1、1一、内容提要一、内容提要1. 理解罗尔理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日定理和拉格朗日(Lagrange)2. 了解柯西了解柯西(Cauchy)定理和泰勒定理和泰勒(Tayloy)定理定理.3. 理解函数的极值概念理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数掌握用导数判断函数定理定理.的单调性和求极值的方法的单调性和求极值的方法.2 5. 会用洛必达会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限法则求不定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径曲率半径. 4. 会用导数判断函数图形的凹凸性会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点
2、会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形会描绘函数的图形(包括水平包括水平,铅直和斜渐近线铅直和斜渐近线).3洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘;
3、 ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、内容提要一、内容提要4)()(bfaf 1 1. .微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理罗尔定理 0)( f)()()()()()( FfaFbFafbf 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )()()(bfafxxF 10)1()()!1(1 nnxxfn 柯西中值定理柯西中值定理 xxF )( 泰勒中值定理泰勒中值定理 nnxxxfn)(!100)( )()()(000 xxxfxfxf abafbff )()()( 0 n52. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态研究
4、函数或导数的性态(3) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(4) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性6利用利用一般解题方法一般解题方法: :证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在, ,若结论中涉及到含中值的两个不同函数若结论中涉及到含中值的两个不同函数, ,可考虑用可考虑用若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数, ,若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值, ,3 3. .有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数. .(2)柯西中值定理柯
5、西中值定理. .中值定理中值定理. .(3)(4)有时也可考虑有时也可考虑多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式, ,逆向思维逆向思维, ,设设辅助函数辅助函数. . 多用多用罗尔定理罗尔定理, ,必须必须多次应用多次应用对导数用中值定理对导数用中值定理. .(5) 若结论为不等式若结论为不等式 , 要注意适当要注意适当放大放大或或缩小缩小的技巧的技巧.7(1) 研究函数的性态研究函数的性态: :增减增减, ,极值极值, ,凹凸凹凸, ,拐点拐点, ,渐近线渐近线, ,曲率曲率(2) 解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立目标函数的建立 最值的判别问题最值的判别问题(3)其他应用其他应用: :求不
6、定式极限求不定式极限; 几何应用几何应用;相关变化率相关变化率; 证明不等式证明不等式; 研究方程实根等研究方程实根等. .4.4.导数应用导数应用8二、典型例题二、典型例题例例 证明方程证明方程cbacxbxax 23423在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff则则的符号不易判别的符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证证证 令令xcbacxbxaxxf)()(234 则则内可导内可导上连续，上连续，在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0)1()0( ff故由故由Rol
7、le 定理知定理知0)()1 , 0( f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)内有一实根内有一实根9满足其中实数 , , 1naa 012) 1(3121naaann 证明方程0) 12cos(3coscos21xnaxaxan, 2 , 0 内至少有一根在）（xnnaxaxaxFn) 12sin(123sin3sin)( 21令, )(02)0( FF则且满足罗尔定理其它条件且满足罗尔定理其它条件,使故 2 , 0 )(0) 12cos(3coscos)(21naaaFn . 2 , 0 内至少有一根即方程在）（练习练习证：证：10例例 ccfcfcffxf)()()1 ,
8、0(, 0)1(, 1)0()1 , 0(1 , 0)( 使使证明证明且且内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在已知已知提示：提示：)()(xxfxF 记记上上在在则则1 , 0)(xF满足满足Rolle 定理的条件定理的条件0)()1 , 0( cFc使使P181 题题711在在)(xf 1 ,0内可导内可导, ,且且,0)1( f证明至少存在一点证明至少存在一点 )(2)(ff , )1 ,0( 使使上连续上连续, ,在在)1 ,0(问题转化为证问题转化为证设辅助函数设辅助函数)()(2xfxxF )(xF用用RolleRolle定理定理, , )1 ,0( 使使即有即有例例证证上上在在
9、1 , 0 )(2)(ff 分析分析0 )(2xfx x0)(2)( ff0)()(2)(2 ffF12例例,)(,)(的两个零点之间的两个零点之间试证在试证在可导可导若若xfxf一定一定.0)()(的零点的零点有有 xfxf分析分析 构造辅助函数构造辅助函数F(x),),()()(xfxfxF 使使则问题转化为则问题转化为)(xF 的零点存在问题的零点存在问题.证证 设设),()(xfexFx 设设, 0)(, 0)(21 xfxf,21xx Rolle定理定理),(21xx 使得使得)()()( fefeF 0)()( ffe, 0 e因此必定有因此必定有. 0)()( ff13例例.设函
