1、第三章第三章 图像的几何变换图像的几何变换 3.1 几何变换基础几何变换基础 3.2 图像比例缩放图像比例缩放 3.3 图像平移图像平移 3.4 图像镜像图像镜像 3.5 图像旋转图像旋转 3.6 图像复合变换图像复合变换 3.7 应用实例应用实例 3.1 几何变换基础几何变换基础 3.1.1 概述概述 图像的几何变换，就是按照需要使图像产生图像的几何变换，就是按照需要使图像产生大小、形状和位大小、形状和位置置的变化。的变化。 从变换的性质分：图像的几何变换有从变换的性质分：图像的几何变换有平移、比例缩放、旋转、平移、比例缩放、旋转、反射、镜像反射、镜像等基本变换；透视、转置等复合变换，以及插
2、值运算等基本变换；透视、转置等复合变换，以及插值运算等。等。 除了插值运算外，常见的图像几何变换可以通过与之对应的除了插值运算外，常见的图像几何变换可以通过与之对应的矩阵线性变换来实现。矩阵线性变换来实现。 为了能够用统一的矩阵线性变换形式来表示和实现这些常为了能够用统一的矩阵线性变换形式来表示和实现这些常见的图像几何变换，见的图像几何变换，需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。 3.1.2 齐次坐标齐次坐标 现设点现设点P0(x0, y0)进行平移后，移到进行平移后，移到P(x, y)，其中，其中x方向的平方向的平移量为移量为x，y方向的平移量为方向的平移量为y
3、。那么，点。那么，点P(x, y)的坐标为的坐标为 yyyxxx00如图如图3-1所示：所示： Oyxy0yxx0P0(x0 , y0)P(x , y)图图3-1 点的平移点的平移yxyxyx001001这个变换用矩阵的形式可以表示为这个变换用矩阵的形式可以表示为 要实现平移变换，平面上点的变换矩阵要实现平移变换，平面上点的变换矩阵需要使用需要使用23阶变换矩阵，取其形式为阶变换矩阵，取其形式为 dcbaTyxT1001 此矩阵的第一、二列构成此矩阵的第一、二列构成单位矩阵，单位矩阵，第三列元素为第三列元素为平移常量。平移常量。 所以需要在点的坐标列矩阵所以需要在点的坐标列矩阵x yT中中引入
4、第三个元素引入第三个元素，增，增加一个附加坐标，扩展为加一个附加坐标，扩展为31的列矩阵的列矩阵x y 1T，这样用三维，这样用三维空间点（空间点（x, y, 1）表示二维空间点（）表示二维空间点（x, y），即采用一种特殊的），即采用一种特殊的坐标，可以实现平移变换，变换结果为坐标，可以实现平移变换，变换结果为 yxyyxxyxyxPTP0000011001由此可得平移变换矩阵为：由此可得平移变换矩阵为：yxT1001111100100100000yxyyxxyxyxPTP 通常将通常将23阶矩阵扩充为阶矩阵扩充为33阶矩阵，以拓宽功能。阶矩阵，以拓宽功能。下面再下面再验证一下点验证一下点P
5、 (x, y)按照按照33的变换矩阵的变换矩阵T平移变换的结果。平移变换的结果。 从上式可以看出，引入附加坐标后，扩充了矩阵的第从上式可以看出，引入附加坐标后，扩充了矩阵的第3行，行， 并没有使变换结果受到影响。并没有使变换结果受到影响。这种用这种用n1维向量表示维向量表示n维向量维向量的方法称为的方法称为齐次坐标表示法齐次坐标表示法。 因此，因此，2D图像中的点坐标图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标（通常表示成齐次坐标（Hx, Hy, H），其中），其中H表示非零的任意实数，当表示非零的任意实数，当H1时，则时，则(x, y, 1)就就称为点称为点(x, y)的规范化齐次坐标。的规
6、范化齐次坐标。 由点的齐次坐标（由点的齐次坐标（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：，可按如下公式进行： HHyyHHxx 齐次坐标的几何意义相当于点齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)落在落在3D空间空间H1的平面的平面上，上， 如图如图3-2所示。如果将所示。如果将XOY 平面内的三角形平面内的三角形abc 的各顶点表的各顶点表示成齐次坐标示成齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成的形式，就变成H1平面内的三平面内的三角形角形a1b1c1的各顶点。的各顶点。 zxyOabca1b1c1H1图图3-
