1、lkkmjjxhHrxgGrxfrrx121121)()()(),(l)1,2,.,( 0)(),.,2 , 1( 0)()(minkxhmjxgxfkj障碍项障碍项惩罚项惩罚项21,rr加权因子加权因子(惩罚因子惩罚因子)lkkmjjxhHrxgGrxfrrx121121)( )()(),(min原约束优化问题转化为无约束优化问题原约束优化问题转化为无约束优化问题: :改变惩罚因子改变惩罚因子r1, r2的值的值,就会得到就会得到一系列的无约束优一系列的无约束优化问题化问题,求解得到一系列的无约束最优解求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点系列迭代点),这些这些最优解逐渐的逼近原约束优化问
2、题的最优解最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.二二 惩罚函数法分类惩罚函数法分类l内点惩罚函数法内点惩罚函数法(内点法内点法)l外点惩罚函数法外点惩罚函数法(外点法外点法)l混合惩罚函数法混合惩罚函数法(混合法混合法),.,2 , 1( 0)()(minmjxgxfjmjjxgrxfrx1)(1)(),(minu数学模型及其转换数学模型及其转换第一种形式第一种形式三三 内点惩罚函数法内点惩罚函数法第二种形式第二种形式),.,2 , 1( 0)()(minmjxgxfjmjjxgrxfrx1)(ln)(),(min内点法的加权因子内点法的加权因子( (惩罚因子惩罚因子) )是正数是正数, ,
3、在优化过程中在优化过程中, ,由大到小变化由大到小变化, ,即取为递减数列即取为递减数列: : 0.1210kkrrrrr缩减系数缩减系数(递减系数递减系数)c1 , 01 ,0.1 0.7kkrcrcc一 般 地0limkkr确定确定r01.取取r0=1,根据计算结果根据计算结果,决定增加或减少的决定增加或减少的r0值值.2.根据经验公式确定根据经验公式确定:0001()1()mjjf xrgx内点法的收敛条件内点法的收敛条件*111*1112(),)(),(),|*()*()| kkkkkkkkx rrx rrx rrxrxr*()( *)( *()kkxxrf xf xr初始点初始点x0
4、-随机数生成随机数生成,满足可行满足可行:0() 0 1,2,.,jgxjmu内点法的计算步骤和程序框图内点法的计算步骤和程序框图1) 选择选择可行的初始点可行的初始点;惩罚因子的初始值惩罚因子的初始值;缩减系数缩减系数;收敛精度收敛精度;取迭代次数取迭代次数k-0.2) 构造惩罚函数构造惩罚函数,选择选择无约束优化方法无约束优化方法求解方法求解方法,求出无约束极值求出无约束极值.3) 判断所得极值点是否满足收敛条件判断所得极值点是否满足收敛条件 满足满足:取极值点为最优点取极值点为最优点,迭代终止迭代终止 不满足不满足:缩小惩罚因子缩小惩罚因子,将极值点作为初始点将极值点作为初始点,增加迭代
5、增加迭代 次数次数,转步骤转步骤2),直到满足收敛条件为止直到满足收敛条件为止.内内点点法法程程序序框框图图举例举例01)(. .)(min12221xxgtsxxxf用内点法求最优点用内点法求最优点: :2212122121( , )( )( )( , )1( , )( )ln( )( , )ln( (1)rx rf xg xrx rxxxorx rf xrg xx rxxrx解：4 r=1.2 r=0.36r 22121( , )ln( (1)x rxxrx例：例： 用内点惩罚函数法求下列约束优化问题的最优解用内点惩罚函数法求下列约束优化问题的最优解,取迭代初取迭代初始始X0=0,0T,惩
6、罚因子的初始值惩罚因子的初始值r0=1,收敛终止条件收敛终止条件: |Xk-Xk-1|, =0.01。08)( . .60410)(min21212112221xxXgtsxxxxxxXf)8ln(60410),(21212112221xxrxxxxxxrXTxxrxxxxrxxrX842 8102),(21122121TTrrrXrrrXxxrxxxxrxxrX2299 22913)(2299 22913)(:0842 08102 :0),(*2*121122121解之得得令1.构造内惩罚函数构造内惩罚函数: 2.用解析法求内惩罚函数的极小点用解析法求内惩罚函数的极小点TrrrXrXrXrX
7、rXg2299 22913)()( ),()( 0)( .*2*1*1最优解无约束优化问题的系列为凸函数舍去TTXXrXrXr2.842 842. 45886. 5|)(|2.842 842. 4)(1000*0*0时，当TTXrXrXrXcrr2.983 983. 41994. 0|)()(|2.983 983. 4)(1 . 0100*1*1*01时，当3.求最优解求最优解TTXrXrXrXcrr2.998 989 . 40212. 0|)()(|2.998 989 . 4)(01. 001*2*2*12时，当内点惩罚函数法特点及其应用内点惩罚函数法特点及其应用l惩罚函数定义于可行域内惩罚
8、函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域序列迭代点在可行域 内不断趋于约束边界上的最优点内不断趋于约束边界上的最优点.l只适合求解具有不等式约束的优化问题只适合求解具有不等式约束的优化问题.外点惩罚函数法1.外点法和内点法的区别 内点法将惩罚函数定义于可行域内且求解无约束优化问题的搜索点总是保持在可行域内，一般只用于不等式约束情况；外点法即可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。2.外点惩罚函数法的一般形式 考虑不等式约束优化设计时：对构造一般形式的外点惩罚函
9、数为：其中：（1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即)2 , 1( , 0)(.),(minmuXgstRxXfun21)(,0min)(),(XgrXfrXPmuukk0)(, 0min21Xgrmuuk（2）当X违反某一约束条件，即 时 表明X在可行域外，惩罚项起作用，且若X离开约束边界越远，惩罚力度越大。这样用惩罚的方法迫使迭代点回到可行域。（3）惩罚因子 是一递增的正数数列，即 且 一般0)(Xgu0)()(, 0min221XgrXgrukmuukkrkrrrr210kkrlim1kr考虑等式约束的优化问题：构造外点罚函数：同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0；若不能满足，则 且随
10、着惩罚因子的增大而增大；), 2 , 1(0)(. .),(minpvXhtsRXXfvn21)()(),(XhrXfrXPpvvkk0)(21Xhrpvvk综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般约束优化问题的外点罚函数公式为：实际计算中，因为惩罚因子 不可能达到无穷大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题的最优点，而是落在它的外面，显然，这就不能严格满足约束条件。为了克服外点惩罚函数法的这一缺点，对那些必须严格满足的约束（如强度、刚度等性能约束）引入约束裕度 ，即将这些约束边界向可行域内紧缩，移动一个微量，得到)()(, 0min()(),(2121XhXgrXfrXPpvvmuukkkr
11、u这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数，得到最优设计方案。外点惩罚函数法的迭代步骤：1.给定初始点 ，初始惩罚因子 ，维数n 迭代精度 和递增系数 ；2 构造外点惩罚函数 ；3 选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点)2 , 1(0)()(muXgXguuu0X1r1C),(kkrXP 即4 检验是否满足迭代终止条件 或若满足转6，不满足转5；5，令 ，转2；6. 输出最优解，停止迭代。1KkXX)()(1kkXfXf),(min),(kkkrXPrXP1kkrCr精品课件精品课件！精品课件精品课件！混合惩罚函数法 内点法和外点法各有所长，亦有缺点，可以将它们结合起来，对p个等式约束，采用外点法，对m个不等式约束采用内点法。构成混合函数：式中，惩罚因子 是一个递增的正数序列 且muukpvvkkXgrXhrXfrXP121)(11)()(),(krkkrlim