10、数设函数 f (x) 在在0, 3 上连续上连续, 在在(0, 3) 内可导内可导, 且且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析分析: 所给条件可写为所给条件可写为1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c , 使使3)2() 1 ()0()(fffcf证证: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在0, 2上连续上连续, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2() 1 ()0(由由介值定理介值定理,
11、 至少存在一点至少存在一点 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由由罗尔定理罗尔定理知知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使14例例解解.1sin1lim 220 xxx求xxxxxxxx22220220sin sin lim1sin1limxxxxxxx220sin)sin)(sin(limxxxxxxxxxsinsinlim sinsinlim20030sinlim2xxxxxx sin203cos1lim2xxx221cos1xx31321lim2220 xxx极限不等于零的因
12、子15.arctan2lim ln1xxx求00运用取对数法 .xxxln1arctan2lim ln)arctan2 ln(limexpxxx)arctan2 ln(ln1 explimxxx0例例解解16 2arctan1limexp2xxxx00 11limexp22xxx1 e17.)1 ( lim 110 xxxex求1运用取对数法 .原式 )1ln(lim exp20 xxxx000111explim 2xxx1201explim 2(1)xex例例解解P137题题418. )( 111 lim 2nnnn求这是数列的极限xxnnxxnn)()( 111 lim 111 lim22
13、xxxx1) 111 ( lnlimexp2tttt) 1 ( lnlimexp20 xt1e罗必达例例解解思考：此题如何用重要极限的方法求解？思考：此题如何用重要极限的方法求解？19例例11112limnxxxxnxaaan)1( ln)ln(11211limnaaanxxxnxxe ln)ln(lim11211naaanxxnxxxe ln)ln(lim11211naaanxxnxxx 而而xnaanxnxx1ln)ln(lim111 )00(P181题题10（4）2022111111111lnln1limxxaaaaaannxnxxnxx naaannlnlnln21 )ln(21naa
14、a xxnxxxnaaa 11211lim)ln(21naaae naaa21 思考：此题如何用重要极限的方法来求解？思考：此题如何用重要极限的方法来求解？21例例.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解法解法1罗比达法则罗比达法则1)51 (2lim540 xxx原式原式590)51 (42lim xx.21 22例例.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限 解法解法2泰勒展开式泰勒展开式. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxx
15、x 原式原式.21 23例例).0(,11)11ln( xxx证证 法一法一 用单调性用单调性设设xxxf 11)11ln()(即即xxxxf 11ln)1ln()(由由 2)1(1111)(xxxxf2)1(1xx , 0 ,0时时当当 x)(xf证明不等式证明不等式 xxxfxx1111lnlim)(lim0 24,0时时当当 x可知可知, 0)( xf即即).0(,11)11ln( xxx法二法二 用用Lagrange定理定理).0( ,11)11ln( xxx证明证明设设,ln)(xxg 1, xxLagrange定理定理 xxln)1ln(1 xx ),1(1xx ,111x 由由得
16、得).0(,11)11ln( xxx即即 xxln)1ln(x 1125例例 证明不等式证明不等式 lnln()ln, (0,0,).2xyxxyyxyxyxy+证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即P152题题9（3）26例例. . 求数列求数列nn的最大项的最大项 .证证: 设设),1()(1xxxfx用对数求导法得用对数求导法得)ln1()(21x
17、xxfx令令,0)( xf得得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因为因为)(xf在在),1只有唯一的极大点只有唯一的极大点,ex 因此在因此在ex 处处)(xf也取最大值也取最大值 .又因又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项中的最大项 .极大值极大值列表判别列表判别:P181题题1427例例问方程问方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根解解)0(ln)( xaxxxf记记axxf 1)(axxf10)( 得得令令时时当当ax1 0)( xf时时当当ax1 0)( xf11ln)1(max aaff同时也是最大值同时也是最大值分三种情况讨论分三种
18、情况讨论P151题题528011ln)1( aafea1 由于由于 )(limxfx )(lim0 xfx方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于),1(),1, 0(aa011ln)1( aafea1 方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即ax1 011ln)1( aaf方程无实根方程无实根29290115. limln(1)sinxxx ? !30(0,1)五、设五、设 f(x) 在在 0,1上连续，在上连续，在(0,1)内导，且内导，且f(1)=0, 试证：至少在一点试证：至少在一点 ，( )(1)( )0fef使得使得3115.2、 32附：附：)()1()()1(),(,)
19、,1 , 0(0)(),()(212121xfxfxxfbaxxxfbaxf ，有，有试证：对试证：对内有二阶导数，内有二阶导数，在在设设证证不妨设不妨设21xx 210)1(xxx 记记201xxx 则则)(, )(1(12021210 xxxxxxxx 由由Lagrange定理，有定理，有)1()(1)()()(12110 xxfxfxf )2()()()()(12202xxfxfxf )(22011xxx 33 )(0)(xfxf)()(21 ff )1)(2()1( 得得)()1()()(210 xfxfxf )(1()()(1221xxff 0 )()1()()1(2121xfxfxxf 注注此题还可利用泰勒公式来做此题还可利用泰勒公式来做