7、2 齐次坐标的几何意义齐次坐标的几何意义3.1.3 二维图像几何变换的矩阵二维图像几何变换的矩阵 利用齐次坐标改成利用齐次坐标改成33阶形式的变换矩阵，实现阶形式的变换矩阵，实现2D图像几何图像几何变换的基本变换的一般过程是：变换的基本变换的一般过程是： 1、 将将2n阶的二维点集矩阵阶的二维点集矩阵 表示成齐次坐标表示成齐次坐标 2、然后乘以相应的变换矩阵即可完成。即然后乘以相应的变换矩阵即可完成。即 变换后的点集矩阵变换后的点集矩阵 = 变换矩阵变换矩阵T变换前的点集矩阵变换前的点集矩阵（图像上各点的新齐次坐标）（图像上各点的新齐次坐标） （图像上各点的原齐次坐标）（图像上各点的原齐次坐标
8、）niiyx200niiyx3001设变换矩阵设变换矩阵T为为 smlqdcpbaT则上述变换可以用公式表示为则上述变换可以用公式表示为 nnnnnnyyyxxxTHHHHyHyHyHxHxHx3212132121111图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩阵为图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩阵为 nnnyyyxxx32121111 引入齐次坐标后，表示引入齐次坐标后，表示2D图像几何变换的图像几何变换的33矩阵的功能矩阵的功能就完善了，可以用它完成就完善了，可以用它完成2D图像的各种几何变换。下面讨论图像的各种几何变换。下面讨论33阶变换矩阵中各元素在变换中的功能。几何变换的阶变换矩阵
9、中各元素在变换中的功能。几何变换的33矩矩阵的一般形式为阵的一般形式为 smlqdcpbaT 33的阶矩阵的阶矩阵T可以分成四个子矩阵。其中，可以分成四个子矩阵。其中， 这这一子一子矩阵可使图像实现恒等、矩阵可使图像实现恒等、 比例、比例、 反射（或镜像）、反射（或镜像）、 错切和旋转错切和旋转变换。变换。p qT这一列矩阵可以使图像实现平移变换。这一列矩阵可以使图像实现平移变换。l m这一行矩阵可以使图像实现透视变换这一行矩阵可以使图像实现透视变换，但当，但当l=0，m=0时它无透时它无透视作用。视作用。s这一元素可以使图像实现全比例变换这一元素可以使图像实现全比例变换。例如，。例如， 将将
10、图像进行全比例变换，图像进行全比例变换， 即即 22dcbasyxyxsiiii10001000100将齐次坐标将齐次坐标 规范化后，规范化后， 。由此可见，。由此可见， 当当s1时，图像按比例缩小；当时，图像按比例缩小；当0s1时，整个图像按比例放时，整个图像按比例放大；当大；当s1时，图像大小不变。时，图像大小不变。 syxii1100iiiiyxsysx3.2 图像比例缩放图像比例缩放 3.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 图像比例缩放图像比例缩放是指是指将给定的图像在将给定的图像在x轴方向按比例缩放轴方向按比例缩放fx倍，倍， 在在y轴方向按比例缩放轴方向按比例缩放fy倍，从而
11、获得一幅新的图像倍，从而获得一幅新的图像。 如果如果fxfy， 即在即在x轴方向和轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称这轴方向缩放的比率相同，称这样的比例缩放为样的比例缩放为图像的全比例缩放图像的全比例缩放。 如果如果fxfy，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相对位置，对位置，产生几何畸变。产生几何畸变。3.2 图像比例缩放图像比例缩放 设原图像中的点设原图像中的点P0(x0,y0)比例缩放后，在新图像中比例缩放后，在新图像中的对应点为的对应点为P(x, y)，则，则P0(x0,y0)和和P(x, y)之间的对应关系之间的对应关系如图如图3-3所示
12、。所示。放大后缩放前xy(x , y)(x0 , y0)O 比例缩放前后两点比例缩放前后两点P0(x0, y0)、P(x, y)之间的关系用矩阵形式之间的关系用矩阵形式可以表示为可以表示为 11000y000100yxffxyx（3-1） 公式（公式（3-1）的逆运算为）的逆运算为 11000y10001100yxffxyx即 fyyyfxxx00 比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。 首先讨论图像的比例缩小：首先讨论图像的比例缩小： 最简单的比例缩小是当最简
