当NxfNxfxfxfN 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 显然， ，且 ，于是由上面的证明知存在 上的边续函数 ，使 记
18、，则 故 ，进而 证毕。),(baLfpNNxfN | )(|,ba2| )()(|1,ppNbadxxxf| )(|,NxfbaxENppEpNbadxxfdxxfxfN)2(| )(| )()(|,2),(Nff),(),(|),(1,NNppbafffdxff 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limE
19、eaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff 虽然本节所讨论的函数总是限定在实值范围内，但所有结论对复值可测函数都是正确的，（这里所谓复值可测函数指的是其实部与虚部都可测），只需将复值函数 表示成 的形式，其中 均为实值可测函数，则所有的证明都可以照搬过来。此外，我们也可以将实变量换成复变量，则从C与 的同构性不难看到关于实变量的结论对复变量情形也一样成立。有关这方面的详细论述可参见W.Rudin实分析和复分析（中译本，人民教育出版社，1982）。fivufvu,nR2 则 ，由 立知 。往证 。 对任意 ，存在 ，当 时， 。于是当 时，对 一切 都有 由于 ，故再次应用Fatou引理得.)(lim)(Eeaxfxfmkm.)(| )(| )(|1Eeaxgxfxfk)()(ELxfp)(0),(kffk0NNNmk,),(mkffNkmNk ),(mkkff.| )()(| )()(|limEeaxfxfxfxfpkpkkmm),(lim| )()(|lim| )()(|),(11mmkkmpEpkkmpEpkkffdxxfxfdxxfxfff