13、单的比例缩小是当 fx=fy=12时，图像被缩到一半大小，时，图像被缩到一半大小，图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。此时，此时， 只需在原图像基础上，每行隔一个像素取一点，每隔一只需在原图像基础上，每行隔一个像素取一点，每隔一行进行操作，即取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的行进行操作，即取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像，如图图像，如图3-4所示。所示。图图3-4 图像缩小一半图像缩小一半 如果图像按任意比例缩小，如果图像按任意比例缩小， 则需要计算选择的行和列。则需要计算选择的行和列。 如果如果
14、MN大小的原图像大小的原图像F(x，y)缩小为缩小为 kMkN大小（大小（k1）的新图像的新图像I(x，y)时，则时，则I(x, y)=F(int(cx), int(cy)其中，其中， c=1k。由此公式可以构造出新图像，如图。由此公式可以构造出新图像，如图3-5所示。所示。 k 1/3图3-5 图像按任意比例缩小 当当fxfy(fx, fy0)时，图像不按比例缩小时，图像不按比例缩小，这种操作因为在，这种操作因为在x方向和方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。图方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。图像不按比例缩小的方法是：像不按比例缩小的方法是： 如果如果MN大小的
15、旧图像大小的旧图像F(x，y)缩缩小为小为k1Mk2N（k11，k21）大小的新图像）大小的新图像I(x，y)时，则时，则 I(x, y)=F(int(c1x), int(c2y) 其中其中 2211,11kckc由此公式可以构造出新图像。由此公式可以构造出新图像。 图像在缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。图像在缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选所需要的有用信息。其次讨论图像的比例放大：其次讨论图像的比例放大： 在图像的放大操作中，则需要对尺寸放大后所多出来在图像的放大操作中，则需要对尺寸放大后所多出来的空格填入适当的像素值，这是信息的估计问题，所以较的空格填入适当的像素
16、值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩小要难一些。图像的缩小要难一些。当当fxfy2时，图像被按全比例放大时，图像被按全比例放大2倍，倍， 放大后图像中的放大后图像中的(0，0)像素对应于原图中的像素对应于原图中的(0，0)像素；像素；(0，1)像素对应于原图中的像素对应于原图中的(0，0.5)像素，该像素不存在，可以像素，该像素不存在，可以近似为近似为(0，0)也可以近似也可以近似 (0，1)； (0，2)像素对应于原图像中的像素对应于原图像中的(0，1)像素；像素；(1，0)像素对应于原图中的像素对应于原图中的(0.5，0)，它的像素值近似于，它的像素值近似于(0， 0)或或(1，0)像素
17、；像素； (2，0)像素对应于原图中的像素对应于原图中的(1，0)像素，依此类推。像素，依此类推。图3-6 放大前的图像 图3-7 按最近邻域法放大两倍的图像 一般地，按比例将原图像放大一般地，按比例将原图像放大k倍时，如果按照最近邻域法倍时，如果按照最近邻域法则需要将一个像素值添在新图像的则需要将一个像素值添在新图像的kk的子块中，如图的子块中，如图3-9所示。所示。显然，如果放大倍数太大，显然，如果放大倍数太大， 按照这种方法处理会出现马赛克效按照这种方法处理会出现马赛克效应。应。图图3-9 按最近邻域法放大五倍的图像按最近邻域法放大五倍的图像 放大5倍 当当fxfy(fx, fy0)时时
18、 图像在图像在x方向和方向和y方向不按比例放大，方向不按比例放大， 此时，此时， 这种这种操作由于操作由于x方向和方向和y方向的放大倍数不同，一定带来图方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。像的几何畸变。 放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的一个一个k1k2的子块中去。的子块中去。灰度级插值处理可采用如下两种方法灰度级插值处理可采用如下两种方法。 第一种方法，可以把几何变换想像成将输入图像的灰度一个第一种方法，可以把几何变换想像成将输入图像的灰度一个一个像素地转移到输出图像中。如果一个输入像素被映射到四一个像素地转移到输出图像中。如果一个输
19、入像素被映射到四个输出像素之间的位置，则其灰度值就按插值算法在四个输出个输出像素之间的位置，则其灰度值就按插值算法在四个输出像素之间进行分配。像素之间进行分配。把这种灰度级插值处理称为像素移交把这种灰度级插值处理称为像素移交（pixel carry over）或称为向前映射法，）或称为向前映射法， 如图如图3-30所示。所示。 图图3-30 灰度级插值处理（像素变换）灰度级插值处理（像素变换） 像素移交像素填充x0 x0f (x , y) , (x0 , y0)整型f (x , y) , (x0 , y0)非整型g(x , y) , (x , y)非整型g(x , y) , (x , y)整型
20、yxxyy0y0灰度级插值处理灰度级插值处理 另一种更有效的灰度级插值处理方法是像素填另一种更有效的灰度级插值处理方法是像素填充（充（pixel filling）或称为向后映射算法。）或称为向后映射算法。 输出像素一次一个地映射回到原始（输入）图输出像素一次一个地映射回到原始（输入）图像中，以便确定其灰度级。如果一个输出像素被映像中，以便确定其灰度级。如果一个输出像素被映射到四个输入像素之间，则其灰度值由灰度级插值射到四个输入像素之间，则其灰度值由灰度级插值决定，如图决定，如图3-30所示。向后空间变换是向前变换的所示。向后空间变换是向前变换的逆变换。逆变换。 在像素填充法中，变换后（输出）图
21、像的像素通常被映射在像素填充法中，变换后（输出）图像的像素通常被映射到原始（输入）图像中的非整数位置，即位于四个输入像素之到原始（输入）图像中的非整数位置，即位于四个输入像素之间。因此，间。因此， 为了决定与该位置相对应的灰度值，必须进行插值为了决定与该位置相对应的灰度值，必须进行插值运算。运算。最简单的插值方法是零阶插值或称为最近邻插值，也叫最简单的插值方法是零阶插值或称为最近邻插值，也叫最近邻域法。最近邻域法。图3-31 双线性插值 插值点f (0 , 0)f (0 , 1)f (1 , 0)f (x , y) (x , 0)(x , y)(0 , y)(0 , 1)y(0 , 0)f (
22、1 , 1)(1 , 1)(x , 1)x(1 , 0)3.3 图图 像像 平平 移移 3.3.1 图像平移变换图像平移变换 x 2 , y 1图3-12 图像平移 设点设点P0(x0, y0)进行平移后，移到进行平移后，移到P(x, y)，其中，其中x方向的平移量方向的平移量为为x，y方向的平移量为方向的平移量为y。那么，点。那么，点P(x, y)的坐标为的坐标为 yyyxxx00 利用齐次坐标，变换前后图像上的点利用齐次坐标，变换前后图像上的点P0(x0, y0)和和P(x, y)之间的之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为关系可以用如下的矩阵变换表示为 11001001100yxyxyx（
23、3-2）对变换矩阵求逆，可以得到式（对变换矩阵求逆，可以得到式（3-2）的逆变换）的逆变换 11001001100yxyxyx即 yyyxxx003.4 图图 像像 镜镜 像像 3.4.1 图像镜像变换图像镜像变换 图像的镜像图像的镜像(Mirror)变换分为两种：一种是变换分为两种：一种是水平镜像水平镜像，另外一，另外一种是种是垂直镜像垂直镜像。图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部。图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换；图像的垂直镜像操作分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换；图像的垂直镜像操作是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心进行
24、镜像是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心进行镜像对换，如图对换，如图3-16所示。所示。 图图3-16 图像的镜像图像的镜像 水 平 镜 像垂 直 镜 像 图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)进行进行镜像后的对应点为镜像后的对应点为P(x, y)，图像高度为，图像高度为fHeight，宽度为，宽度为fWidth， 原图像中原图像中P0(x0, y0)经过水平镜像后坐标将变为（经过水平镜像后坐标将变为（fWidth-x0，y0），）， 其矩阵表达式为：其矩阵表达式为：110001001100yxfWidthyx(3-3)
25、逆运算矩阵表达式为逆运算矩阵表达式为 110001001100yxfWidthyx即即 yyxfWidthx00 同样，同样， P0(x0, y0)经过垂直镜像后坐标将变为经过垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)， 其矩阵表表达式为其矩阵表表达式为 110010001100yxfHeightyx(3-4) 逆运算矩阵表达式为逆运算矩阵表达式为 110010001100yxfHeightyx即即 yfHeightyxx00图图3-18 水平镜像水平镜像 图图3-19 垂直镜像垂直镜像 图图3-17 镜像镜像前的前的图像图像 3.5 图像旋转图像旋转 3.5.1 图像旋转变换图像旋转
26、变换 一般图像的旋转是以图像的中心为原点，将图像上的所有一般图像的旋转是以图像的中心为原点，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。像素都旋转一个相同的角度。图像的旋转变换是图像的位置变图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。换，但旋转后，图像的大小一般会改变。和图像平移一样，和图像平移一样， 在在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去，图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去， 也可以扩也可以扩大图像范围以显示所有的图像。如图大图像范围以显示所有的图像。如图3-20、 图图3-21所示。所示。 图3-20 旋转前的图像 1243图3-21 旋转后的图像（扩大
27、图像、 转出部分被截） 1243 同样，图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点同样，图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)旋转旋转角后的对应点为角后的对应点为P(x, y)， 如图如图3-22所示。那么，所示。那么， 旋转前旋转前后点后点P0(x0, y0)、 P(x, y)的坐标分别是：的坐标分别是： 图图3-22 图像旋转图像旋转角角rrxy(x , y)(x0 , y0)Ocossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx写成矩阵表达式为写成矩阵表达式为 11000c
28、ossin0sincos100yxyx(3-5)其逆运算为其逆运算为 11000cossin0sincos100yxyx 利用公式（利用公式（3-5）可以确定旋转后图像上的像素。例如，当）可以确定旋转后图像上的像素。例如，当=30时，公式（时，公式（3-5）为）为 866. 05 . 05 . 0866. 0 xyyxx而且， 此时 xmin=0.866-0.53=-0.634; xmax=0.8663-0.5=2.098ymin=0.866+0.5=1.366; ymax=0.8663+0.53=4.098图3-23 图像旋转角 30图3-25 图3-23中的图像处理后的效果 3.6 图像复
29、合变换图像复合变换 3.6.1 图像复合变换图像复合变换 图像的复合变换图像的复合变换是指是指对给定的图像连续施行若干次如前所对给定的图像连续施行若干次如前所述的平移、镜像、比例、旋转等基本变换后所完成的变换述的平移、镜像、比例、旋转等基本变换后所完成的变换，图，图像的复合变换又叫像的复合变换又叫级联变换级联变换。3.6 图像复合变换图像复合变换 3.6.1 图像复合变换图像复合变换 从数学上可以证明，从数学上可以证明，复合变换的矩阵等于基本变换的矩阵复合变换的矩阵等于基本变换的矩阵按顺序依次相乘得到的组合矩阵。按顺序依次相乘得到的组合矩阵。 设对给定的图像依次进行了基本变换设对给定的图像依次
30、进行了基本变换F1，F2，FN，它们，它们的变换矩阵分别为的变换矩阵分别为T1，T2，TN，按照公式（，按照公式（3-1）（）（3-6）的表示形式，图像复合变换的矩阵的表示形式，图像复合变换的矩阵T可以表示为：可以表示为： T=TNTN-1T1 1. 复合平移复合平移 设某个图像先平移到新的位置设某个图像先平移到新的位置P1(x1, y1)后，再将图像平移到后，再将图像平移到P2(x2, y2)的位置，则复合平移矩阵为的位置，则复合平移矩阵为 1001001100100110010012121221121yyxxyxyxTTT 由此可见，尽管一些顺序的平移，用到矩阵的乘法，但最后由此可见，尽管
31、一些顺序的平移，用到矩阵的乘法，但最后合成的平移矩阵，只需对平移常量作加法运算。合成的平移矩阵，只需对平移常量作加法运算。 (3-7) 2. 复合比例复合比例 同样，对某个图像连续进行比例变换，最后合成的复合比同样，对某个图像连续进行比例变换，最后合成的复合比例矩阵，只要对比例常量作乘法运算即可。复合比例矩阵如下：例矩阵，只要对比例常量作乘法运算即可。复合比例矩阵如下： 1000000100000010000002121221121ddaadadaTTT(3-8) 3. 复合旋转复合旋转 类似地，对某个图像连续进行旋转变换，最后合成的旋转变类似地，对某个图像连续进行旋转变换，最后合成的旋转变换
32、矩阵等于两次旋转角度的和，复合旋转变换矩阵如下式所示：换矩阵等于两次旋转角度的和，复合旋转变换矩阵如下式所示： 1000)cos()sin(0)sin()cos(1000cossin0sincos1000cossin0sincos212121212222111121TTT(3-9) 上述均为相对原点上述均为相对原点(图像中央图像中央)作比例、旋转等变换，如果要作比例、旋转等变换，如果要相对某一个参考点作变换，则要使用含有不同种基本变换的图相对某一个参考点作变换，则要使用含有不同种基本变换的图像复合变换。不同的复合变换，像复合变换。不同的复合变换， 其变换过程不同，但是其变换过程不同，但是无论它
33、无论它的变换过程多么复杂，都可以分解成一系列基本变换。的变换过程多么复杂，都可以分解成一系列基本变换。3.7 应用实例应用实例 下面给出图像几何变换应用的一个例子下面给出图像几何变换应用的一个例子图像的转置图像的转置。图像的转置是图像的转置是将给定图像像素的将给定图像像素的x坐标和坐标和y坐标互换坐标互换的几何变换。的几何变换。 图像的转置和图像的旋转不同，而且仅仅通过旋转是不可图像的转置和图像的旋转不同，而且仅仅通过旋转是不可能实现图像转置的。旋转操作与镜像操作结合才能实现图像的能实现图像转置的。旋转操作与镜像操作结合才能实现图像的转置。图像转置的方法如下：转置。图像转置的方法如下： 首先将
34、图像水平镜像首先将图像水平镜像，并且图像的水平镜像在，并且图像的水平镜像在x方向不作平方向不作平移，然后逆时针旋转移，然后逆时针旋转90才可以实现。设点才可以实现。设点P0(x0, y0)进行转置后进行转置后的对应点为的对应点为P(x, y)，图像高度为，图像高度为fHeight， 宽度为宽度为fWidth，原图，原图像中像中P0(x0, y0) 经过转置后坐标将变为经过转置后坐标将变为(y0, x0)。如果把图像转置看。如果把图像转置看作是图像镜像与旋转的复合。此时，作是图像镜像与旋转的复合。此时，3.4.1中的公式（中的公式（3-4）变为）变为 1100010001100yxyx根据此式及根据此式及3.5.1中的公式（中的公式（3-6）可得）可得 110000101011000100011000010101)90(11000100011000cossin0sincos1000000yxyxyxyxyx（3-20） 公式（公式（3-20）就是图像转置的变换公式。）就是图像转置的变换公式。 图图3-37 转置后的图像转置后的图像
